構(gòu)建數(shù)學(xué)模型_解決實(shí)際問(wèn)題例題分析

1、 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 解決實(shí)際問(wèn)題“能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”是九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱規(guī)定的初中數(shù)學(xué)教學(xué)目的之一。能夠解決實(shí)際問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、形成技能和發(fā)展能力的結(jié)果，也是對(duì)獲得知識(shí)、技能和能力的檢驗(yàn)。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 解決實(shí)際問(wèn)題基本程序如下： 解題步驟如下：1、閱讀、審題：要做到簡(jiǎn)縮問(wèn)題，刪掉次要語(yǔ)句，深入理解關(guān)鍵字句；為便于數(shù)據(jù)處理，最好運(yùn)用表格（或圖形）處理數(shù)據(jù)，便于尋找數(shù)量關(guān)系。2、建模：將問(wèn)題簡(jiǎn)單化、符號(hào)化，盡量借鑒標(biāo)準(zhǔn)形式，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式。3、合理求解純數(shù)學(xué)問(wèn)題4、解釋并回答實(shí)際問(wèn)題中學(xué)階段主要求解下面幾類應(yīng)用題，本文以2004年全國(guó)各地中考試題為例供同學(xué)們學(xué)習(xí)。一、 數(shù)與

2、式模型例1、水是生命之源,水資源的不足嚴(yán)重制約我市的工業(yè)發(fā)展,解決缺水的根本在于節(jié)約用水,提高工業(yè)用水的重復(fù)利用率、降低每萬(wàn)元工業(yè)產(chǎn)值的用水量都是有力舉措。據(jù)臺(tái)州日?qǐng)?bào)4月26日?qǐng)?bào)導(dǎo),目前,我市工業(yè)用水每天只能供應(yīng)10萬(wàn)噸,重復(fù)利用率為45,先進(jìn)地區(qū)為75,工業(yè)每萬(wàn)元產(chǎn)值平均用水25噸,而先進(jìn)地區(qū)為10噸,可見(jiàn)我市節(jié)水空間還很大。(1) 若我市工業(yè)用水重復(fù)利用率(為方便,假設(shè)工業(yè)用水只重復(fù)利用一次)由目前的45增加到60,那么每天還可以增加多少噸工業(yè)用水？(2) 寫出工業(yè)用水重復(fù)利用率由45增加到x（45x100）,每天所增加的工業(yè)用水y(萬(wàn)噸)與之間的函數(shù)關(guān)系式。(3) 如果我市工業(yè)用水重復(fù)利

3、用率及每萬(wàn)元工業(yè)產(chǎn)值平均用水量都達(dá)到先進(jìn)地區(qū)水平,那么與現(xiàn)有水平比較,僅從用水的角度我市每天能增加多少萬(wàn)元工業(yè)產(chǎn)值？ 解：(1)100000×(1+60)100000×(1+45)=100000×15=15000(噸)答：每天還可以增加15000噸工業(yè)用水 (2) y=10(x45)=0.1x4.5（45x100） (3)(萬(wàn)元)答：每天能增加11700萬(wàn)元工業(yè)產(chǎn)值。二、方程模型例2、足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，輸一場(chǎng)得0分.一支足球隊(duì)在某個(gè)賽季中共需比賽14場(chǎng),現(xiàn)已比賽了8場(chǎng),輸了1場(chǎng),得17分. 請(qǐng)問(wèn):(1)前8場(chǎng)比賽中,這支球隊(duì)共勝了多

4、少場(chǎng)?(2)這支球隊(duì)打滿14場(chǎng)比賽,最高能得多少分?(3)通過(guò)對(duì)比賽情況的分析,這支球隊(duì)打滿14場(chǎng)比賽,得分不低于29分,就可以達(dá)到預(yù)期的目標(biāo).請(qǐng)你分析一下,在后面的6場(chǎng)比賽中,這支球隊(duì)至少要?jiǎng)賻讏?chǎng),才能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)?解:(1)設(shè)這個(gè)球隊(duì)勝x場(chǎng),則平了(8-1-x)場(chǎng).根據(jù)題意,得3x+(8-1-x)=17.解之,得x=5.答:前8場(chǎng)比賽中,這個(gè)球隊(duì)共勝了5場(chǎng).(2)打滿14場(chǎng)比賽最高能得17+(14-8)×3=35分.(3)由題意知,以后的6場(chǎng)比賽中,只要得分不低于12分即可.勝不少于4場(chǎng),一定達(dá)到預(yù)期目標(biāo),而勝3場(chǎng)、平3場(chǎng)，正好達(dá)到預(yù)期目標(biāo).在以后的比賽中這個(gè)球隊(duì)至要?jiǎng)?場(chǎng).例3

5、、小剛為書(shū)房買燈，現(xiàn)有兩種燈可供選購(gòu)，其中一種是9瓦（即0.009千瓦）的節(jié)能燈，售價(jià)49元/盞；另一種是40瓦（即0.04千瓦）的白熾燈，售價(jià)為18元/盞。假設(shè)兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達(dá)到2800小時(shí)，已知小剛家所在地的電價(jià)是每千瓦0.5元。設(shè)照明時(shí)間是x小時(shí)，請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用和用一盞白熾燈的費(fèi)用（注：費(fèi)用燈的售價(jià)電費(fèi)）小剛想在這兩種燈中選購(gòu)一盞:當(dāng)照明時(shí)間是多少時(shí)，使用兩種燈的費(fèi)用一樣多；試用特殊值推斷:照明時(shí)間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費(fèi)用低；照明時(shí)間在什么范圍內(nèi)，選用節(jié)能燈費(fèi)用低；小剛想在這兩種燈中選購(gòu)兩盞假定照明時(shí)間是3000小時(shí)，使用壽命都是28

6、00小時(shí)，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)費(fèi)用最低的選燈方案，并說(shuō)明理由。解：(1)用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用是(49+0.0045x)元，用一盞白熾燈的費(fèi)用是(18+0.02x)元 (2)由題意，得49+0.0045x=18+0.02x，解得x=2000，所以當(dāng)照明時(shí)間是2000小時(shí)時(shí)，兩種燈的費(fèi)用一樣多 取特殊值x=1500小時(shí)， 則用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用是49+0.0045×1500=55.75(元)， 用一盞白熾燈的費(fèi)用是18+0.02×1500=48(元)， 所以當(dāng)照明時(shí)間小于2000小時(shí)時(shí)，選用白熾燈費(fèi)用低； 取特殊值x=2500小時(shí)， 則用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用是49+0.0045×25

7、00=60.25(元)， 用一盞白熾燈的費(fèi)用是18+0.02×2500=68(元)， 所以當(dāng)照明時(shí)間超過(guò)2000小時(shí)時(shí)，選用節(jié)能燈費(fèi)用低 (3)分下列三種情況討論： 如果選用兩盞節(jié)能燈，則費(fèi)用是98+0.0045×3000=111.5元；如果選用兩盞白熾燈，則費(fèi)用是36+0.02×3000=96元；如果選用一盞節(jié)能燈和一盞白熾燈，由(2)可知，當(dāng)照明時(shí)間大于2000小時(shí)時(shí)，用節(jié)能燈比白熾燈費(fèi)用低，所以節(jié)能燈用足2800小時(shí)時(shí)，費(fèi)用最低費(fèi)用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元綜上所述，應(yīng)各選用一盞燈，且節(jié)能燈使用2800小

8、時(shí)，白熾燈使用200小時(shí)時(shí)，費(fèi)用最低例4、初三（2）班的一個(gè)綜合實(shí)踐活動(dòng)小組去A，B兩個(gè)超市調(diào)查去年和今年“五一節(jié)”期間的銷售情況，下圖是調(diào)查后小敏與其他兩位同學(xué)交流的情況.根據(jù)他們的對(duì)話，請(qǐng)你分別求出A，B兩個(gè)超市今年“五一節(jié)” 期間的銷售額.解：設(shè)去年A超市銷售額為x萬(wàn)元，B 超市銷售額為y萬(wàn)元，由題意得解得100（1+15%）=115（萬(wàn)元），50（1+10%）=55（萬(wàn)元）.答：A，B兩個(gè)超市今年“五一節(jié)” 期間的銷售額分別為115萬(wàn)元，55萬(wàn)元.例5、某出租汽車公司有出租車100輛，平均每天每車消耗的汽油費(fèi)為80元，為了減少環(huán)境污染，市場(chǎng)推出一種叫“CNG”的改燒汽油為天然汽的裝置，

9、每輛車改裝價(jià)格為4000元。公司第一次改裝了部分車輛后核算：已改裝后的車輛每天的燃料費(fèi)占剩下末改裝車輛每天燃料費(fèi)用的，公司第二次再改裝同樣多的車輛后，所有改裝后的車輛每天的燃料費(fèi)占剩下末改裝車輛每天燃料費(fèi)用的。問(wèn)：（1）公司共改裝了多少輛出租車？改裝后的每輛出租車平均每天的燃料費(fèi)比改裝前的燃料費(fèi)下降了百分之多少？（2）若公司一次性將全部出租車改裝，多少天后就可以從節(jié)省的燃料費(fèi)中收回成本？解:（1）設(shè)公司第一次改裝了輛車，改裝后的每輛出租車每天的燃料費(fèi)比改裝前的燃料費(fèi)下降的百分?jǐn)?shù)為依題意得方程組：化簡(jiǎn)得：解得：答:公司共改裝了40輛車，改裝后的每輛出租車每天的燃料費(fèi)比改裝前的燃料費(fèi)下降了40%。

10、（2）設(shè)一次性改裝后，天可以收回成本，則：100×80×40%×4000×100解得：125（天）答：125天后就可以從節(jié)省的燃料費(fèi)中收回成本。例6、 “利?！蓖ㄓ嵠鞑纳虉?chǎng)，計(jì)劃用60000元從廠家購(gòu)進(jìn)若干部新型手機(jī)，以滿足市場(chǎng)需求，已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的手機(jī)，出廠價(jià)分別為甲種型號(hào)手機(jī)每部1800元，乙種型號(hào)手機(jī)每部600元，丙種型號(hào)手機(jī)每部1200元.（1）若商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的手機(jī)共40部，并將60000元恰好用完.請(qǐng)你幫助商場(chǎng)計(jì)算一下如何購(gòu)買.（2）若商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)三種不同型號(hào)的手機(jī)共40部，并將60000元恰好用完，并且要求乙種型號(hào)

11、手機(jī)的購(gòu)買數(shù)量不少于6部且不多于8部，請(qǐng)你求出商場(chǎng)每種型號(hào)手機(jī)的購(gòu)買數(shù)量.解：（1）設(shè)甲種型號(hào)手機(jī)要購(gòu)買x部，乙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買y部，丙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買z部，根據(jù)題意，得：    答：有兩種購(gòu)買方法：甲種手機(jī)購(gòu)買30部，乙種手機(jī)購(gòu)買10部；或甲種手機(jī)購(gòu)買20部，乙種手機(jī)購(gòu)買20部. （2）根據(jù)題意，得：   解得：  答：若甲種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買26部手，則乙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買6部，丙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買8部；若甲種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買27部手，則乙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買7部，丙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買6部；若甲種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買28部手，則乙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買8部，丙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買4部；例7、（2004萬(wàn)

12、州）小明家、王老師家、學(xué)校在同一條路上，小明家到王老師家的路程為3千米，王老師家到學(xué)校的路程為0.5千米，由于小明的父母戰(zhàn)斗在抗“非典”第一線，為了使他能按時(shí)到校，王老師每天騎自行車接小明上學(xué)。已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天比平時(shí)步行上班多用了20分鐘，問(wèn)王老師的步行速度及騎自行車速度各是多少千米/時(shí)？    解：設(shè)王老師的步行速度為x千米/時(shí)，則騎自行車速度為3x千米/時(shí)。 依題意得： 20分鐘=小時(shí) 解得：x=5 經(jīng)檢驗(yàn)：x=5是所列方程的解3x=3×5=15 答：王老師的步行速度及騎自行車速度各為5千米/時(shí) 和15千米/時(shí)例8、某校

13、初三（2）班的師生到距離10千米的山區(qū)植樹(shù)，出發(fā)1個(gè)半小時(shí)后，張錦同學(xué)騎自行車從學(xué)校按原路追趕隊(duì)伍，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)植樹(shù)地點(diǎn)如果張錦同學(xué)騎車的速度比隊(duì)伍步行的速度的2倍還多2千米（1）求騎車與步行的速度各是多少？（2）如果張錦同學(xué)要提前10分鐘到達(dá)植樹(shù)地點(diǎn)，那么他騎車的速度應(yīng)比原速度快多少？解：（1）設(shè)步行的速度為x千米/時(shí)根據(jù)題意得解得，經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的解，但不合題意，舍去當(dāng)x4時(shí)，2x210答：隊(duì)伍步行的速度是每小時(shí)4千米，張錦騎車的速度是每小時(shí)10千米（2）由（1）可得張錦騎車用時(shí)：（小時(shí)），若提前10分鐘，即用時(shí)小時(shí)則騎車速度為：，12-102（千米/時(shí)）答：如果張錦提前10分鐘到

14、達(dá)，那么騎車速度應(yīng)比原速度每小時(shí)快2千米三、不等式模型例9年織里某童裝加工企業(yè)今年五月份工人每天平均加工童裝150套，最不熟練的工人加工的童裝套數(shù)為平均套數(shù)的60%。為了提高工人的勞動(dòng)積極性，按時(shí)完成外貿(mào)訂貨任務(wù)，企業(yè)計(jì)劃從六月份起進(jìn)行工資改革。改革后每位工人的工資分二部分：一部分為每人每月基本工資200元；另一部分為每加工1套童裝獎(jiǎng)勵(lì)若干元。（1）為了保證所有工人的每月工資收入不低于市有關(guān)部門規(guī)范的最低工資標(biāo)準(zhǔn)450元，按五月份工人加工的童裝套數(shù)計(jì)算，工人每加工1套童裝企業(yè)至少應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)多少元（精確到分）？（2）根據(jù)經(jīng)營(yíng)情況，企業(yè)決定每加工1套童裝獎(jiǎng)勵(lì)5元。工人小張爭(zhēng)取六月份工資不少于1200元

15、，問(wèn)小張?jiān)诹路輵?yīng)至少加工多少套童裝？解:（1）設(shè)企業(yè)每套獎(jiǎng)勵(lì)x元由題意得：200+60%·150x450解得：x2.78因此該企業(yè)至少應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)2.78元（2）設(shè)小張?jiān)诹路菁庸套由題意得：200+5y1200解得：y200答：小張?jiān)诹路輵?yīng)至少加工200套。例10、仔細(xì)觀察下圖，認(rèn)真閱讀對(duì)話：小朋友，本來(lái)你用10元錢買一盒餅干是有多的，但要再買一袋牛奶就不夠了！今天是兒童節(jié)，我給你買的餅干打9折，兩樣?xùn)|西請(qǐng)拿好！還有找你的8角錢.阿姨，我買一盒餅干和一袋牛奶（遞上10元錢）.根據(jù)對(duì)話的內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標(biāo)價(jià)各是多少元？解：設(shè)餅干的標(biāo)價(jià)為每盒x元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋y元，則 x+

16、y>10,（1）0.9x+y=100.8, （2）x<10. （3）由（2）得y=9.20.9x.（4）把（4）代入（1）得：9.20.9x+x>10,解得x>8. 由（3）綜合得 8<x<10. 又x是整數(shù)，x=9. 把x=9代入（4）得：y=9.20.9×9=1.1（元）答：一盒餅干標(biāo)價(jià)9元，一袋牛奶標(biāo)價(jià)1.1元四、函數(shù)模型例11、光華農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型20臺(tái)，乙型30臺(tái)。先將這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺(tái)派往A地區(qū)，20臺(tái)派往B地區(qū)。 兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見(jiàn)下表：每臺(tái)甲型收

17、割機(jī)的租金每臺(tái)乙形收割機(jī)的租金A地區(qū)1800元1600元B地區(qū)1600元1200元（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為y（元），求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）若使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79600元，說(shuō)明有多少種分配方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)；（3）如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為光華農(nóng)機(jī)租賃公司提一條合理化建議。解：（1）若派往A地區(qū)的乙型收割機(jī)為x臺(tái)，則派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為（30x）臺(tái)；派往B地區(qū)的乙型收割機(jī)為（30x）臺(tái)，派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為（x10）臺(tái)。y1600x

18、1800(30x)1200(30x)1600(x10)200x74000x的取值范圍是：10x30（x是正整數(shù)）（2）由題意得 200x7400079600 解不等式得 x28 由于10x30（x是正整數(shù)）x取28，29，30這三個(gè)值。有3種不同的分配方案。當(dāng)x28時(shí)，即派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為2臺(tái)，乙型收割機(jī)為28臺(tái)；派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為18臺(tái)，乙型收割機(jī)為2臺(tái)。當(dāng)x29時(shí)，即派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為1臺(tái)，乙型收割機(jī)為29臺(tái)；派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為19臺(tái)，乙型收割機(jī)為1臺(tái)。當(dāng)x30時(shí)，即30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)；20臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往B地區(qū)。（3）由于一次函數(shù)y200x7400

19、0的值y是隨著x的增大而增大的，所以當(dāng)x30時(shí)，y取得最大值。如果要使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得租金最高，只需x30，此時(shí)，y60007400080000。建議農(nóng)機(jī)租賃公司將30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)；20臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往B地區(qū)，可使公司獲得的租金最高。例12、某紡織廠生產(chǎn)的產(chǎn)品,原來(lái)每件出廠價(jià)為80元,成本為60元.由于在生產(chǎn)過(guò)程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5米3的污水排出,現(xiàn)在為了保護(hù)環(huán)境,需對(duì)污水凈化處理后再排出.已知每處理1米3污水的費(fèi)用為2元,且每月排污設(shè)備損耗為8000元.設(shè)現(xiàn)在該廠每月生產(chǎn)產(chǎn)品x件,每月純利潤(rùn)y元： 求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.(純利潤(rùn)=總收入-總支

20、出) 當(dāng)y=106000時(shí),求該廠在這個(gè)月中生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù).解：依題意得：y=80x-60x-0.5x·2-8000y=19x-8000所求的函數(shù)關(guān)系式為y=19x-8000(x>0且x是整數(shù))當(dāng)y=106000時(shí)，代入得：106000=19x-800019x=114000x=6000這個(gè)月該廠生產(chǎn)產(chǎn)品6000件.例13某零件制造車間有工人20名，已知每名工人每天可制造甲種零件6個(gè)或乙種零件5個(gè)，且每制造一個(gè)甲種零件可獲利潤(rùn)150元，每制造一個(gè)乙種零件可獲利潤(rùn)260元，在這20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件.（I）請(qǐng)寫出此車間每天所獲利潤(rùn)y（元

21、）與x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式；（II）若要使車間每天所獲利潤(rùn)不底于24,000元，你認(rèn)為至少要派多少名工人去制造乙種零件才合適？解：（1）依題意，是（2）由題意：有 解得 答：至少要派15名工人去制造乙種零件才合適.五、幾何模型例14據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，一強(qiáng)臺(tái)風(fēng)的中心位于寧波(指城區(qū)，下同)東南方向()千米的海面上，目前臺(tái)風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度向北偏西60°的方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心50千米的圓形區(qū)域均會(huì)受到強(qiáng)襲擊已知寧海位于寧波正南方向72千米處，象山位于寧海北偏東60°方向56千米處請(qǐng)問(wèn)：寧波、寧海、象山是否會(huì)受這次臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊？如果會(huì)，請(qǐng)求出受強(qiáng)襲擊的時(shí)間；如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)

22、明理由(為解決問(wèn)題，須畫出示意圖，現(xiàn)已畫出其中一部分，請(qǐng)根據(jù)需要，把圖形畫完整)_（臺(tái)風(fēng)中心）_（寧海）_（寧波）_P_B_A解：補(bǔ)畫出示意圖經(jīng)過(guò)點(diǎn) 如圖過(guò)作東西方向(水平)直線與(南北)延長(zhǎng)線交于， 延長(zhǎng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)射線與相交于 ，45°， 30°， 30°=， 與重合， 臺(tái)風(fēng)中心必經(jīng)過(guò)寧海經(jīng)過(guò)寧海的時(shí)間為(時(shí)) 如圖為象山，由題意可得30°+30°=60°，到的距離60°=，象山會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)強(qiáng)襲擊求受襲擊時(shí)間可先求以為圓心，為半徑的圓與相交的弦長(zhǎng)等于，受襲擊時(shí)間(時(shí)) 到的距離60°=，寧波不會(huì)遭受此次臺(tái)風(fēng)的

23、強(qiáng)襲擊綜上所述:寧波不會(huì)遭受此次臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊；寧海:會(huì)，受襲擊時(shí)間為5時(shí)；象山:會(huì)，受襲擊時(shí)間時(shí)(約1時(shí)13分)例15一艘漁船在A處觀測(cè)到東北方向有一小島C，已知小島C周圍4.8海里范圍內(nèi)是水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng).漁船沿北偏東30°方向航行10海里到達(dá)B處，在B處測(cè)得小島C在北偏東60°方向，這時(shí)漁船改變航線向正東(即BD)方向航行，這艘漁船是否有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)的危險(xiǎn)？解法一：過(guò)點(diǎn)B作BMAH于M，BMAF.ABM=BAF=30°. 在BAM中，AM=AB=5，BM=5. 過(guò)點(diǎn)C作CNAH于N，交BD于K. 在RtBCK中，CBK=90°-60°=30

24、6; 設(shè)CK=x，則BK=x. 在RtACN中，CAN=90°-45°=45°， AN=NC.AM+MN=CK+KN. 又NM=BK，BM=KN. x+5=5+x.解得x=5. 5海里4.8海里，漁船沒(méi)有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)的危險(xiǎn). 答：這艘漁船沒(méi)有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)危險(xiǎn).解法二：過(guò)點(diǎn)C作CEBD，垂足為E，CEGBFA.BCE=GBC=60°.ACE=FAC=45°.BCA=BCE-ACE=60°-45°=15°.又BAC=FAC-FAB=45°-30°=15°，BCA=BAC.BC=AB=10在Rt

25、BCE中，CE=BC·cosBCE=BC·cos60°=10×=5(海里).5海里4.8海里，漁船沒(méi)有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)的危險(xiǎn).答：這艘漁船沒(méi)有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)的危險(xiǎn).六、三角模型例16如圖，小麗的家住在成都市錦江河畔的電梯公寓AD內(nèi)，她家的河對(duì)岸新建了一座大廈BC，為了測(cè)得大廈的高度，小麗在她家的樓底A處測(cè)得大廈頂部B的仰角為60°，爬上樓頂D處測(cè)得大廈頂部B的仰角為30°。已知小麗所住的電梯公寓高82米，請(qǐng)你幫助小麗計(jì)算出大廈高度BC及大廈與小麗所住電梯公寓間的距離AC.解：過(guò)點(diǎn)D作DEBC于E，則四邊形ACED是矩形. AC=DE，DA=EC

26、=82米，BDE=30°.在RtBDE中，tanBDE= BE=DE·tanBDE=DE.在RtBAC中，tanBAC=答：大夏BC高為123米，小麗所住的電梯公寓與大廈間的距離AC為41米七、統(tǒng)計(jì)模型例17中小學(xué)生的視力狀況受到全社會(huì)的廣泛關(guān)注，某市有關(guān)部門對(duì)全市4萬(wàn)名初中生的視力狀況進(jìn)行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)，所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如下圖，從左至右五個(gè)小組的頻率之比依次是2：4：9：7：3，第五小組的頻數(shù)是30.（1）本次調(diào)查共抽測(cè)了多少名學(xué)生？（2）本次調(diào)查抽測(cè)的數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)在哪個(gè)小組？說(shuō)明理由.（3）如果視力在4.95.1（含4.9、5.1）均屬正常，那

27、么全市初中生視力正常的約有多少人？解：（1）因?yàn)轭l率之比等于頻數(shù)之比， 設(shè)第一小組的頻數(shù)為2k，所以各組的頻數(shù)依次為2k、4k、9k、7k、3k，于是3k=30，所以k=10 所以2k=20，4k=40，9k=90，7k=70，所以20+40+90+70+30=250（人）. 答：本次調(diào)查共抽測(cè)了250名學(xué)生. （2）中位數(shù)應(yīng)在第三小組. 250個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第125和第126兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，前兩個(gè)小組的頻數(shù)之和是20+40=60，60<125第三小組的頻數(shù)是90，90+60=150，150>126,中位數(shù)應(yīng)在第三小組. （3）視力在4.95.1范圍內(nèi)的人有70人，頻率= =0.28，全市初中生視力正常的約有40000×0.28=11200（人），答：全市初中生視力正常的約有11200人.視力3.954.254.554.855.155.45例18、為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某中學(xué)組織了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)， 初中三各年級(jí)根據(jù)初賽成績(jī)分別選出了10名同學(xué)參加決賽，這些選手的決賽成績(jī)（滿分為100分）如下表所示：決賽成績(jī)（單位：分）初一年級(jí)80 86 88 80 88 99 80 74 91 89 初二年級(jí)85 85 87 97 85 76 88 77 87 88初三年級(jí)82 80 78 78 81 96 97 88 89 86（1）請(qǐng)你填寫