水文學(xué)第3章 水文統(tǒng)計的基本原理與方法

1、第3章 水文統(tǒng)計的基本原理與方法n水文統(tǒng)計的基本概念n隨即變量的概率分布極其統(tǒng)計參數(shù)n經(jīng)驗頻率曲線與理論頻率曲線n現(xiàn)行水文頻率計算方法適線法n相關(guān)分析31 水文統(tǒng)計的基本概念 水文現(xiàn)象在其發(fā)生發(fā)展過程中，既有 必然性必然性 的一面，也有 隨隨機性機性 的特點。 概率論 與 數(shù)理統(tǒng)計 是研究 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象 的數(shù)學(xué)工具。 “事件”是指在一定的條件組合下，在試驗結(jié)果中所有可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的事情。 (1)必然事件 在一定的條件組合之下，某一事件在試驗中不可避免地要發(fā)生。 (2)不可能事件 在一定的條件組合下，肯定不會發(fā)生的事件。 (3)隨機事件 在一定的條件組合下，隨機試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)

2、生的事件。312 事 件311 水文現(xiàn)象的特點nmAp)(313 概 率(事先)概率：概率：隨機事件出現(xiàn)的可能性大小。 必然事件的概率等于1，不可能事件的概率等于o，而任何隨機事件的概率必然在0與1之間。314 頻 率（事后） 設(shè)事件A在n次試驗中出現(xiàn)了m次，則稱 為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率頻率。 當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，事件的頻率與概率之差可達到任意小的程度，即頻率趨于概率。nmAW）（ 315 總體與樣本 事件試驗各種可能結(jié)果的全體稱為 總體總體。 很多水文現(xiàn)象都是 無限總體無限總體。 從總體中隨機抽取一部分系列，稱抽樣，抽取的這部分系列稱為一個 隨機樣本隨機樣本，簡稱 樣本。樣本。 樣本

3、系列的長短，即樣本中所含的項數(shù)的多少，稱為 樣本樣本容量容量 或樣本大小。32 隨機變量的概率分布及其統(tǒng)計參數(shù)隨機變量的概率分布及其統(tǒng)計參數(shù)321 隨機變量 若隨機事件的每次試驗結(jié)果可用一個數(shù)值 x 來表示，x 隨試驗結(jié)果取不同的數(shù)值。在每次試驗中，究竟出現(xiàn)那一個數(shù)值則是隨機的，但取得某一數(shù)值具有一定的概率，這種變量稱為 隨機變量隨機變量。 如果在某一隨機變量相鄰兩數(shù)值之間，不存在中間數(shù)值，這種隨機變量稱為 離散型隨機變量（擲骰字）。離散型隨機變量（擲骰字）。 如果隨機變量可取得一個有限區(qū)間的任何數(shù)值，即相鄰兩個取值之間的差值可以小到無窮小，這種隨機變量稱為 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量。 水

4、文現(xiàn)象大多屬于連續(xù)型隨機變量（河流某斷面的河流某斷面的 流量流量 可以可以在零和極限值之間變化在零和極限值之間變化）。322 隨機變量的概率分布 隨機變量的取值與其概率是一一對應(yīng)的，一般將這種對應(yīng)關(guān)系稱為 隨機變量的概率分布隨機變量的概率分布。 離散型隨機變量離散型隨機變量 X可能取的值 ： xi 用 pi 表示 X 取 xi 值的概率，即 離散型離散型隨機變量取任何可能值時，其概率都不會是負，即 pi o (i1、2、)；iipxXP)(.)2 , 1( i 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量，因其取某一給定值的概率等于零，在水文上僅討論隨機變量隨機變量 X 取大于、等于某取大于、等于某 xi 值

5、的發(fā)生概率值的發(fā)生概率:iipxXp)(xidxxfxFxXp)()(例：將某站62年降雨資料以x=200mm為級差進行分組，并由大到小排隊。 求 頻率密度直方圖頻率密度直方圖 和 頻率分布直方圖。頻率分布直方圖。年降雨量年降雨量x=200mmx=200mm組內(nèi)出組內(nèi)出現(xiàn)次數(shù)現(xiàn)次數(shù)累計累計次數(shù)次數(shù)組內(nèi)組內(nèi)頻率頻率組內(nèi)平均組內(nèi)平均頻率密度頻率密度累計累計頻率頻率 m mi i p%p%p/xp/xp%p%2101-23002101-23001 11 11/62=11/62=1.6%6%0 000008000081/62=11/62=1.6%6%1901-21001901-21002 23 32/

6、62=32/62=3.2%2%0 000016000163/62=43/62=4.8%8% 1101-13001101-13001818444418/62=2918/62=29.1%1%0 0001450014544/62=7144/62=71.1%1% 501-700501-7001 162621/62=1.6%1/62=1.6%0 0000080000862/62=100%62/62=100%im年降雨量年降雨量x=200mmx=200mm組內(nèi)出組內(nèi)出現(xiàn)次數(shù)現(xiàn)次數(shù)累計累計次數(shù)次數(shù)組內(nèi)組內(nèi)頻率頻率組內(nèi)平均組內(nèi)平均頻率密度頻率密度累計累計頻率頻率 m mi i p%p%p/xp/xp%p%21

7、01-23002101-23001 11 11/62=11/62=1.6%6%0 000008000081/62=11/62=1.6%6%1901-21001901-21002 23 32/62=32/62=3.2%2%0 000016000163/62=43/62=4.8%8% 1101-13001101-13001818444418/62=2918/62=29.1%1%0 0001450014544/62=7144/62=71.1%1% 501-700501-7001 162621/62=1.6%1/62=1.6%0 0000080000862/62=100%62/62=100%xidxx

8、fxFxXp)()(資料無限增多資料無限增多,組距無限縮小組距無限縮小,直方圖變成光滑的曲線直方圖變成光滑的曲線 (1)單峰，鈴形， ，有最大值。 (2) 以直線 為對稱軸； (3)當(dāng)時， 曲線以軸為漸近線。 正態(tài)分布的密度曲線與軸所圍成的全部面積等于正態(tài)分布的密度曲線與軸所圍成的全部面積等于1。xx xx 正態(tài)分布的密度曲線它具有如下性質(zhì)：x1均值均值 模比系數(shù)模比系數(shù)niixnx11新系列的均值：xxKii nKi1k 均值只能反映系列中各變量的平均情況，不能反映系列中各變不能反映系列中各變量相對于均值集中或離散的程度。量相對于均值集中或離散的程度。 323 概率分布的統(tǒng)計參數(shù)概率分布的統(tǒng)

9、計參數(shù) 設(shè)一個水文系列共有n項: x1,x2. xn2均方差均方差 與離勢系數(shù)與離勢系數(shù) Cv nxxnii12)(nKnxxxxCniiniiV2112) 1()(1 不同系列的均值相同均值相同時，可用 均方差比較系列的離散程度均方差比較系列的離散程度。 第一系列， 15 , 20 , 25. 第二系列； 1 , 20 , 39.124.0815.5；不同系列的均值不同時，用離勢系數(shù)不同系列的均值不同時，用離勢系數(shù) Cv 比較系列的離散程度。比較系列的離散程度。 第一系列， 5 , 10 , 15. 第二系列； 995 , 1000 , 1005.均方差均為4.08， Cv1=4.08/10

10、； Cv2=4.08/1000 313313) 1()(VniiniiSnCKnxxC3偏態(tài)系數(shù)偏態(tài)系數(shù)反映系列在均值的兩邊是否對稱或不對稱的程度如何反映系列在均值的兩邊是否對稱或不對稱的程度如何。 Cs0，均值對應(yīng)的頻率等于50，為對稱系列，稱正態(tài)分布正態(tài)分布。 CsCs0 ，大于均值的變量比小于均值的變量出現(xiàn)的機會小大于均值的變量比小于均值的變量出現(xiàn)的機會小，均值，均值對應(yīng)的頻率小于對應(yīng)的頻率小于50，為正偏態(tài)。，為正偏態(tài)。 Cs0，大于均值的變量比小于均值的變量出現(xiàn)的機會大，均值對應(yīng)的頻率大于50 ，為負偏態(tài)。126. 1, 8 .52,200SCx例：例：300，200，185，165

11、，150。324 統(tǒng)計參數(shù)的無偏估值公式 在水文分析計算中，為得它們的無偏估計值，需對用樣本求出需對用樣本求出的統(tǒng)計參數(shù)進行修正的統(tǒng)計參數(shù)進行修正后才可以近似得到總體的無偏估計值總體的無偏估計值公式：水文系列一般都屬于無限總體，無法計算總體的統(tǒng)計參數(shù)。均值不需修正，其它參數(shù)需修整：均值不需修正，其它參數(shù)需修整：2122113321133()1()(1)111()(1)(1)(2)(3)niinniiiiVnniiiiSVxxnnnxxKnCnnnxxxxKnCnnnnC325 抽樣誤差 用樣本的統(tǒng)計參數(shù)來代替總體的統(tǒng)計參數(shù)存在一定誤差，稱為抽樣誤差抽樣誤差。水文統(tǒng)計中誤差來源：水文統(tǒng)計中誤差來

12、源：1 水文資料在觀測整編過程中的誤差 隨著科學(xué)技術(shù)的進步，計算方法的改進，對資料的認真審查，可減小到最低程度。2 用樣本推求總體參數(shù)值引起的誤差 由統(tǒng)計方法本身造成，只能以延長觀測年限、增強樣本的代表性等措施來減小。 包含無限多個隨機樣本，每一個樣本推算的總體參數(shù)值（如均值）都有抽樣誤差 抽樣誤差也是隨機變量，也有一定的機率（頻率）分布。實踐證明，抽樣誤差可近似看作呈正態(tài)分布。Mixx 33)99.7%MMxxMP xx xxx i（：真值（總體的平均值），:樣本的均值。樣本代表性越好。的誤差范圍越小，表示越小，為最大誤差范圍，xxx3 公式右邊各項均為總體的統(tǒng)計參數(shù)，計算是仍用樣本的統(tǒng)計參

13、右邊各項均為總體的統(tǒng)計參數(shù)，計算是仍用樣本的統(tǒng)計參數(shù)代替數(shù)代替。抽樣誤差的大小，隨樣本的容量n、Cv、Cs的大小而變，樣本容量越大，對總體的代表性越好，其抽樣誤差也越小）。 當(dāng)樣本容量不大時直接計算當(dāng)樣本容量不大時直接計算CsCs的誤差很大的誤差很大（計算偏差系數(shù)Cs的均方差公式中包含Cs的高次方）。例：n=100，Cv=0.11.0，Cs=2Cv，2224312242625(1)316SxvCvvsvsCssnCCCC CnCCn采用皮爾遜型曲線做誤差模型，Cs=2Cv時，其均方差計算如下：%126_%40Cs 設(shè)一總體系列共有n項，從大到小按順序排隊為：x x1 1,x,x2 2. . x

14、 xn n以m表示從大到小排隊的序號。 純經(jīng)驗頻率公式： 用短系列的樣本資料推求總體的頻率分布時： 數(shù)學(xué)期望公式： p大于等于xm的經(jīng)驗頻率； m水文變量從大至小排列的序號； n樣本容量，即觀測資料的總項數(shù)。33 經(jīng)驗頻率曲線與理論頻率曲線經(jīng)驗頻率曲線與理論頻率曲線%100nmp%1001nmp 有時用“重現(xiàn)期重現(xiàn)期”來更直觀地描述“頻率”一詞。所謂重現(xiàn)所謂重現(xiàn)期是事件重復(fù)出現(xiàn)的平均間隔時間，即平均隔多少時間出現(xiàn)一次，期是事件重復(fù)出現(xiàn)的平均間隔時間，即平均隔多少時間出現(xiàn)一次，或說多少時間遇到一次。或說多少時間遇到一次。 當(dāng)研究暴雨洪水問題(所取的p50)時，采用332 經(jīng)驗頻率曲線經(jīng)驗頻率曲線

15、 (1)將某種水文變量，按由大至小的次序排列，排列的序號不僅排列的序號不僅表示大小的次序，而且表示表示大小的次序，而且表示xxm m的累計次數(shù)。的累計次數(shù)。 (2)用數(shù)學(xué)期望公式計算各項xxm m的經(jīng)驗頻率。 (3)在頻率格紙上在頻率格紙上，以變量x為縱坐標，以其對應(yīng)的經(jīng)驗頻率為橫坐標，點繪出經(jīng)驗頻率點，依據(jù)點群趨勢繪出光滑曲線依據(jù)點群趨勢繪出光滑曲線，即為經(jīng)驗頻率曲線（曲線不需經(jīng)過所有的經(jīng)驗點曲線不需經(jīng)過所有的經(jīng)驗點）。 (4)有了經(jīng)驗頻率曲線，即可在曲線上外延求得指定頻率p的水文變量值xp。 （但常用與經(jīng)驗曲線配合較好的理論線外延）%1001nmp繪制和使用方法：依據(jù)點群趨勢繪出光滑曲線，

16、依據(jù)點群趨勢繪出光滑曲線，曲線不需經(jīng)過所有的經(jīng)驗點。曲線不需經(jīng)過所有的經(jīng)驗點。333 理論頻率曲線理論頻率曲線 由數(shù)學(xué)方程式表示由數(shù)學(xué)方程式表示x x，p p（隨機變量與頻率）關(guān)系的曲線。（隨機變量與頻率）關(guān)系的曲線。 皮爾遜皮爾遜型概率密度曲線型概率密度曲線，一端有限、一端無限的不對稱單峰曲線。0()101020( )()( )( )( )422(1)xxSVSVSf xxexe dxCxC CCxC的伽瑪函數(shù)，( , ,)vsf x xC C頻率密度函數(shù)與平均值、變頻率密度函數(shù)與平均值、變差系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)有關(guān)，即差系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)有關(guān)，即可記為：可記為： pxxpdxexxxpp)(100)

17、()()(取標準化隨機變量: ,(1)()()pvpVPppsxxxCxx Cppfc d 對于具體的Cs，就可計算出 與p的對應(yīng)值。若給定若干個Cs值，就可制成 p p 和（離均系數(shù)）（離均系數(shù)）的關(guān)系表。見附表1。 在進行頻率計算時，由已知的Cs查表即可求得一組p和 p的對應(yīng)值，便可繪出理論頻率曲線。) 1(PVpCxx例： 求求p=2%, 5%p=2%, 5%， 10%10%的設(shè)計流量。的設(shè)計流量。解解：注：Cs=1.12,查p=2%, 5%， 10%對應(yīng)的p，需內(nèi)插求得。理論曲線理論曲線：當(dāng)統(tǒng)計參數(shù)一定時，多個（p、x）點連起來的光滑的曲線。,12. 1, 5 . 0,/9503CsC

18、vsmx) 1(PVpCxx已知某站年最大流量系列的統(tǒng)計參數(shù)：已知某站年最大流量系列的統(tǒng)計參數(shù)：34 現(xiàn)行水文頻率計算方法適線法3 34 41 1 皮爾遜皮爾遜型分布參數(shù)初估方法型分布參數(shù)初估方法 皮爾遜型曲線， 、Cv、Cs三個統(tǒng)計參數(shù)完全確定其頻率分布。 參數(shù)估計：參數(shù)估計：水文系列是無限系列，只能用有限的樣本資料去估計總體分布線型中的參數(shù)。 理論頻率曲線的統(tǒng)計參數(shù)最終由適線法確定理論頻率曲線的統(tǒng)計參數(shù)最終由適線法確定。 通過試算（試畫）的方法選擇一條皮爾遜通過試算（試畫）的方法選擇一條皮爾遜型（理論）曲線，型（理論）曲線，使它與經(jīng)驗頻率點配合最好，該曲線對應(yīng)的參數(shù)即為水文系列的統(tǒng)使它與經(jīng)

19、驗頻率點配合最好，該曲線對應(yīng)的參數(shù)即為水文系列的統(tǒng)計參數(shù)。計參數(shù)。x1 1矩法矩法 均值計算式是一階原點矩；均值計算式是一階原點矩； Cv的分子是二階中心矩開方；的分子是二階中心矩開方； Cs的分子是三階中心矩。的分子是三階中心矩。 用上述公式計算的參數(shù)作為初估參數(shù)初估參數(shù)，再經(jīng)適線法最后確定。 由樣本推求的由樣本推求的CsCs誤差較大，一般采用根據(jù)經(jīng)驗設(shè)誤差較大，一般采用根據(jù)經(jīng)驗設(shè) Cs= kCCs= kCv v。 1221133211331()(1)111()(1)(1)(2)(3)niinniiiiVnniiiiSVxxnxxKnCnnnxxxxKnCnnnnC2 2三點法三點法 皮爾遜

20、皮爾遜型曲線有三個統(tǒng)計參數(shù)，型曲線有三個統(tǒng)計參數(shù)， 、CvCv、CsCs，把經(jīng)驗，把經(jīng)驗線當(dāng)成理論線，只要選三個點，建立一個三元一次方程組，線當(dāng)成理論線，只要選三個點，建立一個三元一次方程組，即可解得到三個參數(shù)。即可解得到三個參數(shù)。x),(),(),(332211SpSPSpCpxxCpxxCpxx 在經(jīng)驗頻率曲線上任選三個有代表性的點： (p1，x1)，(p2，x2)，(p3，x3）， 跟據(jù)皮爾遜型曲線的性質(zhì)有：) 1(PVpCxx解方程組，消去均值、均方差解方程組，消去均值、均方差 ： 消掉了均值和消掉了均值和均方差均方差， S只只和和 Cs 有對應(yīng)關(guān)系（表有對應(yīng)關(guān)系（表3-2）。）。 S

21、值可由經(jīng)驗曲線上選擇的三個點對應(yīng)的讀數(shù)求得。求出值可由經(jīng)驗曲線上選擇的三個點對應(yīng)的讀數(shù)求得。求出CsCs后，代入原方程可求其它統(tǒng)計參數(shù)。后，代入原方程可求其它統(tǒng)計參數(shù),)(,)2 (,)(,)(,)pppSSSppSSxxxp Cp Cp Cxxp Cp C132132()pppppSxxxSxxSf C令令選定三點，選定三點，p1,p2,p3為定值為定值),(),(),(332211SpSPSpCpxxCpxxCpxxxCCpxxCpCpxxVSpSSpp),(),(),(223131 三點法的缺點是三個點的精確位置難以確定。三點法的缺點是三個點的精確位置難以確定。

22、一般在目估的經(jīng)驗頻率曲線上選取，結(jié)果因人而異。 與矩法一樣，三點法在使用中一般都是與適線法相結(jié)合，作為適線法初估參數(shù)的一種手段。適線法初估參數(shù)的一種手段。 理論上，任選三個點，用其數(shù)據(jù)便可求三個未知數(shù)。但實理論上，任選三個點，用其數(shù)據(jù)便可求三個未知數(shù)。但實際上，常選幾組中的一組數(shù)據(jù)。際上，常選幾組中的一組數(shù)據(jù)。342 現(xiàn)行水文頻率計算方法現(xiàn)行水文頻率計算方法適線法適線法 適線法適線法：以經(jīng)驗頻率點群為依據(jù)，給它選配一條最好的理論頻率曲線，并以此估計水文要素總體的統(tǒng)計規(guī)律（統(tǒng)計參數(shù)）。適線法就是選擇總體的統(tǒng)計參數(shù)的一種方法。適線法就是選擇總體的統(tǒng)計參數(shù)的一種方法。步驟：步驟：(1)(1)計算并點

23、繪經(jīng)驗頻率曲線；計算并點繪經(jīng)驗頻率曲線；(2)(2)初步估計總體的統(tǒng)計參數(shù)；初步估計總體的統(tǒng)計參數(shù)； 用矩法或三點法初估初估統(tǒng)計參數(shù)。用矩法公式時,CsCs的計算誤的計算誤差太大，故不去直接計算，差太大，故不去直接計算，根據(jù)以往水文計算的經(jīng)驗初選，年徑流Cs=(23)Cv，暴雨和洪水Cs=(254)Cv。(3)定線型定線型 我國一般選用皮爾遜我國一般選用皮爾遜型曲線。型曲線。根據(jù)初定的Cs在皮爾遜型曲線的值表(附表1)中查得各對應(yīng)的p值，再列表計算各頻率p對應(yīng)的設(shè)計值 xp。 (1)1pVPpVPxx CkCp由頻率p及偏態(tài)系數(shù)Cs查附表1得。多個（p、x）點連起來的光滑的曲線，既是理論曲線。

24、頻率頻率% %ppKpKpXpXp1 15 5505095959999（4)4)計算理論頻率曲線計算理論頻率曲線 理論頻率曲線計算表理論頻率曲線計算表 對于一定的統(tǒng)計參數(shù)，可畫一條理論曲線： 將理論頻率曲線畫在繪有經(jīng)驗頻率曲線的同一紙上理論頻率曲線畫在繪有經(jīng)驗頻率曲線的同一紙上，根據(jù)與經(jīng)驗點據(jù)配合的情況，適當(dāng)修正參數(shù)，直至配合最好為止直至配合最好為止。 在修改參數(shù)時，應(yīng)首先考慮改變首先考慮改變Cs， 其次考慮改變其次考慮改變Cv， 必要時也可適當(dāng)調(diào)整必要時也可適當(dāng)調(diào)整 。 兩線配合的好壞并無定量的判別式，對于洪水、暴雨問題應(yīng)應(yīng)注重頭部（小頻率對應(yīng)的范圍）。注重頭部（小頻率對應(yīng)的范圍）。x(5)

25、適線適線（關(guān)鍵）（關(guān)鍵） 機率格紙機率格紙 是橫坐標（表示頻率）特殊分格的坐標紙，有幾種類型，常用海森機率格紙。 縱坐標為均勻分格或?qū)?shù)分格，表示變量；縱坐標為均勻分格或?qū)?shù)分格，表示變量； 橫坐標表示概率，中間密集兩側(cè)漸疏。橫坐標表示概率，中間密集兩側(cè)漸疏。 主要特點：按把正態(tài)分布的分布曲線拉成一條直線主要特點：按把正態(tài)分布的分布曲線拉成一條直線。 在這種格紙上繪制頻率曲線，如為偏態(tài)分布則兩端的曲度也會大大變小，有利于適線工作的進行 。343 統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響 ，Cv和Cs不變時：頻率曲線抬高、變陡頻率曲線抬高、變陡。 x1) 均值對頻率曲線的影響 CvCv，均值和偏差系數(shù)不變：曲線

26、有順時針轉(zhuǎn)動的趨勢曲線有順時針轉(zhuǎn)動的趨勢。（2）變差系數(shù)Cv對頻率曲線的影響 Cs ，均值和變差系數(shù)不變時： 頻率曲線上段變陡而下段趨于頻率曲線上段變陡而下段趨于平緩平緩，中段下沉中段下沉 。（3）偏態(tài)系數(shù)Cs 對頻率曲線的影響35 相關(guān)分析351 概 述 數(shù)理統(tǒng)計中把不同種類的隨機變量之間的近似相互關(guān)系或平均的相互關(guān)系稱為 相關(guān)，相關(guān)，把對這種關(guān)系的分析和建立相關(guān)關(guān)系稱為 相關(guān)分析。相關(guān)分析。 相關(guān)分析的目的主要是為了 插補展延插補展延 資料系列，提高資料系列的 代表性代表性，也可用于建立 水文預(yù)報水文預(yù)報 方案等。 根據(jù)變量間的相關(guān)程度，可以將其分為三類：完全相關(guān)、零相：完全相關(guān)、零相關(guān)關(guān)

27、和統(tǒng)計相關(guān)統(tǒng)計相關(guān) 兩個變量x和y之間，對于每一個x值，有一個(或多個)確定y值與之對應(yīng)，則這兩個變量之間的關(guān)系就是完全相關(guān)完全相關(guān)，或稱函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系。 兩個變量之間沒有什么聯(lián)系，一個變量的變化不影響另一個變量的變化，這種關(guān)系稱為 零相關(guān)零相關(guān)。 若兩個變量的關(guān)系介于完全相關(guān)和零相關(guān)之間，則稱為統(tǒng)計統(tǒng)計相關(guān)相關(guān) 或相關(guān)關(guān)系。當(dāng)只研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，稱為簡相關(guān)簡相關(guān)。若研究三個或多個變量的相關(guān)關(guān)系三個或多個變量的相關(guān)關(guān)系時，則稱為復(fù)相關(guān)。復(fù)相關(guān)。根據(jù)相關(guān)關(guān)系的線型，又可分為 直線相關(guān)直線相關(guān) 和 非直線相關(guān)非直線相關(guān)。相關(guān)分析的內(nèi)容主要是：1,判斷變量間相關(guān)的類型和密

28、切程度，即計算相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)；2,檢驗變量間是否確實存在相關(guān)關(guān)系，即進行相關(guān)系數(shù)的 顯著性檢驗顯著性檢驗；3，確定變量間的數(shù)量關(guān)系，即 回歸方程回歸方程 或 相關(guān)線相關(guān)線。 以變量間變化步調(diào)分類，可分為正相關(guān)和負相關(guān)。正相關(guān)正相關(guān) 是倚變量隨自變量的增加(減少)而增加(減少)。負相關(guān)負相關(guān) 是倚變量隨自變量的增加(減少)而減少(增加)。352 一元線性回歸一元線性回歸 設(shè)xi和yi為兩系列的對應(yīng)觀測值，先從物理成因上分析是從物理成因上分析是否有內(nèi)在聯(lián)系，然后將對應(yīng)觀測數(shù)據(jù)點繪成點群分布圖，根據(jù)點群的密點群的密集程度集程度判斷變量的密切程度密切程度；根據(jù)點群趨勢點群趨勢，判斷應(yīng)配何種線型。線型

29、。1回歸方程 如果點群的平均趨勢近似直如果點群的平均趨勢近似直線，則其直線方程可表示線，則其直線方程可表示為： y= a + b xy= a + b x (335) a a 和和 b b為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。xi、yi 代表實測值；代表實測值；xi、y 代表回歸線上的值。代表回歸線上的值。觀測點與配合直線在縱軸方向的離差：縱軸方向的離差：iiiibxayyyy 應(yīng)該選擇一條與點群的離差為最小的直線來反映應(yīng)該選擇一條與點群的離差為最小的直線來反映x、y間的關(guān)系。采用平方和準則：間的關(guān)系。采用平方和準則：min)()22iiibxayyQ（ 如果回歸直線與實測點群配合最好，其離差平方和必然達到最

30、小離差平方和必然達到最小。這種以離差平方和達到最小的條件來選擇參數(shù)a、b的方法稱為最小二乘法最小二乘法。二元函數(shù)求極值：欲使上式取最小值，分別對分別對a、b求一階偏導(dǎo)數(shù)，求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零。 解方組程：xryxbyarbxyxy1122221111()()(1)(1)()()(1)(1)nniixiyiiinnnniixiyiiiiixxyyKKrxxyyKK0)(0)(22bbxaybQabxayaQiiii1122221111()()(1)(1)()()(1)(1)nniixiyiiinnnniixiyiiiiixxyyKKrxxyyKK1122221()() . ()()().

31、() ().() nnnnnxx yyxx yyxxxxyyyy分子分母根號內(nèi)將a和b代人，整理后得 y y 倚倚 x x 的回歸方程：的回歸方程：可由自變量可由自變量 x 估計倚變量估計倚變量 y 的值的值。)(xxryyxy()()yyxxyxyxxiiyiiyyrxrxyabxayrxybxbryxxy或上式就是為與有對應(yīng)實測關(guān)系的 的均方差為與有對應(yīng)實測關(guān)系的的均方差(341) 一般一般y y倚倚x x的回歸線和的回歸線和x x倚倚y y的回歸線并不重合，但有一個公共的回歸線并不重合，但有一個公共交點交點（ ， ） 。在作回歸計算時必須注意。在作回歸計算時必須注意。)(yyrxxyxxy同樣，可以求得 x x 倚倚 y y 的回歸方程式的回歸方程式：)(xxryyxyy y 倚倚 x x 的回歸方程：的回歸方程： （3-41）(342) 2回歸方程的誤差 觀測點并不完全在回歸線上，而是散布在兩旁。一個xi，有許多的yi對應(yīng)，回歸線上的y不過是許多yi的條件平均值。用x推求y有誤差。 回歸方程僅是觀測點據(jù)的最佳配回歸方程僅是觀測點據(jù)的最佳配合線，只能反映變量間的平均情況合線，只能反映