《高等數(shù)學》電子課件（自編教材）：第十章 習題課

1、2（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場論初步（三）場論初步 一、主要內(nèi)容3曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對面積的對面積的曲面積分曲面積分對坐標的對坐標的曲面積分曲面積分對弧長的對弧長的曲線積分曲線積分對坐標的對坐標的曲線積分曲線積分定義定義計算計算定義定義計算計算聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分4 曲曲 線線 積積 分分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分定定義義 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim

2、10iiiniiiiyQxP 聯(lián)聯(lián)系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 計計算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定 (與方向有關(guān))5與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導導數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉曲線閉曲線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題6 曲

3、曲 面面 積積 分分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 聯(lián)聯(lián)系系 RdxdyQdzdxPdydz計計 算算一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān)) 一代,二投,三定向 (與側(cè)有關(guān)) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,7定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計算計算計算計算計算計算Green公式公式Stokes

4、公式公式Guass公式公式（二）（二）各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系8點函數(shù)點函數(shù))(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 時時上區(qū)間上區(qū)間當當.),()(,2 DdyxfdMfDR 時時上區(qū)域上區(qū)域當當積分概念的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分9 dVzyxfdMfR),()(,3 時時上區(qū)域上區(qū)域當當.),()(,3 dszyxfdMfR 時時上空間曲線上空間曲線當當.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 時時上曲面上曲面當當曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 時時上平面曲線上平面

5、曲線當當曲線積分曲線積分10計算上的聯(lián)系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121體元素體元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線元素線元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影線元素線元素11 xyDyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dsRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( ds

6、QPQdyPdxL)coscos( )(曲曲面面元元素素ds)(投影投影面元素面元素dxdy12理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式133.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()

7、()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式14 DLdxdykArotsdA)( DLdxdyAdivdsnA)(Green公式,Guass公式,Stokes公式之間的關(guān)系 dSnArotdSA)( RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( DLdxdyyPxQQdyPdx)( DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推廣推廣為平面向量場為平面向量場)(MA為為空空間間向向量量場場)(MA15梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdx

8、PdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三）（三）場論初步場論初步16二、典型例題1 計算, sdyxL22其中L為圓周.xayx22利用極坐標 ,)22(cos: aLdsd22原式 =sdxaL2222cosdaa2022 dacos22a說明說明: 若用參數(shù)方程計算,:L)( 20 ttdyxds22 tda2xaoyad)cos(txa12tyasin2t則17dtta)cos1 ( 2 計算,)(Lxdydxya2其中L為擺線, )sin(ttax)cos1 (tay上對應 t 從 0 到 2 的一段弧.提示提示: 原式 =202si

9、ntdtta202sincosttta22 a)cos1 (tatdtattasin)sin(183 計算其中是由平面 y = z 截球面1222zyx所得截痕,從 z 軸正向看去,沿逆時針方向.提示提示: 因在上有,1222yx故:原式 = tdtt 2022221sincostdtt202214221 )cos(cos221432212 162 zoyx1txcostysin21 21tzsin)( 20 tzdzyx19解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()

10、2(422由由4 4 計算計算 LdyyxdxxyxI)()2(422, , 其中其中L為由點為由點)0 , 0(O到點到點)1 , 1(A的曲線的曲線xy2sin . . 205 5 計計算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, , 其其中中L為為由由點點)0 ,(a到到點點)0 , 0(的的上上半半圓圓周周0,22 yaxyx. . 解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP 即即( (如下圖如下圖) )21xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO, 0

11、082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI22在第一卦限部分的上側(cè)在第一卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中計算計算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI6xyoz111 解解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系利用兩類曲面積分之間的關(guān)系,1 , 1, 1 n的的法法向向量量為為.cos,cos,cos313131 23dszzyxfyzyxfxzyxfI),(),(),(3123131 dszyx)(31 xyDdxdy3131.21 247 7 計算曲面積分計算曲面積分 yzdxdydzdxyx

12、dydzyI4)1(2)18(2 , , 其中其中 是由曲線是由曲線)31(01 yxyz繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量與它的法向量與y軸正向的夾角恒大于軸正向的夾角恒大于2 . . 解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為繞繞( (如下圖如下圖) )25xyzo132 *I且有dxdydzzRyQxP)(*dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1 (2) 18(2欲求dvxzDxzdydxdz312220220)2(dd26 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 278

13、 設為簡單閉曲面,為任意固定向量,a證明證明: 設cos,cos,cosncos,cos,cos0a(分量均為常數(shù))則dSa,n)cos(Sdan0dScoscoscoscoscoscosdxdydzzyx)cos()cos()cos(00)cos(dSa,nn為的單位外法向向量 , 試證zdydcosxdzdcosydxdcos289 計算曲面積分dxdyrzdzdxrydydzrxI333其中,222zyxr 是球面的外側(cè) . 2222Rzyx解解:ydxdzxdzdyzdydxRI31dxdydzR3134思考思考: 本題 改為橢球面1222222czbyax時 , 應如何計算 ?291

14、0 設 是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(zyxzdxdyydzdxxdydzI2221:yxz解解: 取足夠小的正數(shù) ,作曲面取下側(cè) 使其包在內(nèi) , 2為 xoy 平面上夾于 與之間的部分, 且取下側(cè) ,121ozyx取上側(cè) , 計算,)0( z則2121Idv0131zdxdyydzdxxdydz22322)(0yxdxdy)323(133 230一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 設設L為為230,0 yxx, ,則則 Lds4的值為的值為( ).( ). (A) (A)04x， (B) (B),6 (C) (C)06x. .2 2、 設設L為直線為直線0yy 上從

15、點上從點),0(0yA到點到點),3(0yB的的有向直線段有向直線段, ,則則 Ldy2=( ).=( ). (A (A)6; (B) )6; (B) 06y; (C)0.; (C)0.3 3、 若若L是上半橢圓是上半橢圓 ,sin,costbytax取順時針方向取順時針方向, ,則則 Lxdyydx的值為的值為( ).( ). (A (A) )0 0; (B); (B)ab2 ; (C); (C)ab . .測驗題測驗題314 4、設、設),(,),(yxQyxP在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)內(nèi)有一階連續(xù) 偏導數(shù)偏導數(shù), ,則在則在D內(nèi)與內(nèi)與 LQdyPdx路徑無關(guān)的條件路徑無關(guān)的條

16、件 DyxyPxQ ),(,是是( ).( ). (A) (A)充分條件充分條件; (B); (B)必要條件必要條件; (C); (C)充要條件充要條件. .5 5、設、設 為球面為球面1222 zyx, ,1 為其上半球面為其上半球面, ,則則 ( ) ( )式正確式正確. . (A) (A) 12zdszds; ; (B) (B) 12zdxdyzdxdy; ; (C) (C) 1222dxdyzdxdyz. .326 6、若、若 為為)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 則則 ds等于等于( ).( ). (A) (A) rrdrrd022041 ;(B)

17、;(B) 2022041rdrrd ; ; (C)(C) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 為球面為球面2222Rzyx 的外側(cè)的外側(cè), ,則則 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyx22222; ; (B) (B) 2 2 xyDdxdyyxRyx22222; ; (C) 0(C) 0 . .338 8、曲面積分、曲面積分 dxdyz2在數(shù)值上等于在數(shù)值上等于( ).( ).(A)(A) 向量向量iz2穿過曲面穿過曲面 的流量；的流量；(B)(B) 面密度為面密度為2z的曲面的曲面 的質(zhì)量；的質(zhì)量；(C)(C) 向量向量kz2穿過曲

18、面穿過曲面 的流量的流量 . .9 9、設、設 是球面是球面2222Rzyx 的外側(cè)的外側(cè), ,xyD是是xoy面面 上的圓域上的圓域222Ryx , ,下述等式正確的是下述等式正確的是( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyxzdsyx2222222； (B) (B) xyDdxdyyxdxdyyx)()(2222； (C) (C) xyDdxdyyxRzdxdy2222. .341010、若、若 是空間區(qū)域是空間區(qū)域 的外表面的外表面, ,下述計算中運用奧下述計算中運用奧- -高高 公式正確的是公式正確的是( ).( ). (A) (A) 外側(cè)外側(cè)dxdyyzdydzx)2

19、(2 = = dxdydzx)22(； (B) (B) 外側(cè)外側(cè)zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (C) (C) 內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)12(. .35二、計算下列各題二、計算下列各題: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 為曲線為曲線 ,sin,costzttyttx)0(0tt ；2 2、求、求 Lxxdyyedxyye)2cos()2sin(, ,其中其中L為上為上 半圓周半圓周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆時針方向沿逆時針方向 . .三、計算下列各題三、計算下列各題: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面Hzz 及及0 之間的圓柱面之間的圓柱面222Ryx ；362 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 為錐面為錐面)0(22hzyxz 的外側(cè)；的外側(cè)；3 3、 3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中其中 為曲面為曲面9)1(16)2(5122 yxz)0( z的上側(cè)的上側(cè) . .四、證明四、證明: :22yxydy