2019年高考數(shù)學一輪復習第7章立體幾何初步第2節(jié)簡單幾何體的表面積與體積學案文北師大版

1、若球為正方體的內切球，則2R=A第二節(jié)簡單幾何體的表面積與體積考綱傳真了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.（對應學生用書第 95 頁）基礎知識填充1. 多面體的表（側）面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積 是側面積與底面面積之和.2. 圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱1圓錐圓臺 If r /側面展開圖-ii11IIJ*1y1I側面積公式S圓柱側=2nrlzyS圓錐側=nrlS圓臺側=n（ri+2）13.柱、錐、臺和球的表面積和體積I、r J、名稱幾何體、表面積體積柱體（棱柱和圓柱）3S表面積=S側+2S底V=Sh錐體（棱錐和圓

2、錐S表面積=S側+S底1V=護臺體（棱臺和圓臺）S表面積=S側+S上+S下V= （S上+S下+、/S上S下）h3球S=4nR43RR知識拓展1.正四面體的表面積與體積棱長為a的正四面體，其表面積為 3a2，體積為#a3.2.幾個與球有關的切、接常用結論（1）正方體的棱長為a,球的半徑為R2若球為正方體的外接球，則2R= .3a；3若球與正方體的各棱相切，則2R= 2A.若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a2+b2+c2.正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3 : 1,基本能力自測答案X（2）x（3）VV（教材改編）已知圓錐的表面積等于12ncm2,其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為（b,

3、c,外接球棱長為a的正四面體，其內切球半徑R內=a,外接球半徑只外=1.（思考辨析）判斷下列結論的正誤.（正確的打“V”，錯誤的打“x”）錐體的體積等于底面面積與高之積.球的體積之比等于半徑比的平方.臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差.已知球O的半徑為R,其內接正方體的邊長為a,則R=2.A.1 cmB. 2 cmC. 3 cmS表= r = 2(cm).2小只2丄小2,nrl= nr+ nr2r=3nr=12n ,r=4,、-知.43.） 九章算術是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題:（2015 全國卷I“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何?墻角處堆放米（如圖

4、 7-2-1，米堆為一個圓錐的四分之一:其意思為：“在屋內米堆底部的弧長為 8 尺，米堆的高為 5 尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？ ”已知尺，圓周率約為 3，估算出堆放的米約有（）1 斛米的體積約為 1.62 立方.(D.3cm圖 7-2-14A. 14 斛C. 36 斛16 11B 設米堆的底面半徑為r尺，則手r= 8，所以r=，所以米堆的體積為Vx-2n4314n長方體的頂點都在球O的球面上,長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑.設球的半徑為R則 2R= 32+ 22+ 12= 14.球O的表面積為S= 4nR= 4n X5. （2017 鄭州質檢）某幾何體的三視圖如圖 7-2-

5、2 所示（單位：cm）,則該幾何體的體積是3_ cm.【導學號：00090233】A ! A( IB. 22 斛D. 66 斛32022（斛）.故選 B.4. （2017 全國卷H）長方體的長、寬、高分別為3,2,1，其頂點都在球O的球面上，則球O7t390（立方尺）.故堆放的米約有5主覘圖左視圖1JIL粗圖圖 7-2-2383323V=V正方體+V四棱錐=8 cm + - cm = cm . 33型分類突破I（對應學生用書第 96 頁）|Hi|_簡單幾何體的表面積昭 （1）某幾何體的三視圖如圖7-2-3 所示，則該幾何體的表面積等于（）323由三視圖可知該幾何體是由棱長2 cm 的正方體與底

6、面為邊長為 2 cm 的正方形、高為 2 cm 的四棱錐組成,6111亠 L7主視圖 左觀圖直角梯形斜腰長為.12+ 12= 2，所以底面周長為 4 + 2，側面積為 4+ 2 .2+ 2+ 2 = 8 +2 2，兩底面的面積和為2X1X(1 + 2) = 3.A. 8 + 2 2圖 7-2-3B. 11+ 2 2C. 14+ 2 21江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖7-2-4 所示，則該幾何體的表面(2018積是(D. 15|5n1、rr !*11h* % H.II* f if_ -區(qū)T2 JI -C. 48+2n(1)B (2)AB. 48 n該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直

7、角梯形， 如圖所示.JF1 / 1LWi/怕視圖左槪圖【導學號：00090234】俯視圖圖7-2-4A. 48 +D. 482n(1)由三視圖知,8所以該幾何體的表面積為8+ 2 2 + 3 = 11 +2 2.(2)該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為 2)，高為 5,2 2半球的半徑是 1,那么該幾何體的表面積為S= 2X2X2 + 2X4X5-nXl+ 2nX1= 48+n，故選 A.規(guī)律方法1.(1)多面體與旋轉體的表面積等于側面面積與底面面積之和.(2)簡單組合體：應搞清各構成部分，并注意重合部分的處理.2 若以三視圖的形式給出，解題的關鍵是對給出的三視圖

8、進行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中 各元素間的位置關系及數(shù)量關系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.變式訓練 1 (1)(2016 全國卷川)如圖 7-2-5，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()9A. 18+36 5C. 90(2016 全國卷I)如圖 7-2-6，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩B. 54 + 18 5D. 81A.17nC. 20nB. 18nD. 28n(1)B (2)A (1)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱,其中有兩個側面為矩形，另兩個側面為平行四邊形，則表面積為 (3X3+ 3X6+ 3X3.

9、5)X2= 54 + 18 5.故(2)由幾何體的三視圖可知，1該幾何體是一個球體去掉上半球的 4,得到的幾何體如圖.設條互相垂直的半徑.(選 B.10球的半徑為R則孑nR一gX石nR=牙冗，解得R=2.因此它的表面積為nR+nR383384=17n.故選 A.簡單幾何體的體積(1)在梯形ABCDK/ABC=,AD/ BC BC= 2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為D. 2n(2017 全國卷H)如圖 7-2-7 ,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何(1)C (2)B 過點C作CE垂直AD所在直線于點E,梯形ABCD AD

10、所在直線旋轉周而形成的旋轉體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐而得到的，如圖所示.由于V圓柱=nABBC=n X12X2= 2n,1212n7tffl目C. 42n則該幾何體的體積為(體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,A.90nB. 63nD. 36n圖 7-2-711V圓錐=n CEDE=3n I X(21)= y,12（2）法一：（割補法）如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個圓柱被截去上面 虛線部分所得.將圓柱補全，并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分. 由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體

11、積加上上部分圓柱體積的2，所以該幾何體的體積V=n X32X4+n X32X6X1=63n.故選 B.12法二：（估值法）由題意，知V圓柱VV幾何體VV圓柱.又V圓柱=n X3 X10= 90n,. 45n VV幾何體V90n.觀察選項可知只有 63n符合.故選 B.規(guī)律方法1.若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解.面積和高易求）、分割法、補形法等方法進行求解.3 .若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.變式訓練 2（1）（2018 唐山模擬）一個幾何體的三視圖如圖 7-2-8 所示，則其體積為所以該幾何體的體積V=V圓柱一V

12、圓7t5nT.2.若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉換法（轉換的原則是使底面13D. 2n +2（2016 天津高考）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖A.C.B. 2n +4147-2-9 所示(單位：m),則該四棱錐的體積為 _吊.【導學號：00090235】(2)由三視圖知，四棱錐的高為3， 底面平行四邊形的一邊長為2,對應高為 1 ,積V=3sh=3x2X1X3=2.多面體與球的切、接問題(2016 全國卷川)在封閉的直三棱柱ABGABC1內有一個體積為V的球.若ABLBC,AB=6,BC=8,AA= 3,貝 UV的最大值是(此時 2r= 4 3，

13、不合題意.3由 2R= 3，即R= .439故球的最大體積V= 3nR=n.(1)A (2)2 該幾何體為組合體，左邊為三棱柱，右邊為半圓柱，其體積1X2X1X2+2n X12x2= 2 +n.故選 A.所以其體IH-A.C.B.D.32n3由AB丄分面相切，若球與三個側面相切，設底面厶+ 8+10) r,貝 Ur= 2.6,BC=8,得AC=10,要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部ABC的內切圓的半徑為r.則x6X8= x(6因此球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大.左視圖1215母題探究 1若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCABC的 6 個頂點都在球O的球面上”，若AB=3,A

14、C= 4,ABLAC AA= 12,求球O的表面積.解 將直三棱柱補形為長方體ABECA BEC,16則球O是長方體ABECABEQ的外接球, 所以體對角線BG的長為球O的直徑.因此 2R=3 + 4 + 12 = 13,故$球=4nR=169n.母題探究 2若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”，若該棱錐的高為 4,底面邊長為 2,求該球的體積.解如圖，設球心為 O,半徑為r,9則在 RtAFC中，(4 r)2+ ( 2)2=r2,解得r=-,434,9 243n則球O的體積V球=nr=-n x =.334y16規(guī)律方法1.與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接.球與旋轉

15、體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切 點” “接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2 .若球面上四點P, A,B, C中PA PB PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可 構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.變式訓練 3 (1)(2015 全國卷n)已知 A,B是球O的球面上兩點，/AOB=90,C為該 球面上的動點若三棱錐OABC體積的最大值為 36,則球O的表面積為()A.36nB. 64nC. 144nD. 256n(2)(2017 全國卷川)已知圓柱的高為 1,它的兩個底面的圓周在直徑為2 的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()【導學號：00090236】(1)C (2)B (