最新版初中二次函數(shù)知識點匯總（精編版）

1、.二次函數(shù)知識點匯總1. 定義：一般地 , 如果cbacbxaxy,(2是常數(shù) ,)0a, 那么y叫做x的二次函數(shù) . 2. 二次函數(shù)2axy的性質(zhì)拋物線2axy）（0a的頂點是坐標(biāo)原點 , 對稱軸是y軸.函數(shù)2axy的圖像與a的符號關(guān)系. 當(dāng)0a時拋物線開口向上頂點為其最低點；當(dāng)0a時拋物線開口向下頂點為其最高點3. 二次函數(shù)cbxaxy2的圖像是對稱軸平行于 y軸的拋物線 . 4. 二 次 函 數(shù)cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成 ：khxay2的 形 式 , 其 中abackabh4422，. 5. 二次函數(shù)由特殊到一般 , 可分為以下幾種形式：2axy；kaxy2；2hxay；k

2、hxay2；cbxaxy2. 6. 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. a決定拋物線的開口方向：當(dāng)0a時, 開口向上；當(dāng)0a時, 開口向下； a 相等, 拋物線的開口大小、形狀相同. 平行于y軸的直線記作hx. 特別地 ,y軸記作直線0 x. 7. 頂點決定拋物線的位置. 幾個不同的二次函數(shù), 如果二次項系數(shù)a相同, 那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同, 只是頂點的位置不同 . 8. 求拋物線的頂點、對稱軸的方法公式法：abacabxacbxaxy442222, 頂點是），（abacab4422, 對稱軸是直線abx2. 配方法： 運用配方法將拋物線的解析式化為khxay2的形式,

3、得到頂點為,對稱軸是hx. 運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形, 所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸, 對稱軸與拋物線的交點是頂點. 用配方法求得的頂點 , 再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證, 才能做到萬無一失9. 拋物線cbxaxy2中,cba,的作用.a決定開口方向及開口大小, 這與2axy中的a完全一樣 . b和a共同決定拋物線對稱軸的位置 . 由于拋物線cbxaxy2的對稱軸是直線abx2, 故：0b時, 對稱軸為 y 軸；0ab時, 對稱軸在 y 軸左側(cè)；0ab時, 對稱軸在 y 軸右側(cè). c的大小決定拋物線cbxaxy2與 y 軸交點的位置 . 當(dāng)0 x時

4、,cy, 拋物線cbxaxy2與 y 軸有且只有一個交點 ：0c, 拋物線經(jīng)過原點 ; 0c, 與 y 軸交于正半軸；0c, 與 y軸交于負半軸 . 以上三點中 , 當(dāng)結(jié)論和條件互換時 , 仍成立 . 如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè) , 則0ab. 10. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)2axy當(dāng)0a時開口向上當(dāng)0a時開口向下0 x kaxy20 x 2hxayhx khxay2hx cbxaxy2abx2 11. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 一般式：cbxaxy2. 已知圖像上三點或三對x、y的值, 通常選擇一般式 . 頂點式：khxay2. 已知圖像的頂

5、點或?qū)ΨQ軸, 通常選擇頂點式 . 交點式：已知圖像與x軸的交點坐標(biāo)1x 、2x, 通常選用交點式：21xxxxay. 12. 直線與拋物線的交點 y軸與拋物線cbxaxy2得交點為 與y軸平行的直線hx與拋物線cbxaxy2有且只有一個交點 . 拋物線與x軸的交點二次函數(shù)cbxaxy2的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)1x 、2x, 是對應(yīng)一元二次方程02cbxax的兩個實數(shù)根. 拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：.有兩個交點0拋物線與x軸相交；有一個交點 0拋物線與x軸相切；沒有交點0拋物線與x軸相離 . 平行于x軸的直線與拋物線的交點同一樣可能有 0 個交點、 1

6、 個交點、2 個交點 . 當(dāng)有 2 個交點時 , 兩交點的縱坐標(biāo)相等 ,設(shè)縱坐標(biāo)為 k , 則橫坐標(biāo)是kcbxax2的兩個實數(shù)根 . 一次函數(shù)0knkxy的圖像 l 與二次函數(shù)02acbxaxy的圖像 g 的交點 , 由方程組cbxaxynkxy2的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時l 與g 有兩個交點 ; 方程組只有一組解時l 與g 只有一個交點；方程組無解時l 與g 沒有交點 . 拋 物 線 與x軸 兩 交 點 之 間 的 距 離 ： 若 拋 物 線cbxaxy2與x軸 兩 交 點 為0021，xbxa, 由于1x 、2x是方程02cbxax的兩個根 , 故acxxabxx2121,1

7、3二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：一元二次方程cbxaxy2就是二次函數(shù)cbxaxy2當(dāng)函數(shù) y 的值為 0 時的情況二次函數(shù)cbxaxy2的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；當(dāng)二次函數(shù)cbxaxy2的圖象與x軸有交點時 , 交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng)0y時自變量x的值 , 即一元二次方程02cbxax的根當(dāng)二次函數(shù)cbxaxy2的圖象與x軸有兩個交點時 , 則一元二次方程cbxaxy2有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)cbxaxy2的圖象與x軸有一個交點時 , 則一元二次方程02cbxax有兩個相等的實數(shù)根； 當(dāng)二次函數(shù)cbxaxy2的圖象與x軸沒有交點時 , 則一元二次方程

8、02cbxax沒有實數(shù)根14. 二次函數(shù)的應(yīng)用：二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題, 這類問題實際上就是求函數(shù)的最大值；二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大值.15. 解決實際問題時的基本思路：理解問題； 分析問題中的變量和常量；用函數(shù)表達式表示出它們之間的關(guān)系； 利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進行求解；檢驗結(jié)果的合理性, 對問題加以拓展等二次函數(shù)知識點一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地, 形如2yaxbxcabc， ，是常數(shù) ,0a的函數(shù) , 叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似, 二次項系數(shù)0a, 而b

9、c，可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)2yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式 ,x的最高次數(shù)是2abc， ，是常數(shù) ,a是二次項系數(shù),b是一次項系數(shù),c是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：2yax的性質(zhì)：a 的絕對值越大 ,拋物線的開口越小。2. 2yaxc的性質(zhì)：上加下減。3. 2ya xh的性質(zhì)：左加右減。4. 2ya xhk的性質(zhì)：a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)0a向上00，y軸0 x時,y隨x的增大而增大；0 x時,y隨x的增大而減?。? x時,y有最小值00a向下00，y軸0 x時,y隨x的增大而減?。? x時,y隨

10、x的增大而增大；0 x時,y有最大值0a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)0a向上0c，y軸0 x時,y隨x的增大而增大；0 x時,y隨x的增大而減??；0 x時,y有最小值c0a向下0c，y軸0 x時,y隨x的增大而減?。? x時,y隨x的增大而增大；0 x時,y有最大值ca的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)0a向上0h，x=h xh時,y隨x的增大而增大；xh時,y隨x的增大而減??；xh時,y有最小值00a向下0h，x=h xh時,y隨x的增大而減小；xh時,y隨x的增大而增大；xh時,y有最大值0.三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式2ya xhk,確定其頂

11、點坐標(biāo)hk，； 保持拋物線2yax的形狀不變 ,將其頂點平移到hk，處,具體平移方法如下：2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上h值正右移 ,負左移；k值正上移 ,負下移 概括成八個字 左加右減 ,上加下減 方法二：cbxaxy2沿y軸平移 :向上下平移m個單位 ,cbxaxy2變成mcbxaxy2或mcbxaxy2cbxaxy2沿軸平移： 向左右平移m個單位 ,cbxaxy2變成cmxbmxay)()(2或cmxbmxay)()(2四、二次函數(shù)2ya xhk與2yaxbxc的比較從解析式上看,2ya xhk與2yaxbxc是兩種不同的表達形式, 后者通過配方可以得到前者, 即22424bacbya

12、 xaa, 其中2424bacbhkaa，五、二次函數(shù)2yaxbxc圖象的畫法五點繪圖法： 利用配方法將二次函數(shù)2yaxbxc 化為頂點式2()ya xhk,確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo), 然后在對稱軸兩側(cè), 左右對稱地描點畫圖. 一般我們選取的五點為：頂點、 與y軸的交點 0c，、以及0c，關(guān)于對稱軸對稱的點2hc，、與 x 軸的交點10 x ，,20 x ，若與 x 軸沒有交點, 則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點. 畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向, 對稱軸 , 頂點 , 與 x 軸的交點 , 與y軸的交點 . 六、二次函數(shù)2yaxbxc的性質(zhì)1.當(dāng)0a時,拋物線開口向上,對稱軸為2bxa,

13、頂點坐標(biāo)為2424bacbaa，a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)0a向上hk，x=h xh時,y隨x的增大而增大；xh時,y隨x的增大而減?。粁h時,y有最小值k0a向下hk，x=h xh時,y隨x的增大而減?。粁h時,y隨x的增大而增大；xh時,y有最大值k.當(dāng)2bxa時,y隨x的增大而減?。划?dāng)2bxa時,y隨x的增大而增大；當(dāng)2bxa時,y有最小值244acba2. 當(dāng)0a時,拋物線開口向下,對稱軸為2bxa,頂點坐標(biāo)為2424bacbaa，當(dāng)2bxa時 ,y隨x的增大而增大；當(dāng)2bxa時,y隨x的增大而減??；當(dāng)2bxa時,y有最大值244acba七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式

14、：2yaxbxca,b,c為常數(shù) ,0a；2. 頂點式：2()ya xhka,h,k為常數(shù) ,0a；3. 兩根式：12()()ya xxxx0a,1x,2x是拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo). 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式,只有拋物線與x軸有交點 ,即240bac時 ,拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 . 八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項系數(shù)a二次函數(shù)2yaxbxc中,a作為二次項系數(shù),顯然0a 當(dāng)0a時,拋物線開口向上,a的值越大 ,開口越小 ,反之a(chǎn)的值越小 ,開口越大； 當(dāng)0a時,拋物

15、線開口向下,a的值越小 ,開口越小 ,反之a(chǎn)的值越大 ,開口越大總結(jié)起來 ,a決定了拋物線開口的大小和方向,a的正負決定開口方向,a的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對稱軸 在0a的前提下 , 當(dāng)0b時,02ba,即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)0b時,02ba,即拋物線的對稱軸就是y軸；當(dāng)0b時,02ba,即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè) 在0a的前提下 ,結(jié)論剛好與上述相反,即當(dāng)0b時,02ba,即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)；當(dāng)0b時,02ba,即拋物線的對稱軸就是y軸；當(dāng)0b時,02ba,即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)總結(jié)起來 ,在a確定的前提下,b決定

16、了拋物線對稱軸的位置ab的符號的判定： 對稱軸abx2在y軸左邊則0ab,在y軸的右側(cè)則0ab,概括的說就是左同右異 總結(jié)：.3. 常數(shù)項c 當(dāng)0c時,拋物線與y軸的交點在x軸上方 ,即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)0c時,拋物線與y軸的交點為坐標(biāo)原點,即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為0； 當(dāng)0c時,拋物線與y軸的交點在x軸下方 ,即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為負總結(jié)起來 ,c決定了拋物線與y軸交點的位置總之 ,只要abc， ，都確定 ,那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點 ,選擇適當(dāng)

17、的形式,才能使解題簡便一般來說,有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標(biāo),一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大小值,一般選用頂點式；3. 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo),一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點,常選用頂點式九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點式表達1. 關(guān)于x軸對稱2yaxbxc關(guān)于x軸對稱后 ,得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk關(guān)于x軸對稱后 ,得到的解析式是2ya xhk；2. 關(guān)于y軸對稱2yaxbxc關(guān)于y軸對稱后 ,得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk關(guān)于y軸對稱后 ,得到的解析

18、式是2ya xhk；3. 關(guān)于原點對稱2yaxbxc關(guān)于原點對稱后,得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk關(guān)于原點對稱后,得到的解析式是2ya xhk；4. 關(guān)于頂點對稱即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)1802yaxbxc關(guān)于頂點對稱后,得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk關(guān)于頂點對稱后,得到的解析式是2ya xhk5. 關(guān)于點mn，對稱2ya xhk關(guān)于點mn，對稱后 ,得到的解析式是222ya xhmnk根據(jù)對稱的性質(zhì),顯然無論作何種對稱變換,拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化,因此a永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時,可以依據(jù)題意或方便運算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原

19、拋物線或表達式已知的拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向,再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其對稱拋物線的表達式.十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)與x 軸交點情況：一元二次方程20axbxc是二次函數(shù)2yaxbxc 當(dāng)函數(shù)值0y時的特殊情況. 圖象與 x 軸的交點個數(shù)：當(dāng)240bac時,圖象與 x 軸交于兩點1200a xb x，12()xx,其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的兩根這兩點間的距離2214bacabxxa. 當(dāng)0時,圖象與 x軸只有一個交點；當(dāng)0時,圖象與 x軸沒有交點 . 1當(dāng)0a時,圖象落在x軸的上方 ,無論x為任何

20、實數(shù) ,都有0y；2當(dāng)0a時,圖象落在x軸的下方 ,無論x為任何實數(shù) ,都有0y2. 拋物線2yaxbxc 的圖象與y軸一定相交 ,交點坐標(biāo)為(0 , ) c ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo) ,需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大小值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)2yaxbxc中a,b,c的符號 ,或由二次函數(shù)中a,b,c的符號判斷圖象的位置 ,要數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點對稱的點坐標(biāo),或已知與x軸的一個交點坐標(biāo),可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項

21、式,二次三項式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函數(shù)； 下面以0a時為例 ,揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：圖像參考：十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用剎車距離何時獲得最大利潤最大面積是多少二次函數(shù)考查重點與常見題型1 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì), 有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中, 如：0拋物線與x軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根0拋物線與x軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根0拋物線與x軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根. .已知以x為自變量的二次函數(shù)2)2(22mmxmy的圖像經(jīng)過原點, 則

22、m的值是2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像, 習(xí)題的特點是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像 , 試題類型為選擇題, 如：如圖 , 如果函數(shù)bkxy的圖像在第一、二、三象限內(nèi), 那么函數(shù)12bxkxy的圖像大致是 y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x a b c d 3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式, 有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高, 習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題 , 如：已知一條拋物線經(jīng)過,兩點 , 對稱軸為35x, 求這條拋物線的解析式。4 考查用配方法求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值, 有關(guān)試題為解答題, 如：已知拋物線2y

23、axbxca0 與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是1、3, 與 y 軸交點的縱坐標(biāo)是錯誤 !1 確定拋物線的解析式；2 用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo). 5考查代數(shù)與幾何的綜合能力, 常見的作為專項壓軸題。 例題經(jīng)典 由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例 1 1 二次函數(shù)2yaxbxc的圖像如圖1, 則點),(acbm在 a第一象限 b第二象限 c 第三象限 d第四象限2 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c a0 的圖象如圖2 所示 ,? 則下列結(jié)論：a、b 同號；當(dāng)x=1 和 x=3 時,函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng) y=-2 時,x 的值只能取0. 其中正確的個數(shù)是a1 個 b2 個

24、c3 個 d4 個 點評 弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系 , 是解決問題的關(guān)鍵例 2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸交于點 、 , 且 1x12, 與 y 軸的正半軸的交點在點的下方下列結(jié)論： abo ；4a+co, 其中正確結(jié)論的個數(shù)為 a 1個 b. 2個 c. 3個 d 4 個答案： d 會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例 3.已知：關(guān)于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一個根為x=-2, 且二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的對稱軸是直線x=2,則拋物線的頂點坐標(biāo)為 a b. c d 答案： c 例 4、20xxxx市如圖單位： m,等腰三角形abc以

25、 2 米/ 秒的速度沿直線l 向正方形移動, 直到 ab與 cd重合設(shè)x 秒時 , 三角形與正方形重疊部分的面積為ym21 寫出 y 與 x 的關(guān)系式；2 當(dāng) x=2,3.5時,y 分別是多少？3 當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時, 三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標(biāo)、對稱軸 . .例 5、已知拋物線y=12x2+x-521 用配方法求它的頂點坐標(biāo)和對稱軸2 若該拋物線與x 軸的兩個交點為a、b,求線段 ab的長 點評 本題 1 是對二次函數(shù)的基本方法 的考查 , 第 2 問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例 6.已知：二次函數(shù)y=ax2-x-3a的圖象經(jīng)過點p, 交 x 軸于)0

26、 ,(1xa,)0 ,(2xb兩點)(21xx, 交y 軸負半軸于c 點, 且滿足 3ao=ob 求二次函數(shù)的解析式；在二次函數(shù)的圖象上是否存在點m,使銳角 mco aco? 若存在 , 請你求出m點的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在, 請你說明理由解：如圖拋物線交x 軸于點 a,b, 則 x1x2=30, 又 x1o,x1o,30a=ob,x2=-3x1x1x2=-3x12=-3 x12=1. x10, x1=-1 x2=3點 a,p代入解析式得解得a=2 b=3 二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6 存在點 m使 mc0 aco 解：點 a關(guān)于 y 軸的對稱點a, 直線 a,c 解析式為y=6

27、x-6 直線 ac 與拋物線交點為,符合題意的x 的范圍為 -1x0 或 ox5當(dāng)點 m的橫坐標(biāo)滿足-1xo 或 ox aco 例 7、 已知函數(shù)cbxxy221的圖象經(jīng)過點ac, 2,求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3。 題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。1 根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息, 你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能, 請寫出求解過程, 并畫出二次函數(shù)圖象；若不能, 請說明理由。2 請你根據(jù)已有的信息, 在原題中的矩形框中, 填加一個適當(dāng)?shù)臈l件, 把原題補充完整。點評：對于第 1 小題 , 要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式, 就要把原來的結(jié)論

28、函數(shù)圖象的對稱軸是x=3 當(dāng)作已知來用 , 再結(jié)合條件 圖象經(jīng)過點ac, 2, 就可以列出兩個方程了, 而解析式中只有兩個未知數(shù) , 所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第2 小題 , 只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第 1 小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件, 可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標(biāo), 可以給出頂點的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個交點的坐標(biāo)等。 解答 1 根據(jù)cbxxy221的圖象經(jīng)過點a c, 2, 圖象的對稱軸是x=3, 得,3212,2212bcbcc解得. 2,3cb.所以所求二次函數(shù)解析式為.23212xxy圖象如圖所示。2 在解析式中令

29、y=0, 得023212xx, 解得.53,5321xx所以可以填 拋物線與x 軸的一個交點的坐標(biāo)是3+)0,5 或 拋物線與x 軸的一個交點的坐標(biāo)是).0 ,53(令 x=3 代入解析式 , 得,25y所以拋物線23212xxy的頂點坐標(biāo)為),25, 3(所以也可以填拋物線的頂點坐標(biāo)為)25,3(等等。函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑圖象、解析式等了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為 變化過程中變量之間關(guān)系 的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問題例 1 已知邊長為4 的正方形截去一個角后成為五邊形abcde 如圖 , 其中 af=2,bf

30、=1試在 ab上求一點p,使矩形 pndm 有最大面積 評析 本題是一道代數(shù)幾何綜合題, 把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結(jié)合在一起, 能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力同時, 也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間例 2 某產(chǎn)品每件成本10 元, 試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x元 ?與產(chǎn)品的日銷售量y件之間的關(guān)系如下表：x元15 20 30 y件25 20 10 若日銷售量y 是銷售價x 的一次函數(shù)1 求出日銷售量y件與銷售價x元的函數(shù)關(guān)系式；2 要使每日的銷售利潤最大, 每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？?此時每日銷售利潤是多少元？ 解析 1 設(shè)此一次函數(shù)表達式為y=kx+b 則1525,220kbkb解

31、得k=-1,b=40,?即一次函數(shù)表達式為y=-x+40 2 設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x 元, 所獲銷售利潤為w元 w=x-10 40-x=-x2+50 x-400=- x-252+225產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25 元, 此時每日獲得最大銷售利潤為225 元 點評 解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似, 也有區(qū)別 , 主要有兩點： 1 設(shè)未知數(shù)在 當(dāng)某某為何值時 , 什么最大或最小、最省 的設(shè)問中 ,? 某某 要設(shè)為自變量, 什么 要設(shè)為函數(shù)； 2?問的求解依靠配方法或最值公式 , 而不是解方程例 3.你知道嗎 ?平時我們在跳大繩時, 繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示 , 正在甩繩

32、的甲、 乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m,距地面均為1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m 、 25 m處繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂已知學(xué)生丙的身高是15 m, 則學(xué)生丁的身高為 a15 m b 1625 m c166 m d167 m 分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案： b 知識點一、平面直角坐標(biāo)系.1,平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸,就組成了平面直角坐標(biāo)系。其中 ,水平的數(shù)軸叫做x 軸或橫軸 ,取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y 軸或縱軸 ,取向上為正方向；兩軸的交點 o即公共的原點叫做直角坐標(biāo)系的原點；建立了直角坐標(biāo)系的平面,叫做坐標(biāo)平面。為了便于

33、描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置,把坐標(biāo)平面被x 軸和 y 軸分割而成的四個部分,分別叫做第一象限、 第二象限、第三象限、第四象限。注意： x 軸和 y 軸上的點 ,不屬于任何象限。2、點的坐標(biāo)的概念點的坐標(biāo)用 a,b 表示 ,其順序是橫坐標(biāo)在前,縱坐標(biāo)在后 ,中間有 , 分開 ,橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對,當(dāng)ba時,a,b和 b,a 是兩個不同點的坐標(biāo)。知識點二、不同位置的點的坐標(biāo)的特征1、各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征點 p 在第一象限0,0 yx點 p 在第二象限0,0 yx點 p 在第三象限0,0 yx點 p 在第四象限0,0 yx2、坐標(biāo)軸上的點的特征點 p 在 x 軸上0y

34、,x 為任意實數(shù)點 p 在 y 軸上0 x,y 為任意實數(shù)點 p 既在 x 軸上 ,又在 y 軸上x,y 同時為零 ,即點 p 坐標(biāo)為 0,0 3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征點 p 在第一、三象限夾角平分線上x 與 y 相等點 p 在第二、四象限夾角平分線上x 與 y 互為相反數(shù)4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征位于平行于x 軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y 軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。5、關(guān)于 x 軸、 y 軸或遠點對稱的點的坐標(biāo)的特征點 p 與點 p 關(guān)于 x 軸對稱橫坐標(biāo)相等 ,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)點 p 與點 p 關(guān)于 y 軸對稱縱坐標(biāo)相等 ,橫坐標(biāo)互為相反數(shù)點

35、p 與點 p 關(guān)于原點對稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)6、點到坐標(biāo)軸及原點的距離點 p 到坐標(biāo)軸及原點的距離：1 點 p 到 x 軸的距離等于y2 點 p 到 y 軸的距離等于x.3 點 p 到原點的距離等于22yx知識點三、函數(shù)及其相關(guān)概念1、變量與常量在某一變化過程中,可以取不同數(shù)值的量叫做變量,數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地 ,在某一變化過程中有兩個變量x 與 y,如果對于 x 的每一個值 ,y 都有唯一確定的值與它對應(yīng),那么就說x 是自變量 ,y 是 x 的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體,叫做自變量的取值范圍。3、

36、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點1 解析法兩個變量間的函數(shù)關(guān)系,有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示,這種表示法叫做解析法。2 列表法把自變量x 的一系列值和函數(shù)y 的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系,這種表示法叫做列表法。3 圖像法用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟1 列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值2 描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo),在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點3 連線：按照自變量由小到大的順序,把所描各點用平滑的曲線連接起來。知識點四 , 正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地 ,如果bkxy k,b 是常數(shù) ,k0,那么 y

37、 叫做 x 的一次函數(shù)。特別地 ,當(dāng)一次函數(shù)bkxy中的 b 為 0 時,kxyk 為常數(shù) ,k0。這時 ,y 叫做 x 的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù)bkxy的圖像是經(jīng)過點0,b 的直線；正比例函數(shù)kxy的圖像是經(jīng)過原點0,0 的直線。k 的符號b 的符號函數(shù)圖像圖像特征k0 b0 y 0 x 圖像經(jīng)過一、 二、三象限 ,y 隨 x 的增大而增大。b0 y 圖像經(jīng)過一、 三、四象限 ,y 隨 x 的增.0 x 大而增大。k0 y 0 x 圖像經(jīng)過一、 二、四象限 ,y 隨 x 的增大而減小b0 時,圖像經(jīng)過第一、

38、三象限,y 隨 x 的增大而增大；2 當(dāng) k0 時,y 隨 x 的增大而增大2 當(dāng) k0 k0 時,函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi),y 隨 x 的增大而減小。x 的取值范圍是x0, y 的取值范圍是y0；當(dāng) k0 a0 y 0 x y 0 x 性質(zhì)1 拋物線開口向上,并向上無限延伸； 2對 稱 軸 是x=ab2, 頂 點 坐 標(biāo) 是ab2,abac442；3 在對稱軸的左側(cè),即當(dāng) xab2時,y 隨x 的增大而增大,簡記左減右增； 4拋 物 線 有 最 低 點 , 當(dāng)x=ab2時 ,y有 最 小值,abacy442最小值1 拋物線開口向下,并向下無限延伸； 2對 稱 軸 是

39、x=ab2, 頂 點 坐 標(biāo) 是ab2,abac442；3 在對稱軸的左側(cè),即當(dāng) xab2時,y 隨 x 的增大而減小,簡記左增右減； 4 拋物線有最高點,當(dāng) x=ab2時 ,y 有最大值,abacy442最大值2、二次函數(shù))0,(2acbacbxaxy是常數(shù)，中,cb、a的含義：a表示開口方向：a0 時,拋物線開口向上a0 時,圖像與 x 軸有兩個交點；當(dāng)=0 時,圖像與 x 軸有一個交點；當(dāng)0 時,圖像與 x 軸沒有交點。1、兩點間距離公式當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時,可用此方法拓展思路,以尋求解題方法y 如圖：點a 坐標(biāo)為 x1,y1點 b 坐標(biāo)為 x2,y2則 ab 間的距離 ,即線段 ab

40、的長度為221221yyxxa 0 x b 2,二次函數(shù)圖象的平移 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式2ya xhk,確定其頂點坐標(biāo)hk，； 保持拋物線2yax的形狀不變,將其頂點平移到hk，處,具體平移方法如下：平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上h值正右移 ,負左移；k值正上移 ,負下移 函數(shù)平移圖像大致位置規(guī)律中考試題中,只占 3 分,但掌握這個知識點,對提高答題速度有很大幫助,可以大大節(jié)省做題的時間特別記憶- 同左上加異右下減 說明函數(shù)中 ab 值同號 , 圖像頂點在y 軸左側(cè)同左,a b值異號 , 圖像頂點必在y軸右側(cè)異右向左向上移動為加左上加, 向右向下移動為減右下減3、直線斜率：1212tanxx

41、yykb為直線在 y軸上的截距 4、直線方程：4、兩點由直線上兩點確定的直線的兩點式方程, 簡稱兩式:)()(tan112121xxxxxyybxbkxyy此公式有多種變形牢記點斜)(11xxkxyy斜截直線的斜截式方程, 簡稱斜截式 : ykxb .截距由直線在x軸和y軸上的截距確定的直線的截距式方程,簡稱截距式：1byax牢記口訣 -兩點斜截距- 兩點 點斜 斜截 截距5、設(shè)兩條直線分別為,1l：11yk xb2l：22yk xb若12/ll,則有1212/llkk且12bb。若12121llkk6、點 px0,y0到直線 y=kx+b 的距離 : 1)1(2002200kbykxkbyk

42、xd7、拋物線cbxaxy2中, a b c,的作用1a決定開口方向及開口大小, 這與2axy中的a完全一樣 . 2b和a共同決定拋物線對稱軸的位置. 由于拋物線cbxaxy2的對稱軸是直線abx2, 故：0b時, 對稱軸為y軸；0ab即a、b同號時 , 對稱軸在y軸左側(cè)； 0ab即a、b異號時 , 對稱軸在y軸右側(cè) . 口訣 - 同左異右3c的大小決定拋物線cbxaxy2與y軸交點的位置. 當(dāng)0 x時,cy, 拋物線cbxaxy2與y軸有且只有一個交點0,c：0c, 拋物線經(jīng)過原點; 0c, 與y軸交于正半軸；0c, 與y軸交于負半軸. 以上三點中 , 當(dāng)結(jié)論和條件互換時, 仍成立 . 如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè) , 則0ab. 特殊點坐標(biāo)特征: 坐標(biāo)平面點 , 橫在前來縱在后；,和, 四個象限分前后；x 軸上 y 為 0,x 為 0 在 y 軸。對稱點坐標(biāo) : 對稱點坐標(biāo)要記牢, 相反數(shù)位置莫混淆,x 軸對稱y 相反 ,y 軸對稱 ,x 前面添負號；原點對稱最好記 , 橫縱坐標(biāo)變符號。自變量的取值范圍：分式分母不為零, 偶次根下負不行；零次冪底數(shù)不為零, 整式、奇次根全