三角形全等之手拉手模型倍長中線截長補短法旋轉尋找三角形全等方法歸納總結

1、一、手拉手模型要點一：手拉手模型特點：由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點為公共頂點 結論：（1）abd aec （2）+boc=180° （3）oa平分boc變形： 例1.如圖在直線的同一側作兩個等邊三角形與，連結與，證明（1）(2)(3) 與之間的夾角為(4)(5)(6) 平分(7)變式精練1：如圖兩個等邊三角形與，連結與，證明（1）（2）（3） 與之間的夾角為（4） 與的交點設為,平分變式精練2：如圖兩個等邊三角形與，連結與，證明（1）(2）(3） 與之間的夾角為(4） 與的交點設為,平分例2：如圖，兩個正方形與,連結,二者相交于點問：（1）是否成立？（2） 是否與相

2、等？（3） 與之間的夾角為多少度？（4） 是否平分？例3：如圖兩個等腰直角三角形與，連結,二者相交于點問：（1）是否成立？（2）是否與相等？（3）與之間的夾角為多少度？（4）是否平分？例4：兩個等腰三角形與，其中,連結與，問：（1）是否成立？（2）是否與相等？（3）與之間的夾角為多少度？（4）是否平分？二、倍長與中點有關的線段倍長中線類考點說明：凡是出現中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的是可以旋轉等長度的線段，從而達到將條件進行轉化的目的?！纠?】 已知：中，是中線求證：【練1】在中，則邊上的中線的長的取值范圍是什么？【練2】如圖所示，在的邊上取兩點、，使，連接、，求證：

3、【例2】 如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點，延長交于，求證：【練1】如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交于，求證：【練2】如圖，在中，交于點，點是中點，交的延長線于點，交于點，若，求證：為的角平分線【練3】如圖所示，已知中，平分，、分別在、上，求證：【例3】 已知為的中線，的平分線分別交于、交于求證：【練1】在中，是斜邊的中點，、分別在邊、上，滿足若，則線段的長度為_【練2】在中，點為的中點，點、分別為、上的點，且（1）若，以線段、為邊能否構成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？（2）如果，求證【例4】 如圖所示，在中，延長到，使，為的中點，連接

4、、，求證【練1】已知中，為的延長線，且，為的邊上的中線求證：全等之截長補短：人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質，這一性質在許多問題里都有著廣泛的應用.而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方1. 如圖所示，中，ad平分交bc于d。求證：ab=ac+cd。如圖所示，在中，的角平分線ad、ce相交于點o。求證：ae+cd=ac。2. 如圖所示，已知，p為bn上一點，且于d，ab+bc=2bd，求證：。3. 如圖所示，在中，ab=ac，ce垂直于bd的延長線于e。求證：bd=2ce。5如圖所示，在中，ad為的平分線，=30，于e點，求證：ac-ab=2be。6.如圖所

5、示，已知/cd，的平分線恰好交于ad上一點e，求證：bc=ab+cd。7.如圖，e是的平分線上一點，垂足為c、d。求證：（1）oc=od； （2）df=cf。三、截長補短問題1：垂直平分線（性質）定理是_問題2：角平分線（性質）定理是_問題3：等腰三角形的兩個底角_，簡稱_；如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也_，簡稱_問題4：當見到線段的_考慮截長補短，構造全等或等腰轉移_、轉移_，然后和_重新組合解決問題三角形全等之截長補短（一）一、單選題(共4道，每道25分)1.已知，如圖，bm平分abc，p為bm上一點，pdbc于點d，bd=ab+cd求證：bap+bcp=180°

6、請你仔細觀察下列序號所代表的內容：；1=2；a=bep；ap=pe；以上空缺處依次所填最恰當的是( )a. b. c. d. 2.已知，如圖，bm平分abc，點p為bm上一點，pdbc于點d，bd=ab+dc求證：bap+bcp=180°請你仔細觀察下列序號所代表的內容：延長ba，過點p作peba于點e；延長ba到e，使ae=dc，連接pe；延長ba到e，使dc=ae；以上空缺處依次所填最恰當的是( )a. b. c. d. 3.已知，如圖，在五邊形abcde中，ab=ae，ad平分cde，bae=2cad，求證：bc+de=cd請你仔細觀察下列序號所代表的內容：在cd上截取cf=c

7、b，連接af；在dc上截取df=de，連接af；在dc上截取df=de；ae=af；af=ae，4=3；4=3；以上空缺處依次所填最恰當的是( )a. b. c. d. 4.已知，如圖，在五邊形abcde中，ab=ae，bae=2cad，abc+aed=180°，求證：bc+de=cd請你仔細觀察下列序號所代表的內容：延長de到f，使ef=bc，連接af；延長de到f，使bc=ef；延長de到f，連接af；以上空缺處依次所填最恰當的是( )a. b. c. d. 四、三角形全等旋轉與截長補短專題問題一：題中出現什么的時候，我們應該想到旋轉？(構造旋轉的條件)問題二：旋轉都有哪些模型？

8、【例1】如圖，p是正abc內的一點，若將pbc繞點b旋轉到pba ，則pbp的度數是( ) a45°b60° c90° d120° 【例2】如圖，正方形bafe與正方形acgd共點于a，連接bd、cf，求證：bdcf并求出doh的度數?！纠?】如圖，正方形abcd中，fadfae 。求證：bedfae。1題干中出現對圖形的旋轉現成的全等2圖形中隱藏著旋轉位置關系的全等形找到并利用3題干中沒提到旋轉，圖形中也沒有旋轉關系存在通過作輔助線構造旋轉！【例4】已知：如圖：正方形abcd中，man45°，man的兩邊分別交cb、dc于點m、n。求證：bm

9、dnmn?！纠?】如圖，正方形abcd中，eaf45°，連接對角線bd交ae于m，交af于n，證明：dn2bm2mn2 【例6】如圖，已知oab和ocd是等邊三角形，連結ac和bd，相交于點e，ac和bo交于點f，連結bc。求aeb的大小。 【例7】如圖所示：abc中，acb90°，acbc，p是abc內的一點，且ap3，cp2， bp1，求bpc的度數。本課總結問題一：題中出現什么的時候，我們應該想到旋轉？(構造旋轉的條件) 1圖中有相等的邊(等腰三角形、等邊三角形、正方形、正多邊形) 2這些相等的邊中存在共端點。3如果旋轉(將一條邊和另一條邊重合)，會出現特殊的角：大角

10、夾半角、手拉手、被分割的特殊角。問題二：旋轉都有哪些模型？構造旋轉輔助線模型：1大角夾半角2手拉手(尋找旋轉) 3被分割的特殊角測試題1如圖，p是正內的一點，且bp是abc的角平分線，若將繞點p旋轉到，則的度數是( )a45°b60°c90°d120° 2如圖：abc中，abac，bc為最大邊，點d、e分別在bc、ac上，bdce，f為ba延長線上一點，bfcd，則下列正確的是( )adfde bdcdfcecead不確定3如圖，四邊形abcd中，abc30°，adc60°，addc，則下列正確的是( )abd2ab2bc2 bbd2

11、ab2bc2cbd2ab2bc2 d不確定4已知中，于，ae為角平分線交cd于f，則圖中的直角三角形有( )a7個b6個c5個d4個5如圖，daab，eaac，adab，aeac，則下列正確的是( )abcd6如圖，已知p為正方形abcd的對角線ac上的一點(不與a、c重合)，pebc與點e，pfcd與點f，若四邊形pecf繞點c逆時針旋轉，連結be、df，則下列一定正確的是( )abpdpbbe2ec2bc2cbpdfdbedf7如圖，等腰直角adb與等腰直角aec共點于，連結、，則下列一定正確的是( )abedcbadcecbecedbece8如圖，等邊三角形與等邊三角形共點于，連接、，則

12、的度數為( ) a45°b60° c90° d120° 9如圖，在四邊形中，、分別是邊、上的點，且。則下列一定正確的是( )a bc d10在正方形abcd中，be3，ef5，df4，則baedcf為( )a45°b60° c90°d120°五、尋找全等三角形的幾種方法利用全等三角形的性質可以證明分別屬于兩個三角形中的線段或角相等. 在證明線段或角相等時，解題的關鍵往往是根據條件找到兩個可能全等的三角形，再證明這兩個三角形全等，最后得出結論下面介紹尋找全等三角形的幾種方法，供同學們參考一、利用公共角例 1 如圖 1

13、，ab ac, ae af. 求證: b c.分析：要證明b c，只需證明boecof 或abface. 而由圖形可知a 是公共角，又由已知條件 ab ac, ae af,所以abface，于是問題獲證二、利用對頂角（題目中的隱含條件）例 2 如圖 2，b、e、f、d 在同一直線上，ab cd，be df，ae cf，連接 ac 交 bd 于點 o求證： ao co分析：要證明 ao co，只需證明aoecof 或aobcod 即可根據現有條件都無法直接證明而由已知條件 ab cd，be df, ae cf 可直接證明abecdf，則 有aebcfd，進而有aeo cfo,再 利 用 對 頂

14、角 相 等，即可 證 明。三、利用公共邊（題目中的隱含條件）例 3 如圖 3，ab cd，ac bd求證：b c分析：設 ac 與 bd 交于點 o，此時b 與c 分別在aob和doc 中，而用現有的已知條件是不可能直接證明這兩個三角形全等的，需添加輔助線來構造另一對全等三角形此時可以連接 ad，那么 ad是abd 和dca 的公共邊，這樣可以證明abddca四、利用相等線段中的公共部分例 4 如圖 4，e、f 是平行四邊形 abcd 的對角線 ac 上的兩點，af ce. 求證：bedf.分析：要證明 bedf, 只需證明bec dfa，此時可以轉換為證明aeb cfd, 進而證明aebcf

15、d.五、利用等角中的公共部分例 5 如圖 5，已知e 30°，ab ad，ac ae，baedac求c 的度數分析：已知e 30°，要求c，可考慮證明abcade,由bae dac,結合圖形可知bac dae，于是問題獲解六、利用互余或互補角的性質考點：同角或等角的余角相等例 6 如圖 6，已知dce 90°，dac 90°，beac 于b, 且 dc ec, 能否找出與 ab+ad 相等的線段，并說明理由分析：由于 ac ab+bc，可以猜想 ac ab+ad，或 be ab+ad，此時只需證明 ad bc 即可而事實上，用同角的余角相等可得到dca

16、e，從而證明adcbce，問題獲證例7，如圖71，在正方形abcd中，m,n分別是cd，ad上的點，bm與cn相交于點o,若bon=90°，求證：dnc cmb.變式：如圖72，在等邊abc中，m,n分別是ac,ab上的點，bm與cn相交于點o,若bon=60°，求證:anccmb七、利用角平分線的性質（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）構造全等三角形考點一：利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等例8，如圖8，點p是abc的平分線bn上一點，pe垂直ab所在的直線與e,pf垂直bc所在的直線于f,pab+pcb=180°。求證pa=pc.考點二：利用截長補短法構造全等三角形所謂截長法是指在較長得到線段上截取一條線段等于較短線段，而補短法是指延長較短的線段等于較長的線段，通過截長補短可把分散的條件相對集中，以便構造全等三角形。例9，如圖9，在abc中，c2b，12. 求證：ab=ac+cd. 分析：從結論分析，“截長”或“補短”都可實現問題的轉化，即延長ac至e使ce=cd，或在ab上