高三高考平面向量題型總結,經(jīng)典（精編版）

1、平面向量一、平面向量的基本概念：1. 向量：既有大小又有方向的量叫做_. 我們這里的向量是自由向量，即不改變大小和方向可以平行移動。向量可以用 _來表示 . 向量的符號表示_.2. 向量的長度：向量的大小也是向量的長度（或_） ，記作 _.3. 零向量：長度為0 的向量叫做零向量，記作_.4. 單位向量： _.5. 平行向量和共線向量：如果向量的基線平行或重合，則向量平行或共線；兩個非零向量方向相同或相反.記作 _規(guī)定： _.注意：理解好共線（平行）向量。6. 相等向量： _.例：下列說法正確的是_有向線段就是向量，向量就是有向線段；,cbba則ca；,/,/cbbaca/若cdab，則 a，

2、b，c， d四點是平行四邊形的四個頂點；所有的單位向量都相等；二、向量的線性運算：（一）向量的加法：1. 向量的加法的運算法則：_、_和_.（1）向量求和的三角形法則：適用于任何兩個向量的加法，不共線向量或共線向量；模長之間的不等式關系_ ； “首是首，尾是尾，首尾相連”例 1. 已知 ab=8 ，ac=5 ，則 bc的取值范圍 _例 2. 化簡下列向量（1）pmqpmnnq（2）)()()(mbpmabcqbcbp（2）平行四邊形法則：適用不共線的兩個向量，當兩個向量是同一始點時，用平行四邊形法則；ba是以a，b為鄰邊的平行四邊形的一條對角線，如圖：例 1. （09 山東）設p是三角形 ab

3、c所在平面內(nèi)一點，bpbabc2，則a.0pbpa b.0pcpa c.0pbpc d.0pcpbpa例 2.（13 四川） 在平行四邊形abcd 中，對角線 ac與 bd交于點 o，aoadab，則._（3）多邊形法則2. 向量的加法運算律：交換律與結合律（二）向量的減法：減法是加法的逆運算，a.pbpaoboaba（終點向量減始點向量）在平行四邊形中，已知以a、b為鄰邊的平行四邊形中，baba,分別為平行四邊形的兩條對角線，當baba時，此時平行四邊形是矩形。例 1. 已知8,6 ba，且baba，則baba=_例 2. 設點 m是 bc的中點，點a在線段 bc外， bc=16 ，acab

4、acab，則_am向量的加減運算：例 1. （08 遼寧）已知、oa、b是平面內(nèi)的三個點，直線ab上有一點c，滿足 cb+2ac=0，則 oc=_oaob b.oa+2ob c. 32oa31ob d. 31oa+32ob例 2.(15課標全國i）設 d是三角形abc所在平面內(nèi)一點，cdbc3，則 _a.acabad3431 b.acabad3431c.acabad3134 d.acabad3134例 3. （12 全國）在abc中，ab邊上的高為cd, cb=a,ca=b,a?b=0,2, 1 ba, 則ad=_例 4. （10 全國）在abc中，點d在邊ab上，cd平分acb，若 cb=a

5、,ca=b,2, 1 ba，則 cd=_例 5. 在abc中，設d為邊bc的中點 , e為邊ad的中點 , 若be=mab+nac，則m+n=_例6. （ 15 北京理）在abc中，點nm ,滿足ncbnmcam,2，若acyabxmn，則_ yx例 7. （13 江蘇）設d、e分別是abc的邊ab、bc上的點，若bcbeabad32,21，若 de=1ab+2ac(1,2為實數(shù) ) ，則1+2=_例 8.（12 東北四市一摸）在abc中，設p為邊bc的中點，內(nèi)角cba,的對邊cba,，若cac+apa+bpb=0，則abc的形狀為 _( 三）實數(shù)與向量的積：1. 定 義 ： 實 數(shù)與 非 零

6、 向 量a的 乘 積a是 一 個 向 量 ， 它 的 長 度 是 _. 它 的 方 向 是_. 當0時， _2. 數(shù)乘向量的幾何意義是把向量同方向或反方向擴大或縮小。3. 運算律：設a、b是任意向量，,是實數(shù)，則實數(shù)與向量的積適合以下運算：4. 向量共線的判斷： （平行向量的基本定理）如果ba，則ba /；若ba /，0b，則存在唯一的實數(shù)，使得ba.若a、b是兩個不共線的非零向量，則它們共線的充要條件是存在兩個均不是零的實數(shù),， 使_.若22122111,eebeea，21,ee不共線，ba /，則在有意義的前提下，2121例 1. （15 課標全國ii ）設向量若a、b是兩個不平行的向量，

7、向量ba與ba2平行，則_例 2. （09 湖南）對于非零向量, ,a b“0ab”是“/ /ab”的 _a充分不必要條件 b. 必要不充分條件c充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件例 3. （12 四川）設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使|abab成立的充分條件是aab bab ca 2b dab且|a| |b|5. 單位向量給定一個向量a，與a同方向且長度為1 的向量叫做a的單位向量，即_重要結論：已知abc，o為定點，p為平面內(nèi)任意一點.pa+pb+pc=0_.若 op=31oa+ob+oc，則p為abc_若 op=oa+（ab+ac） ，), 0(，則p點的軌跡 _.若 op

8、=oa+_,),0(, 則p點的軌跡通過abc的內(nèi)心若 _, 則p點的軌跡是abc的外心若 _, 則p點的軌跡是abc的垂心例 1. （10 湖北）在abc中，點m滿足 ma+mb+mc=0，若存在實數(shù)m，使得 ab+ac=mam，則m=_.例 2. 在abc中，重心為g ，若0sin3sin3sin2gccgbbgaa，則_cosb例 3. 在abc中，重心為g ，若033gcgbbgaa，則_a三、平面向量的基本定理( 一）平面向量基本定理內(nèi)容：如果1e、2e是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a， 有且只有一對實數(shù)21,，使_, 其中1e、2e是一組基底， 記作叫做

9、向量a關于基底的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依據(jù)，是向量坐標運算的基礎。注意：只要是不共線的兩個向量都可以作為基底，因為零向量與任一向量都平行，所以零向量一定不能作為基底；基底不唯一；任一向量可以由一組基底來表示，但表示方法是唯一的。例 1. （14 福建）在下列向量組中，可以把向量)2, 3(a表示出來的是_a.)2, 1 (),0, 0(21ee b.)2, 5(),2, 1(21eec.)10,6(),5 , 3(21ee d.)3 ,2(),3, 2(21ee例 2. （09 安徽）在平行四邊形abcd 中， e， f分別是 cd ， bc的中點，若afaeac， 則_（二

10、）平面向量基本定理與向量共線條件的綜合應用設ba,是 直 線l上 兩 點 ，o是 直 線 外 一 點 ， 對 于 直 線 上 任 意 一 點p， 存 在rt， 使_成立 . 反之，滿足上式的點p在直線l上.特別地，當p為ba,的中點時，則_.例 1. 已知、oa、b是平面內(nèi)的三個點，線段ba的延長線上有一點c，滿足 3ac+cb=0則oc=_oaob b.2oa+3ob c. 23oa21ob d. 21oa+23ob例 2. 數(shù)列na是等差數(shù)列， 其前n項和為ns，若平面上的三個不共線的向量oa、ob、 oc滿足 ob=1aoa+2006aoc，且cba,三點共線，則_2006s例 3. 已

11、知向量ji ,不共線，且 ab=jmi， adjin，若dba,三點共線，則實數(shù)nm,應滿足的條件_a. 1nm b. 1nm c. 1mn d. 1mn例 4. （ 07 江西）如圖，在abc中， 設o為邊bc的中點，過點o的直線交直線ab、ac于不同兩點nm ,.若ab=mam，ac=nan，則m+n=_mn的最大值為 _例 5. 在abc中，設m為邊bc的任意點，n為am中點， an=ab+ac，則+=_.例 6. 在abc中，設m為邊bc的中點，n為am中點， an=ab+ac，則+=_.例 7. 如圖， 在abc中，設d為邊bc的中點，g為ad中點，過g任作一條直線mn分別交ab、a

12、cnocbamgnca于nm ,兩點，若 am=xab， an=yac，試問yx11是否為定值四、平面向量的正交分解與向量的直角坐標運算：（一）向量的正交分解與向量的直角坐標1. 向量的垂直：如果兩個向量的基線互相垂直，那么這兩個向量互相垂直；2. 向量的正交分解：如果基底的兩個基向量互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。3. 在平面直角坐標系下，分別取與x 軸， y 軸方向相同的兩個單位向量作為基底，對于平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)x,y ，使得21eyexa. 有序數(shù)對),(yx叫做a的坐標，記作),(yxa注意： （1）每一個向量都可以用一對有序實數(shù)

13、對來表示，向量有代數(shù)法和幾何法兩種表示。（2）符號),(yx有了雙重的意義，既可以表示固定的點，又可以表示向量；平面向量的坐標只與始點和終點坐標有關，只有點始點在原點時，向量的坐標才與終點的坐標相等。（二）向量的坐標運算1. 若),(),(2211yxbyxa，則_ba.2. 若),(),(2211yxbyxa，則 ab=_| ab|=_3. 若ryxa),(，則_a4. 若),(),(2211yxbyxa，ba /, 則有 _.5. 三角形 abc的重心坐標公式為_五、平面向量的數(shù)量積：1. 平面向量數(shù)量積的定義向量ba,的夾角已知兩個非零向量ba,，過點o作bobaoa,，則(aob_),

14、 叫作向量ba,的夾角 .當_時，a與b垂直，記作 _.當_時，a與b平行或共線 . 注意：理解什么是兩向量的夾角以及兩向量夾角的范圍。向量ba,的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則把 _叫做向量ba,的數(shù)量積（內(nèi)積） ，記作_.規(guī)定a?0=0向量數(shù)量積的幾何意義_.2. 向量數(shù)量積的性質設ba,是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，是a與e的夾角，則cos?aeaaeba_當ba,同向時，_?ba.當ba,反向時，_?ba特別地，_? aa_cosbaba?3. 向量的數(shù)量積的運算律：注意：向量的數(shù)量積無_律，無 _律.4. 數(shù)量積的坐標運算若),(),(2211yxbyxa，

15、則_?ba若),(yxa，則_22?aaaa_a若),(),(2211yxbyxa，則ba/的充要條件為_),(),(2211yxbyxa，則ba的充要條件為_求角問題：若非零向量),(),(2211yxbyxa，是ba,的夾角，則_cos注意：向量有幾何法和坐標法兩種表示，它的運算也有兩種方式即基于幾何表示的幾何法和基于坐標表示的代數(shù)法 .典型例題（一）向量數(shù)量積的幾何運算，注意兩個向量的夾角，利用平面向量的基本定理選好基底例 1. 對任意向量ba,，下列關系式中不恒成立的是_a.baba b.baba c.22baba d.22bababa例 2. 已知向量cba,，滿足2, 1 ba，a

16、cbac，且，則向量ba與的夾角為 _例 3. （11 江西）已知2)()2(,2?bababa，則ba,的夾角為 _例 4. （13 全國）已知兩個單位向量a，b的夾角為60，btatc)1(，若0?cb則_t例 5. （13 江西）設1e、2e為單位向量，1e與2e的夾角為3，若1212,3ebeea，則向量a在b方向的射影為 _例 6. 已知向量cba,，滿足0cba，bacba,)(，, 1a若則_222cba例 7.(14課標全國）已知a，b ， c為圓 o上的三點，若)(21acabao，則ab與ac的夾角為 _例 8. （10 湖南）在直角三角形abc中，,4,90acc則ab?

17、ac=_例 9. （15 湖北）已知向量3, oaaboa，則_oboa例 10. 如圖，在平行四邊形abcd 中，ap bd ，垂足為p，且 ap 3，則ap ac例 11. 在三角形abc中，1,2,60acaba，fe,為邊bc的三等分點，則ae?af=_例 12. （12 天津）已知三角形abc為等邊三角形，2ab，點qp,滿足 ap=ab，aq=（1-）ac，r，若 bq?cp=23，則_例 13. （13 山東）已知向量ab與ac夾角120，2,3 acab，ap=ab+ac，且 ap?bc=0則實數(shù)的值 _例 14.（13 天津）在平行四邊形abcd中，60, 1badad，e為

18、邊cd的中點， 若ac?be=1， 則ab的長為 _例 15. 已知ba,夾角為6，2,3 ba，在三角形abc中， abnm22，acnm62，d為邊bc的中點，則_ad例 16. ad 與 be分別是abc的中線，若ad=be=1 ，be與ad的夾角為120，則 ab?ac=_例 17.(15四川）設四邊形abcd為平行四邊形，ab=6 ，ad=4 ，若 m ，n 滿足ncdnmcbm2,3，則_nmam例 18. （12 浙江）在三角形abc中，點m為bc的中點，,10,3 bcam則ab?ac=_例 19. （09 陜西）設m為abc邊bc的中點，1am， 點p在am上， 滿足 ap=

19、2pm, 則pa（ pb+pc） =_例 20. 設o是三角形abc的外心，1,3,acabbcod，則 ad?（ab- ac）=_例 21. 在三角形oab中，已知2,4 oboa，點p是ab的垂直平分線l上任一點，則ab?op=_例 22. 已知o是三角形abc的外心，若5, 3 acab，則 ao?bc=_例 23. 若三角形abc內(nèi)接于o以為圓心， 1 為半徑的圓， 3oa+4ob+5oc=0,則oc?ab=_例 24. 已知非零向量ba,，1231)(,323? xbaxaxxfba在r上有極值， 則ba,的取值范圍為 _例 25. （10 全國）已知圓o的半徑為1，pbpa,為該圓

20、的兩條切線，ba,為切點，則pa?pb的最小值為 _典型例題（二） ：對于有明顯的直角關系的向量問題-建立平面直角坐標系( 與線性規(guī)劃問題聯(lián)系), 向量的幾何法與代數(shù)法的轉化例 1.（13 湖北） 已知點 a （ 1，1） ，b （ 1,2 ）c （ 2，1） ，d （ 3,4 ） ，則向量 ab在cd方向上的投影為_例 2. （12 重慶）設ryx,，向量cbbacybxa/,),4,2(), 1(),1 ,(，則_ba例 3. 已知點3, 3a，o是坐標原點，點),(yxp的坐標滿足002303yyxyx，設z為oa在op上的投影，則z的取值范圍 _例 4. （13 福建）在四邊形abcd

21、中， ac=（1,2 ） ， bd=（-4,2 ） ，則四邊形的面積為_例 5. （09 湖南）如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板在一起，若ad=xab+yac，則x=_,y=_內(nèi)， oc?例 6. 已知1oa，32,aobkob， 點c在aoboa=0, 若oc=m2oa+mob，32oc，則_k例 7. （09 天津）若等邊三角形的邊長為32，平面上一點m，滿足 cm=61cb+32ca,則ma?mb=_.例 8. （11 天津）已知直角梯形abcd中，1,2,90,/bcadadcbcad，p是腰dc上的動點，則 | pa+3pb| 的最小值為 _例 9.(12江蘇 ) 如圖， 在矩形ab

22、cd中，2,2 bcab，點e為bc的中點， 點f在邊cd上，若ab?af,2，則 ae?bf=_例10. 在 直 角 三 角 形abc中 ， 點d是 斜 邊ab的 中 點 ， 點p是 線 段cd的 中 點 ， 則_222pcpbpa例 11. （13 全國）已知正方形abcd的邊長為2，e為cd的中點，則 ae?bd=_例 12. （ 13 重慶）在平面上，212121, 1,ababapobobabab，若21op，則oa的取值范圍是 _例 13. （12 北京）已知正方形abcd的邊長為1，點e為ab邊上的動點，則de?cb=_de?dc的最大值為 _例 14. 平面上三個向量oa、ob

23、、oc，滿足, 1,3, 1ocoboaoa?ob=0則 ca?cb的最大值為 _例 15. 已知三角形abc中，1,2,60bcacc， 點m是abc內(nèi)部或邊界上一動點，n是邊bc的中點，則 an?am的最大值為 _例16. （ 15 福建）已知tactabacab1,，若點p 是三角形abc所在平面內(nèi)一點，且acacababap4，則pcpb的最大值為 _例 17. （09 全國）設是a,b,c單位向量，a?b=0,則(a-c) ?(b-c)的最小值為 _例 18. （13 湖南）已知a,b是單位向量，a?b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍 _例 19. （11 遼寧）若a,b,c單位向量，a?b=0, (a-c) ?(b-c)0，則|a+b-c|的最大值為 _例 20. （11 全國） 設向量a,b,c ，滿足|a|=|b|=1,a?b=21,60,cbca, 則|c|的最大值為 _例 21.（ 14 安徽） 在平面直角坐標系xoy 中，已知a,b是單位向量，a?b=0，若 q點滿足)(2ba