中考數(shù)學壓軸題(動點)(共26頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考數(shù)學壓軸題總結(jié)（動點）（一） 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BHEH最小，求出點H的坐標；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當H落在線段EC上時，BHEH最小2第（4）題的解題策略是：先分

2、兩種情況畫直線BF，作CBFEBC45°，或者作BF/EC再用含m的式子表示點F的坐標然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應成比例列關于m的方程滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當m4時，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當H落在線段EC上時，BHEH最小設對稱軸與x軸的交點為P，那么因此解得所以點H的坐標為（4）如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當，即時，BCEFBC設點F的坐標為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如

3、圖4，作CBF45°交拋物線于F，過點F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為例2，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標,圖1思路點撥1已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解

4、析式時，設交點式比較簡便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長3按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點C的 坐標（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設點P的坐標為如圖2，當點P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時點P的坐標為（2，1）如圖3，當點P在點A的右側(cè)時，x4，解方程，得此時點P的坐標為解方程，得不合題意如圖4，當點P在點B的左側(cè)時，x1，解方程，得此時點P的坐標為解方程，得此時點P

5、與點O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點P的坐標為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為所以因此當時，DCA的面積最大，此時點D的坐標為（2，1） （二） 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例3，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明

6、理由圖1 思路點撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時PAC的周長最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點，設ya(x1)(x3)，代入點C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H由，BOCO，得PHBH2所以點P的坐標為(1, 2)圖2（3）點M的坐標為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的

7、：設點M的坐標為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點M的坐標為(1, 1)如圖4，當AMAC時，AM2AC2解方程4m210，得此時點M的坐標為(1,)或(1,)如圖5，當CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當M(1, 6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)圖3 圖4 圖5例4，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，

8、是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗2本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起滿分解答（1）如圖2，過點B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以點B的坐標為（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設拋物線的解析式為yax(x4)，代入點B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設點P的坐標為(2, y)當OPOB4時，OP216所以

9、4+y216解得當P在時，B、O、P三點共線（如圖2）當BPBO4時，BP216所以解得當PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點P的坐標為，如圖2所示圖2 圖3考點伸展如圖3，在本題中，設拋物線的頂點為D，那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點為因此所以DOA30°，ODA120°（三） 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例5：在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk(x2x1)的圖象交于點A(1,k)和點B(1,k)（1）當k2時，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設二次函

10、數(shù)的圖象的頂點為Q，當ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值思路點撥1由點A(1,k)或點B(1,k)的坐標可以知道，反比例函數(shù)的解析式就是題目中的k都是一致的2由點A(1,k)或點B(1,k)的坐標還可以知道，A、B關于原點O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O3根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，當Q落在O上是，ABQ是以AB為直徑的直角三角形滿分解答（1）因為反比例函數(shù)的圖象過點A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是當k2時，反比例函數(shù)的解析式是（2）在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k0當k0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大拋物線yk(x2x1)的對稱軸是直線

11、圖1所以當k0且時，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大（3）拋物線的頂點Q的坐標是，A、B關于原點O中心對稱，當OQOAOB時，ABQ是以AB為直徑的直角三角形由OQ2OA2，得解得（如圖2），（如圖3）圖2 圖3考點伸展如圖4，已知經(jīng)過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當A、C關于直線yx對稱時，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形因為A、C可以無限接近坐標系但是不能落在坐標軸上，所以OA與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方

12、形圖4 圖5例6，已知拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C(0，3)，對稱軸是直線x1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）求直線BC的函數(shù)表達式；（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限當線段時，求tanCED的值；當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標溫馨提示：考生可以根據(jù)第（3）問的題意，在圖中補出圖形，以便作答圖1思路點撥1第（1）、（2）題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結(jié)果直接影響后續(xù)的解題2第（3）題的關鍵是求點E的坐標，反復用到數(shù)形結(jié)合，

13、注意y軸負半軸上的點的縱坐標的符號與線段長的關系3根據(jù)C、D的坐標，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點E的坐標就簡單了滿分解答（1）設拋物線的函數(shù)表達式為，代入點C(0，3)，得所以拋物線的函數(shù)表達式為（2）由，知A(1，0)，B(3，0)設直線BC的函數(shù)表達式為，代入點B(3，0)和點C(0，3)，得 解得，所以直線BC的函數(shù)表達式為（3）因為AB4，所以因為P、Q關于直線x1對稱，所以點P的橫坐標為于是得到點P的坐標為，點F的坐標為所以，進而得到，點E的坐標為直線BC:與拋物線的對稱軸x1的交點D的坐標為（1，2）過點D作DHy軸，垂足為H在RtEDH中，DH1，所以tan

14、CED，圖2 圖3 圖4考點伸展第（3）題求點P的坐標的步驟是：如圖3，圖4，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點E的坐標，再求出CE的中點F的坐標，把點F的縱坐標代入拋物線的解析式，解得的x的較小的一個值就是點P的橫坐標（四） 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例7，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A為頂點的拋物線yax2bxc過點C動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒過點P作PEAB交AC于點E（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解

15、析式；（2）過點E作EFAD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值圖1思路點撥1把ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD2用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標都表示出來3構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗證菱形是否存在滿分解答（1）A(1, 4)因為拋物線的頂點為A，設拋物線的解析式為ya(x1)24，代入點C(3, 0)，可得a1所以拋物線的解析式為y(x1)24x22x

16、3（2）因為PE/BC，所以因此所以點E的橫坐標為將代入拋物線的解析式，y(x1)24所以點G的縱坐標為于是得到因此所以當t1時，ACG面積的最大值為1（3）或考點伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因為FE/QC，F(xiàn)EQC，所以四邊形FECQ是平行四邊形再構(gòu)造點F關于PE軸對稱的點H，那么四邊形EHCQ也是平行四邊形再根據(jù)FQCQ列關于t的方程，檢驗四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQCQ列關于t的方程，檢驗四邊形EHCQ是否為菱形，如圖2，當FQCQ時，F(xiàn)Q2CQ2，因此整理，得解得，（舍去）如圖3，當EQCQ時，EQ2CQ2，因此整理，得所以，（舍去）圖2 圖3（五） 因動點產(chǎn)生的梯形問題例

17、8：已知直線y3x3分別與x軸、y軸交于點A，B，拋物線yax22xc經(jīng)過點A，B（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，點B關于直線l的對稱點為C，若點D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形求點D的坐標；將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點為P，其對稱軸與直線y3x3交于點E，若，求四邊形BDEP的面積圖1 思路點撥1這道題的最大障礙是畫圖，A、B、C、D四個點必須畫準確，其實拋物線不必畫出，畫出對稱軸就可以了2拋物線向右平移，不變的是頂點的縱坐標，不變的是D、P兩點間的垂直距離等于73已知DPE的正切值中的7的幾何意義就是D、P兩

18、點間的垂直距離等于7，那么點P向右平移到直線x3時，就停止平移滿分解答（1）直線y3x3與x軸的交點為A(1，0)，與y軸的交點為B(0,3)將A(1，0)、B(0,3)分別代入yax22xc，得 解得 所以拋物線的表達式為yx22x3對稱軸為直線x1，頂點為(1,4)（2）如圖2，點B關于直線l的對稱點C的坐標為(2,3)因為CD/AB，設直線CD的解析式為y3xb，代入點C(2,3)，可得b3所以點D的坐標為（0，3）過點P作PHy軸，垂足為H，那么PDHDPE由，得而DH7，所以PH3因此點E的坐標為（3，6）所以圖2 圖3考點伸展第（2）用幾何法求點D的坐標更簡便：因為CD/AB，所以

19、CDBABO因此所以BD3BC6，OD3因此D（0，3）例9：已知，矩形OABC在平面直角坐標系中位置如圖1所示，點A的坐標為(4,0)，點C的坐標為，直線與邊BC相交于點D(1)求點D的坐標；(2)拋物線經(jīng)過點A、D、O，求此拋物線的表達式；(3)在這個拋物線上是否存在點M，使O、D、A、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，設交點式比較簡便2過AOD的三個頂點分別畫對邊的平行線與拋物線相交，可以確定存在三個梯形3用拋物線的解析式可以表示點M的坐標滿分解答(1)因為BC/x軸，點D在BC上，C(0,2)

20、，所以點D的縱坐標為2把y2代入，求得x3所以點D的坐標為(3,2)(2)由于拋物線與x軸交于點O、A(4,0)，設拋物線的解析式為yax(x4)，代入D (3,2)，得所求的二次函數(shù)解析式為(3) 設點M的坐標為如圖2，當OM/DA時，作MNx軸，DQx軸，垂足分別為N、Q由tanMONtanDAQ，得因為x0時點M與O重合，因此，解得x7此時點M的坐標為（7，14）如圖3，當AM/OD時，由tanMANtanDOQ，得因為x4時點M與A重合，因此，解得x1此時點M的坐標為如圖4，當DM/OA時，點M與點D關于拋物線的對稱軸對稱，此時點M的坐標為（1，2） 圖2 圖3 圖4（6） 因動點產(chǎn)生

21、的面積問題例10，在平面直角坐標系中，直線與拋物線yax2bx3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3點P是直線AB下方的拋物線上的一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PDAB于點D（1）求a、b及sinACP的值；（2）設點P的橫坐標為m用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；連結(jié)PB，線段PC把PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積比為910？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1第（1）題由于CP/y軸，把ACP轉(zhuǎn)化為它的同位角2第（2）題中，PDPCsinACP，第（1）題已經(jīng)做好了鋪

22、墊3PCD與PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應高DN與BM的比4兩個三角形的面積比為910，要分兩種情況討論滿分解答（1）設直線與y軸交于點E，那么A(2,0)，B(4,3)，E(0,1)在RtAEO中，OA2，OE1，所以所以因為PC/EO，所以ACPAEO因此將A(2,0)、B(4,3)分別代入yax2bx3，得解得，（2）由，得所以所以PD的最大值為（3）當SPCDSPCB910時，；當SPCDSPCB109時，圖2考點伸展第（3）題的思路是：PCD與PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應高DN與BM的比而，BM4m當SPCDSPCB910時，解得當SPCDSPCB1

23、09時，解得（七）因動點產(chǎn)生的相切問題例11，A(5,0)，B(3,0)，點C在y軸的正半軸上，CBO45°，CD/AB，CDA90°點P從點Q(4,0)出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個單位長的速度運動，運動時間為t秒（1）求點C的坐標；（2）當BCP15°時，求t的值；（3）以點P為圓心，PC為半徑的P隨點P的運動而變化，當P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值 圖1答案 （1）點C的坐標為(0,3)（2）如圖2，當P在B的右側(cè)，BCP15°時，PCO30°，；如圖3，當P在B的左側(cè)，BCP15°時，CPO30°，圖2 圖3（3）如圖4，當P與直線BC相切時，