數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)物理方法物理方法第一頁，共55頁。第1頁/共54頁第二頁，共55頁。復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(s z yn sun)也滿足交換律結(jié)合律和分配律。也滿足交換律結(jié)合律和分配律。第2頁/共54頁第三頁，共55頁。 P r o x y x y 圖 1.1 第3頁/共54頁第四頁，共55頁。第4頁/共54頁第五頁，共55頁。 0 x y 圖 1.2 02 k 第5頁/共54頁第六頁，共55頁。第6頁/共54頁第七頁，共55頁。第7頁/共54頁第八頁，共55頁。第8頁/共54頁第九頁，共55頁。第9頁/共54頁第十頁，共55頁。)sin(cos:ninrzzzzznnn 定

2、義第10頁/共54頁第十一頁，共55頁。第11頁/共54頁第十二頁，共55頁。第12頁/共54頁第十三頁，共55頁。 2 i2 2 cos()isin(), (0,1,2,1)knnnkkkrernnknw第13頁/共54頁第十四頁，共55頁。第14頁/共54頁第十五頁，共55頁。第15頁/共54頁第十六頁，共55頁。1.4 區(qū)域(qy)區(qū)域(qy)的概念000: zzzzz的 鄰域 點(diǎn)集稱為 的 鄰域鄰域的去心稱為點(diǎn)集鄰域的去心0000:zzzzz第16頁/共54頁第十七頁，共55頁。閉區(qū)域(qy)：區(qū)域(qy)D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域(qy)有界區(qū)域(qy)：如有正數(shù)使得區(qū)域(qy)D中

3、每一個(gè)點(diǎn)都滿足Mz M則D稱為(chn wi)有界的，否則稱為(chn wi)無界的孤立點(diǎn)所構(gòu)成是兩個(gè)圓周及其若干個(gè)化但邊界有變它仍是區(qū)域點(diǎn)如在圓環(huán)內(nèi)去掉若干個(gè)此域稱為圓環(huán)域構(gòu)成兩個(gè)圓周其邊界由是一有界區(qū)域如點(diǎn)集,.,2010201rzzrzzrzzrz第17頁/共54頁第十八頁，共55頁。2.單連通(lintng)域與多連通(lintng)域第18頁/共54頁第十九頁，共55頁。第19頁/共54頁第二十頁，共55頁。 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的定義：設(shè)G是的集合(jh)，如果有一個(gè)法則存在，按照該法則，對(duì)于G中的每一個(gè)z有確定的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)則稱復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)的函數(shù)記作iyxzivu z)(zf第20

4、頁/共54頁第二十一頁，共55頁。第21頁/共54頁第二十二頁，共55頁。)(zf等價(jià)兩個(gè)(lin )二元實(shí)函數(shù)),(),(yxvvyxuu2z考察(koch)函數(shù)即xyiyxiyxivu2)(222因此(ync)2z對(duì)應(yīng)22yxuxyv2第22頁/共54頁第二十三頁，共55頁。如果(rgu) 和反函數(shù) 都是單的，則稱 是一一映射.也稱 和是一一對(duì)應(yīng)的.)(zf)(z)(zfG*G今后如無特殊說明(shumng)，所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).第23頁/共54頁第二十四頁，共55頁。6.復(fù)變函數(shù)(hnsh)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)(hnsh)的極限定義(dngy)： 內(nèi)有定義，去心 有沒有意義都可以

5、 時(shí)， 00zz0z)(0zf0zz Azf)(記作Azfzz)(lim0第24頁/共54頁第二十五頁，共55頁。.函數(shù)(hnsh)的連續(xù)性定義：如果則稱在處連續(xù)(linx)如果在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)處處連續(xù)(linx)，則說在內(nèi)連續(xù)(linx)()(lim00zfzfzz)(zf0z)(zfD)(zfD定理(dngl)1：在處連續(xù)的充要條件是：其實(shí)部、虛部都在處連續(xù))(zfiyxz000),(00yx第25頁/共54頁第二十六頁，共55頁。定理(dngl)2.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)(hnsh)的復(fù)合函數(shù)(hnsh)仍連續(xù)關(guān)于(guny)的多項(xiàng)式函數(shù)znnzazazaaz

6、p.)(2210z關(guān)于的有理式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)處都連續(xù)mmnnzbzbzbbzazazaazQzP.)()(22102210在復(fù)平面除分母為零的點(diǎn)外都連續(xù)第26頁/共54頁第二十七頁，共55頁。7 解析函數(shù)(hnsh)的概念復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分. 1)()(zfzzfw.)(00處的導(dǎo)數(shù)在極限值為時(shí)的極限存在，則稱此當(dāng)若zzfzzw第27頁/共54頁第二十八頁，共55頁。.000的方式是任意的即必須強(qiáng)調(diào)：定義中zzzzz.)()(內(nèi)可導(dǎo)在內(nèi)處處可導(dǎo)，則說在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)：如果區(qū)域DzfDzfD第28頁/共54頁第二十九頁，共55頁。的導(dǎo)數(shù)求：例2)(1zzf，則在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)，在整個(gè)復(fù)平

7、面上有定義解：02)(zzzf000202000002)2(lim)(lim)()(limzzzzzzzzzfzzfzzz第29頁/共54頁第三十頁，共55頁。.)(2)(200的在整個(gè)復(fù)平面上是可導(dǎo)即故zzfzzf是否可導(dǎo)？問：例yixzf2)(2，則在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)，的定義域?yàn)槿w復(fù)平面解：0)(zzf第30頁/共54頁第三十一頁，共55頁。yixyixyixiyxiyyxxzzfzzfzzz2lim)2()( 2)(lim)()(lim000000000故因時(shí)，軸的直線趨向沿平行于讓000yzxzz第31頁/共54頁第三十二頁，共55頁。1lim2lim00 xxyixyixzz故因時(shí)

8、，軸的直線趨向沿平行于讓. 000 xzyzz22lim2lim00yiyiyixyixzz.2)(不可導(dǎo)在其定義域內(nèi)處處所以yixzf第32頁/共54頁第三十三頁，共55頁。（2）可導(dǎo)與連續(xù)(linx)002( )2. ( )( ).f zxyif zzf zz由例 知在其定義域內(nèi)處處連續(xù) 但卻處處不可導(dǎo)，反之可證明：在處可導(dǎo)，則在處必定連續(xù)第33頁/共54頁第三十四頁，共55頁。（3）求導(dǎo)法則(fz)(0)( . 1為復(fù)數(shù)cc )(. 21為正整數(shù)nnzznn)()()()( . 3zgzfzgzf)()()()()()( . 4zfzgzgzfzgzf第34頁/共54頁第三十五頁，共55

9、頁。)0)()()()()()()()( . 52zgzgzfzgzgzfzgzf)()()()(. 6zgwzgwfzgf其中.)(),()(1)(. 7函數(shù)單值兩個(gè)互為反函數(shù)的是wzzfwwzf第35頁/共54頁第三十六頁，共55頁。解析(ji x)函數(shù)的概念.)()()()()(.)()(000一個(gè)解析函數(shù)內(nèi)的是內(nèi)解析，或稱在內(nèi)的是內(nèi)解析，或稱在內(nèi)每一點(diǎn)解析，則稱在區(qū)域果如解析在域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱的鄰及在如果函數(shù)定義：DzfDzfDzfDzfDzfzzfzzzf第36頁/共54頁第三十七頁，共55頁。.)()(00奇點(diǎn)的為不解析，則稱在如果zfzzzf.)()(內(nèi)可導(dǎo)在區(qū)域在區(qū)域內(nèi)解析注

10、意：zfzf第37頁/共54頁第三十八頁，共55頁。的解析性討論函數(shù)的：例22)(,2)(,)(3zzfyixzfzzf的解析性不解析的；在復(fù)平面內(nèi)是處處在復(fù)平面內(nèi)是解析的；解：22)(2)()(zzfyixzfzzf第38頁/共54頁第三十九頁，共55頁。zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzfzzf0000000000202000)()()(第39頁/共54頁第四十頁，共55頁。zzzzz000)0()0(lim0) 1 (00zfzfzz，則若則趨向沿直線讓若00000)(, 0)2(zxxkyyzzz第40頁/共54頁第四十一頁，共55頁。kikiixyixyyixyixzz

11、1111.)()(000無極限時(shí)，值的任意性，可知當(dāng)由于zzfzzfzk第41頁/共54頁第四十二頁，共55頁。.0)(2上處處不解析的定義，它在復(fù)平面都不可導(dǎo)，由解析函數(shù)處可導(dǎo)，在其他點(diǎn)處僅在因此zzzf的解析性研究函數(shù)：例zw14210zdzdwz 時(shí)由求導(dǎo)法則知，當(dāng)解：第42頁/共54頁第四十三頁，共55頁。.010是它的奇點(diǎn)解析，在復(fù)平面上處處外，所以除zzwz.)(),(仍解析除外）積、商（分母為零的點(diǎn)其和、差、解析，則內(nèi)，在區(qū)域zgzfD定理1第43頁/共54頁第四十四頁，共55頁。8 函數(shù)(hnsh)解析的充要條件( )( , )( , )( , ), ( , )f zu x y

12、iv x yDu x yv x yD： 函數(shù)在其定義域 內(nèi)解析在 內(nèi)可微柯西黎，并且滿足曼方程：定理(dngl)一,uvuvxyyx yvyuixvixuzf1)(而且第44頁/共54頁第四十五頁，共55頁。)Re() 3()sin(cos)()2(,)() 1 (,1zzwyiyezfzzfx何處解析？導(dǎo)判定下列函數(shù)在何處可：例第45頁/共54頁第四十六頁，共55頁。1,0,0, 1),(,),()1(yvxvyuxuyyxvxyxu因?yàn)榻猓簭?fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)。在方程不滿足，所以可知：zwRC第46頁/共54頁第四十七頁，共55頁。yeyvyexvyeyuyexuyeyxvyeyxuxxxx

13、xxcos,sinsin,cossin),(,cos),()2(因?yàn)?)(,復(fù)平面內(nèi)處處解析在續(xù)，所以且上面四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連從而zfxvyuyvxu第47頁/共54頁第四十八頁，共55頁。xyvxyxuxyixxiyxzzw,),()()Re() 3(22即xyvyxvyuxxu, 0,2.,0)Re(,0,析但在復(fù)平面內(nèi)處處不解處可導(dǎo)在因而方程它們才滿足時(shí)但只有此四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)zzzwRCyx第48頁/共54頁第四十九頁，共55頁。第49頁/共54頁第五十頁，共55頁。22121212121212(1) sin()sin , cos()cos(2) sincos1(3) sin()sinc

14、oscossin(6)4) cos()coscossinsin( sin5) sin(2 )sin , cos(, co2 )cos s1zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz can be great er t han 第50頁/共54頁第五十一頁，共55頁。sincostan,cot,cossin11sec,csc,cossinzzzzzzzzzz4. 4. 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)(hnsh)(hnsh)sinh, cosh,22sinhcoshtanh, coth,coshsinh11sech, csch.coshsinhzzzzeeeezzzzzzzzzzzz22coshsinh1zz恒等式：恒等式：第51頁/共54頁第五十二頁，共55頁。第52頁/共54頁第五十三頁，共55頁。作作業(yè)業(yè)；3P131，；，；3第53頁/共54頁第五十四頁，共55