江蘇省南京市南師附中2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、南京師大附中 2019-2020 學(xué)年度第 2 學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1. 本試卷共 4頁(yè)，包括單選題（第 1題第 8題）、多選題（第 9題第 12題）、填空題（第 13 題 第題 18 題）、解答題（第 19 題 第 23 題）四部分，本試卷滿分為 150 分，考試時(shí)間為 120 分鐘 .2. 答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)寫(xiě)在答題紙的密封線內(nèi)，試題的答案寫(xiě)在答題紙 上相應(yīng)題目的答題區(qū)內(nèi)，考試結(jié)束后，交回答題紙 .一、單項(xiàng)選擇題：本題共 8小題，每小題 5分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)是符合題目要求的 .21. 若An 20 ,則n的值為（）A

2、. 2B. 3C. 4D. 5【答案】 D【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)公式可得出關(guān)于 n的二次方程，進(jìn)而可解得正整數(shù) n的值.【詳解】由排列數(shù)公式可得 An2 n n 1 20 ，即 n2 n 20 0 ，Q n N ，解得 n 5故選： D. 【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)方程的求解，考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2. 函數(shù)f X sin2x的導(dǎo)數(shù)是（）A. 2cos2xB. 2cos2 xC. 2sin2 xD. 2sin2x【答案】 A【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可求得 f x ，進(jìn)而可得出結(jié)果 .詳解】 Q f x sin2x ， f x sin2x2x cos2x

3、2cos2x.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3.若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足Z 1 iA. 5i25B.-2【答案】D【解析】【分析】3 4i ,則 ZC.虛部為（5.i2D.利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式和復(fù)數(shù)的除法法則可求得復(fù)數(shù)Z ,進(jìn)而可得出【詳解】Q Z 1 i3 4i5因此，復(fù)數(shù)Z的虛部為-2故選：D.5 ,因此，Z 1 i【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模力，屬于基礎(chǔ)題4.已知等差數(shù)列an ,若a2、a4038是函數(shù)f X考查計(jì)算能1的極值點(diǎn)，則a2020的值為（）52mxA. 1B. 1C.D.【答案】【解析】【分析】求得fX ,

4、利用韋達(dá)定理和等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得a2020的值.【詳解】132QfX X X mx 1,32X 2x m，1由韋達(dá)定理a? a40382，又a2020a2a4038，所以 a20201 .故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用極值點(diǎn)求參數(shù)，同時(shí)也考查了等差中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題5.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z 11 ,則Z的最大值為（）A. 1B. 2C. 3D. 42【答案】C【解析】【分析】設(shè)Z X yi，根據(jù)等式Z 1 J3i 1得出復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程，然后利用Z的幾何意義可求得Z的最大值.2【詳解】設(shè)ZXyi ,由題意得X 1 2 y1 ,圓心到原點(diǎn)的距離為2， Zma

5、X 2 r 3.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、圓的最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題6.若kex X 10恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. ,1B. 0,1C. 0,D. 1,【答案】D【解析】【分析】X 1X 1由參變量分離法得出 k-恒成立，構(gòu)造函數(shù) g X -,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù) y g X的最大值，進(jìn)ee而可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍【詳解】由題意得kX恒成立，設(shè)eg XX1入X ,令 g X eXX 0X 0， e當(dāng)X 0時(shí)，g X0 ,此時(shí)函數(shù)yg X單調(diào)遞增；當(dāng)X 0時(shí)，g X0 ,此時(shí)函數(shù)yg X單調(diào)遞減.所以，g X max g01 ,故 k3 1.因此，實(shí)數(shù)k的取值范圍是1,故選

6、：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，用參變分離法，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值即可，屬于中等題7. 某班聯(lián)歡會(huì)原定的3個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了2個(gè)新節(jié)目，如果將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（）A. 12B. 20C. 36D. 120【答案】B【解析】【分析】 每次插入一個(gè)節(jié)目，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果【詳解】利用分步計(jì)數(shù)原理，第一步先插入第一個(gè)節(jié)目，有4種方法，第二步插入第二個(gè)節(jié)目，此時(shí)有 5個(gè)空，故有5種方法因此不同的插法共有 20種故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題8. 定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f X滿足f X 1 ,若

7、f m f 1 2m 3m 1 ,則m的取值范圍是（）11A. , 1B. IC. 1,D. I33【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)g Xf XX，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y gX的單調(diào)性，將所求不等式變形為g mg1 2m,再由函數(shù)y g X的單調(diào)性可解此不等式,進(jìn)而得解.【詳解】令g Xf XX，g Xf X 10 ,故 yg X單調(diào)遞減f mmf 12m2m1 ,即 g m g 1 2m，m11 2m， m.3因此，m的取值范圍是1'3故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用構(gòu)造函數(shù)求解函數(shù)不等式，根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)并判斷新函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)新 函數(shù)單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式即可，屬于中等題二、多項(xiàng)選擇題

8、：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合 題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得O分.9. 若復(fù)數(shù)Z滿足Z 2 i 3 4i （ i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的有（）A. Z的虛部為3C. Z的共軛復(fù)數(shù)為2 3iD. Z是第三象限的點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù) Z ,利用復(fù)數(shù)的概念與幾何意義可判斷各選項(xiàng)的正誤3 4iI【詳解】Q z 2 i 3 4i， Z2 3i 2 ,所以，復(fù)數(shù)Z的虛部為 3，Z . 13 ,共軛復(fù)i數(shù)為2 3i ,復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)四則運(yùn)算、虛部、模、共

9、軛復(fù)數(shù)以及幾何意義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10. 有四名男生，三名女生排隊(duì)照相，七個(gè)人排成一排，則下列說(shuō)法正確的有（）A.如果四名男生必須連排在一起，那么有720種不同排法B.如果三名女生必須連排在一起，那么有C.如果女生不能站在兩端，那么有1440種D.如果三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起,【答案】CD【解析】【分析】利用捆綁法可計(jì)算出 A、B選項(xiàng)法可計(jì)算出D選項(xiàng)中的排法種數(shù)，纟【詳解】A中，如果四名男生必須j442A4A424576種不同的排法,B中，如果三名女生必須連排在一起,576種不同排法1440種項(xiàng)中的排法種數(shù)，利用插空大元素”此時(shí)，共有”此時(shí)，共有E法殊位置法可計(jì)排法可得出結(jié)

10、果在一起，將這男生捆綁，形成一個(gè)這三名女生捆綁，形成一個(gè)35A3As 6 120 720種不同的排法種數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C中，如果女生不能站在兩端，則兩端安排男生，其他位置的安排沒(méi)有限制，此時(shí)，共有25A4A5 12 120 1440種不同的排法種數(shù)，C選項(xiàng)正確；D中，如果三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起，將女生插入四名男生所形成的5個(gè)空中，此時(shí)，共有A4A3 24 60 1440種不同的排法種數(shù)，D選項(xiàng)正確故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合問(wèn)題，考查了捆綁法、插空法以及特殊位置法，考查計(jì)算能力，屬于中等題11. 已知函數(shù)f X定義域?yàn)?1,5，部分對(duì)應(yīng)值如表，f X的導(dǎo)函數(shù)f X的圖象如圖所

11、示.下列關(guān)于函 數(shù)f X的結(jié)論正確的有（）2個(gè)X10245f X12021B. 函數(shù)在f X上0,2是減函數(shù)C. 若X 1,t時(shí)，f X的最大值是2 ,則t的最大值為4D. 當(dāng)1 a 2時(shí)，函數(shù)y f X a有4個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象可判斷 A、B選項(xiàng)的正誤；取t 5 ,結(jié)合函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；作出函數(shù)y f X的草圖，數(shù)形結(jié)合可判斷 D選項(xiàng)的正誤綜合可得出結(jié)論【詳解】由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性可知，函數(shù)y f X的單調(diào)遞增區(qū)間為,0、2,4 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 0,2、4,，B選項(xiàng)正確；函數(shù)y f X有2個(gè)極大值點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；當(dāng)X 1,5時(shí)，函數(shù)y

12、f X最大值是2 ,而t最大值不是4, C選項(xiàng)錯(cuò)誤；作出函數(shù)y f X的圖象如下圖所示，由下圖可知，當(dāng)1 a 2時(shí)，函數(shù)y a與函數(shù)y f X的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)之間的關(guān)系，由圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題12. 若函數(shù)f X的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn) A、B ,使得曲線y f X在這兩點(diǎn)處的切線重合，稱函數(shù)f X具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的有（）X423A. y e XB. y X XC. y XD. y XSln x【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意可知性質(zhì)T指函數(shù)y f X的圖象上有兩個(gè)不同點(diǎn)的切線是重合的，分析各選

13、項(xiàng)中函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與原函數(shù)的奇偶性，數(shù)形結(jié)合可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；禾U用導(dǎo)數(shù)相等，求解方程，可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，性質(zhì) T指函數(shù)y f X的圖象上有兩個(gè)不同點(diǎn)的切線是重合的，即兩個(gè)不同點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值相等，且該點(diǎn)處函數(shù)的切線方程也相等對(duì)于A選項(xiàng)，y eX X ,則y eX 1 ,導(dǎo)函數(shù)為增函數(shù)，不存在不同的兩個(gè)X使得導(dǎo)數(shù)值相等，所以 A不符合；4232對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)y X X為偶函數(shù)，y 4x 2x 2x 2x 1 ,令y 0，可得X 0或X，如下圖所示：2綜上所述，不同的排法種數(shù)為A c；a： 216.由圖象可知，函數(shù) y X4 X2在X 處的

14、切線重合，所以 B選項(xiàng)符合;2對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)兩切點(diǎn)分別為33Xl,X和X2,X2 ,則兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等有:2 23xi 3x2 ,解得：Xix2，令 Xia ,貝 y X2a，兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)y23a ,兩切點(diǎn)連線的斜率為a2 ,則3a2 a2 ,得a 0,兩切點(diǎn)重合,不符合題意，所以 C選項(xiàng)不符合;對(duì)于D選項(xiàng)，y1 COSX ,設(shè)兩切點(diǎn)得橫坐標(biāo)分別為Xi 和 X2 ,則 1 cosx11COSX2 ,所以 COSX1 COS X2 ,取 X1, X225-,則 V1-1 , V25-1 ,2 2 2兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為 y 1 ,兩切點(diǎn)連線的直線斜率為y2y1X2X1所以兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于

15、兩切點(diǎn)連線的斜率，符合性質(zhì)T ,所以D選項(xiàng)符合.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的公切線問(wèn)題，需抓住兩點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值相等且等于兩點(diǎn)連線的斜率來(lái)求解，考查分析 問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題三、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分313.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z-0 ,則IZl .Z【答案】、3【解析】分析:設(shè)Z abi (a,bR),代入z23，由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a, b的值得答案詳解:由3Z -ZO ,得Z23 ,設(shè)Zabi (a, bR),由Z23得(abi)2a2 b2 2abi3,2 I 2Ca b3 AZH即，解得a2ab 00,b3 ,所以Z3i ,則:73 點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)代

16、數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件以及復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題，著重考查了考生的推理與運(yùn)算能力14.已知函數(shù)f X 二，貝U f 0的值為X231【答案】丄3【解析】【分析】先求出f X ,進(jìn)而可求得f O的值【詳解】Q f XX23 ,X23 2x23 X2X2222，因此，X 3X 3故答案為：-.3【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，只需對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再代入值即可，屬于基礎(chǔ)題15.六個(gè)人從左至右排成一行,最右端只能排成甲或乙， 最左端不能排甲，則不同的排法共有種（請(qǐng)用數(shù)字作答）【答案】216【解析】【分析】分兩種情況討論：甲在最右邊；乙在最右邊.分別計(jì)算出兩種情況下的排法種數(shù)，利用分類加法計(jì)

17、數(shù)原理可求得結(jié)果5【詳解】分兩種情況討論：甲在最右邊，則其他位置的安排沒(méi)有限制，此時(shí)排法種數(shù)為A5 ；乙在最右邊，甲在除了最左邊和最右邊以外的四個(gè)位置，再對(duì)剩下四個(gè)進(jìn)行排列， 此時(shí)，排法種數(shù)為c4A4.故答案為：216 .【點(diǎn)睛】本題考查排列組合，解題的關(guān)鍵就是要對(duì)甲的位置分類討論，考查計(jì)算能力，屬于中等題16.直線y m與直線y 2x 3和曲線y In 2x分別相交于 代B兩點(diǎn)，貝y | AB |的最小值【答案】2【解析】【分析】通過(guò)圖像可以判斷出,y m與y 2x 3的交點(diǎn)在與 y In2x的交點(diǎn)的左邊,求出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后做差，得到AB關(guān)于m的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值,【詳解】如

18、圖，設(shè)直線ym與y2x3的交點(diǎn)為A,直線y m與y In2x的交點(diǎn)為B則A在B的左側(cè),則XAm 3XBm e2 ，2所以ABm em322設(shè)fmm em3f mm e12252m O, f m單調(diào)遞減；當(dāng)m O時(shí),m O, f m單調(diào)遞增,當(dāng)m O時(shí),所以當(dāng)m O時(shí)，f m取得極小值，也是最小值,mineO O 32故AB的最小值為2【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像與解析式的結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將線段長(zhǎng)度表示為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求 出函數(shù)的最值，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題2,2 ,X17.已知函數(shù)f X e X 1 ,則它的極小值為 ；若函數(shù)g X mx ,對(duì)于任意的Xi總存在x21,2 ,使得f x1

19、g x2 ,則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 .1【答案】(1).1(2)., U 1,2【解析】【分析】(1) 利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù) y f X的極小值；(2) 由題意可得出f X min g X min ,分m O、m O、m O三種情況討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于 的不等式，進(jìn)而可求得 m的取值范圍.【詳解】(1)由 f XexX 1 ,得 f XexX 1exXeX ,令 f x O ,得 X O，列表如下：X,OOO,f XOf X極小值Z所以，函數(shù)y f X的極小值為f OeO O 11 ；(2) X12,2 ， X21,2，使得 f X1g X2，即 f x min g X min， g X m

20、inf X min1.當(dāng)mO時(shí)，函數(shù)ygX單調(diào)遞增，gm1 ,即 m>1 ；當(dāng)mO時(shí)，函數(shù)ygX單調(diào)遞減，g當(dāng)mO 時(shí)，g XO，不符合題意綜上：1m,-2U 1,XmingI m，1Xmin g 2 2m，2m 1 ,即 m 2 ；故答案為：1 ；, 1 U 1,2【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，同時(shí)也考查了存在性問(wèn)題與恒成立問(wèn)題綜合，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題18.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f X滿足f X f x 2，且當(dāng)0x1時(shí)，f X 3 X若函數(shù) h X f X -在 4,00,4上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .X【答案】6,2【解析】【分析】推導(dǎo)出函

21、數(shù)y f X的周期和對(duì)稱軸方程，并作出函數(shù)y f X在 4,4上的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于t的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù) t的取值范圍.f X f X 2rrr【詳解】由得：fX 4 fX ,所以，函數(shù)y fX的周期為4,f Xf X由f X f X 2得fix f 1 X ,所以，函數(shù)y f X關(guān)于直線X 1對(duì)稱，32QfX X X， X 0,1 ， f X 3x2 10，所以，函數(shù)y f X在X 0,1上單調(diào)遞增，y f x在X 4,4上的圖象如下：AAX/ I-/ i -QJrI、III-H YI I/ /XLf +1L : /ftIU函數(shù)h X f X -的零點(diǎn)，即y f X與g X -的

22、圖象的交點(diǎn)XX當(dāng)t0時(shí)，要有四個(gè)交點(diǎn)，則需滿足g 1f 1，即 t 2 ,此時(shí) 0 t2 ；當(dāng)t0時(shí)，要有四個(gè)交點(diǎn)，則需滿足g 3 f 3，即一2，即 6 t30 ；當(dāng)t0 時(shí)，g X 0,即 y f X在 4,00,4上的零點(diǎn)，有4個(gè)，分別是X4、2、2、4，滿足題意.綜上：t 6,2故答案為：6,2【點(diǎn)睛】本題利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題 .四、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟19.設(shè)復(fù)數(shù) ZI2 ai(aR)，Z24 3i.（2）若在區(qū)間2,3上，函數(shù)f X不單調(diào)，求

23、a的取值范圍（1）若Z Z2是實(shí)數(shù)，求Z1 Z2 ；Z1（2）若是純虛數(shù)，求Zi的共軛復(fù)數(shù)Z28 【答案】（1） Zi Z2 = 17 6i （2）28i3【解析】【分析】（1）由Z Z2是實(shí)數(shù)求得a，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算求Z1?Z2的值；（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)Z1算化簡(jiǎn),由實(shí)部為O且虛部不為O求得a，再由共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.Z2【詳解】解：（1） Z1 Z2 6 （3 a）i是實(shí)數(shù), 3 a=0， aZ12 3i， Z1 Z2(23i)(43i)17 6i .(2 )蘭Z22 ai4 3i2 ai 4 3i4 3i 4+3i(8 3a)(6 4a)i是純虛數(shù),258 3a6

24、 4aO,即aO83, Z18.3i，8. i .3【點(diǎn)睛】 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和共軛復(fù)數(shù)的求法,故Z1的共軛復(fù)數(shù)為2屬于簡(jiǎn)單題.1312S 已知函數(shù) f X 3x 2a 6x 6ax b a，b R .（1）若函數(shù)f X的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為2，求 a、b 的值;【答案】(1) a3, b 0 ； (2)2,3【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得0,進(jìn)而可解得a2b的值;(2)根據(jù)題意可知，函數(shù) yX在區(qū)間2,3上有極值點(diǎn)，設(shè)XX ,分函數(shù)y X在區(qū)間2,3只有一根，或兩根，利用二次函數(shù)零點(diǎn)分布可得出關(guān)于a的不等式組，由此可解得a的取值范圍.【詳解

25、】(1)Q f6 X 6a， f 0 6a 2，解得a(2)由題意得2,3上有解,XX2a 6 X 6a.一根在2,3上,0 ,該不等式組無(wú)解;0兩根在2,3上,綜上a2,3 .【點(diǎn)睛】本題難度一般224a,該不等式組無(wú)解.第一問(wèn)考查了導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，第二問(wèn)直接考查了導(dǎo)函數(shù)的極值問(wèn)題,間接考查了二次方程根的分布問(wèn)題，屬于中等題21. 為提高學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)的興趣，南京港師范大學(xué)附屬中學(xué)擬開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史、微積分先修課程、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模四門(mén)校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)打算在上述四門(mén)課程中隨機(jī)選擇一門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí)，已知三人選擇課程時(shí)互不影響，且每人選擇每一門(mén)課程都是等可能的(1) 求三位同學(xué)選擇的課

26、程互不相同的概率：(2) 求甲、乙兩位同學(xué)不能選擇同一門(mén)課程，求三人共有多少種不同的選課種數(shù);(3) 若至少有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)史 ，求三人共有多少種不同的選課種數(shù)3【答案】(1) 3 ；(2) 48 ；(3) 10.8【解析】【分析】（1）先計(jì)算出三位同學(xué)選擇課程的選法種數(shù)以及三位同學(xué)選擇的課程互不相同的選法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）考慮甲、乙兩位同學(xué)不選同一門(mén)課程的選法種數(shù)，并求出丙選課程的選法種數(shù)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果；（3） 分兩種情況討論：有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)史；三位同學(xué)都選擇數(shù)學(xué)史分別計(jì)算出兩種情況下不同的選課種數(shù)，利用分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果【詳解】（1

27、）三位同學(xué)選擇課程共有 43 64種情況；3243三位同學(xué)選擇的課程互不相同共有A4 24種情況，所求概率為648i2（2） 甲、乙兩位同學(xué)不選擇同一門(mén)課程共有A4 12種情況，丙有4種不同的選擇，所以甲、乙兩位同學(xué)不能選擇同一門(mén)課程共有12 4 48種情況；（3） 分兩種情況討論：有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)史，共有C； C3 9種不同的情況；有三位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)史共有1種情況綜上所述，總共有 9 110種不同的選課種數(shù)【點(diǎn)睛】本題主要考查了等可能事件的概率，分步計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理，排列組合的基本應(yīng)用，屬于中等題22. 如圖，某景區(qū)內(nèi)有兩條道路 AB、AP ,現(xiàn)計(jì)劃在AP上選擇一點(diǎn)C,新建道路BC,并

28、把VABC所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域已知 BAC -，AB 2km，AP 2,3km 若綠化區(qū)域VABC改造成本為10萬(wàn)6（1）設(shè) ABC,寫(xiě)出該計(jì)劃所需總費(fèi)用 F的表達(dá)式，并寫(xiě)出的范圍;設(shè)AC X ,寫(xiě)出該計(jì)劃所需總費(fèi)用 F X的表達(dá)式，并寫(xiě)出X的范圍;F10sin10答案】（1)5 SIn6（2）從上面兩個(gè)函數(shù)關(guān)系中任選一個(gè)，求點(diǎn)C在何處時(shí)改造計(jì)劃的總費(fèi)用最小o,2FX10-X e2、3x 0 X 2 .3 ; (2) AC3【解析】【分析】(1)利用正弦定理求出BC、AC關(guān)于 的表達(dá)式，根據(jù)題意可得出F的表達(dá)式，并可求得的范圍;設(shè)AC X ,利用余弦定理求出BC,根據(jù)題意可得出X的表達(dá)式，

29、并可求得 X的取值范圍;(2)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù) y F的最小值，及其對(duì)應(yīng)的的值，進(jìn)而得解【詳解】(1)設(shè) ABCAC,由正弦定理得sn2T5Sin6BCBC1.5Sin6AC2sin5 Sin -610BC 10Sv,'ABC105 Sin -610 -15Sin -2sin10sin 1056Sin當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P重合的時(shí)候,20,23設(shè) AC X，BC . X242.3x，1O Svabc BC 10 X24 2.3xX 23(2)1Osin 1020sin.5Sin6O ,得 Sin0,6 時(shí)，F(xiàn)-,2-時(shí),6320cos ,3s in ，貝U2，且40sinCOS,所以0,此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減;O ,此時(shí)，函數(shù)y單調(diào)遞增.3 3sin20所以當(dāng)，即AC 2時(shí)，改造計(jì)劃的總費(fèi)用最小63【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，要注意以邊、角分別為變量求得函數(shù)解析式，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，是常見(jiàn)題型，難度中等23.設(shè)函數(shù)f X