5-5-1質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)_題庫教師版

1、 . . . .本講中的知識(shí)點(diǎn)在小學(xué)課本內(nèi)已經(jīng)有所涉及，并且多以判斷題考察。質(zhì)數(shù)合數(shù)的出現(xiàn)是對(duì)自然數(shù)的另一種分類方式，但是相對(duì)于奇數(shù)偶數(shù)的劃分要復(fù)雜許多。質(zhì)數(shù)本身的無規(guī)律性也是一個(gè)研究質(zhì)數(shù)結(jié)構(gòu)的難點(diǎn)。在奧數(shù)數(shù)論知識(shí)體系中我們要幫助孩子樹立對(duì)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的基本認(rèn)識(shí)，在這個(gè)基礎(chǔ)之上能夠會(huì)與之前的一些知識(shí)點(diǎn)結(jié)合運(yùn)用。分解質(zhì)因數(shù)法是一個(gè)數(shù)論重點(diǎn)方法，本講另一個(gè)授課重點(diǎn)在于讓孩子對(duì)這個(gè)方法能夠熟練并且靈活運(yùn)用。1 質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個(gè)數(shù)除了1 和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素?cái)?shù) ).一個(gè)數(shù)除了1 和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù). 要特別記?。? 和 1 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù). 常用的

2、100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)： 2、 3、5、7、11、13、 17、19、23 、29、31、37 、41、43、47、53、59 、61、67、71 、73、79、83、89、 97，共計(jì) 25 個(gè)；除了2 其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；除了2 和 5，其余的質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是1，3，7 或 9. 考點(diǎn)：值得注意的是很多題都會(huì)以質(zhì)數(shù)2 的特殊性為考點(diǎn). 除了 2 和 5，其余質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是1，3， 7 或 9.這也是很多題解題思路，需要大家注意. 2 質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)質(zhì)因數(shù)：如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù). 互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1 的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù). 分解質(zhì)因數(shù)：把一

3、個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù). 知識(shí)點(diǎn)撥教學(xué)目標(biāo)5-5 質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù) . . . .例如：302 35.其中 2、3、5 叫做 30 的質(zhì)因數(shù) .又如21222323，2、3 都叫做 12 的質(zhì)因數(shù)，其中后一個(gè)式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在求一個(gè)數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)和約數(shù)的和的時(shí)候都要用到這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)式 .分解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因?yàn)檫@樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征. 3 唯一分解定理任何一個(gè)大于1 的自然數(shù)n 都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：312123kaaaaknpppp其中為質(zhì)數(shù)，12kaaa 為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n 的質(zhì)因子分解式. 例如：三個(gè)

4、連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個(gè)數(shù) . 分析：210=2 3 5 7，可知這三個(gè)數(shù)是5、6 和 7.4. 部分特殊數(shù)的分解111 337；10017 11 13；1111141 271；1000173 137；199535 719；199823 33 37；200733223；2008222251；10101 37 13 37. 5. 判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個(gè)小于p 的質(zhì)數(shù) q(均為整數(shù) )，使得 q 能夠整除p，那么 p 就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p 的質(zhì)數(shù)去除p 就可以了；但是這樣的計(jì)算量很大，對(duì)于不太大的p，我們可以先找一個(gè)大于且接近p 的平方數(shù)2k

5、，再列出所有不大于k 的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p，如沒有能夠除盡的那么 p 就為質(zhì)數(shù) . 例如： 149 很接近14412 12，根據(jù)整除的性質(zhì)149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以149 是質(zhì)數(shù). 模塊一、質(zhì)數(shù)合數(shù)的基本概念的應(yīng)用【例 1 】下面是主試委員會(huì)為第六屆“華杯賽”寫的一首詩：美少年華朋會(huì)友，幼長相親同切磋；杯賽聯(lián)誼歡聲響，念一笑慰來者多；九天九霄志凌云，九七共慶手相握；聚起華夏中興力， 同唱移山壯麗歌 請(qǐng)你將詩中56個(gè)字第 1 行左邊第一字起逐行逐字編為156號(hào)，再將號(hào)碼中的質(zhì)數(shù)由小到大找出來，將它們對(duì)應(yīng)的字依次排成一行，組成一句話，請(qǐng)寫出這句話【解析】按要求編號(hào)排序，并

6、畫出質(zhì)數(shù)號(hào)碼：例題精講 . . . .美少年華朋會(huì)友，幼長相親同切磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 杯賽聯(lián)誼歡聲響，念一笑慰來者多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九天九霄志凌云，九七共慶手相握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 將質(zhì)數(shù)對(duì)應(yīng)的漢字依次寫出就是：少年朋友親切聯(lián)歡；一九九七相聚中山【鞏固】( 2008 年南京市青少年“科學(xué)小博士”思維

7、訓(xùn)練) 炎黃驕子菲爾茲獎(jiǎng)被譽(yù)為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)” ， 只獎(jiǎng)勵(lì) 40 歲以下的數(shù)學(xué)家 華人數(shù)學(xué)家丘成桐、 陶哲軒分別于1982 年、 2006 年榮獲此獎(jiǎng) 我們知道正整數(shù)中有無窮多個(gè)質(zhì)數(shù)( 素?cái)?shù) ) ，陶哲軒等證明了這樣一個(gè)關(guān)于質(zhì)數(shù)分布的奇妙定理：對(duì)任何正整數(shù)k，存在無窮多組含有k 個(gè)等間隔質(zhì)數(shù)( 素?cái)?shù) ) 的數(shù)組例如，3k時(shí)， 3，5，7 是間隔為 2 的 3 個(gè)質(zhì)數(shù)； 5， 11，17 是間隔為6 的 3 個(gè)質(zhì)數(shù)：而，是間隔為 12 的 3 個(gè)質(zhì)數(shù) ( 由小到大排列，只寫一組3 個(gè)質(zhì)數(shù)即可 ) 【解析】 最小的質(zhì)數(shù)從2 開始，現(xiàn)要求每兩個(gè)質(zhì)數(shù)間隔12，所以 2 不能在所要求的數(shù)組中而且由于

8、個(gè)位是 5 的質(zhì)數(shù)只有一個(gè)5， 所以個(gè)位是3 的質(zhì)數(shù)不能作為第一個(gè)質(zhì)數(shù)和第二個(gè)質(zhì)數(shù)，可參照下表：【鞏固】( 2003 年“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽) 大約1500 年前，我國偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，計(jì)算出的值在3.1415926 和 3.1415927 之間，成為世界上第一個(gè)把的值精確到7 位小數(shù)的人現(xiàn)代人利用計(jì)算機(jī)已經(jīng)將的值計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后515 億位以上 這些數(shù)排列既無序又無規(guī)律但是細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)： 由左起的第一位3 是質(zhì)數(shù)， 31 也是質(zhì)數(shù)， 但 314 不是質(zhì)數(shù)， 那么在 3141， 31415， 314159，3141592， 31415926，31415927 中，哪些是質(zhì)數(shù)？【解析】 注意到

9、 3141 ，31415 ，3141592 ，31415926 ，31415927依次能被3，5，2，2，31 整除，所以，質(zhì)數(shù)是 314159 【鞏固】( 2004 年全國小學(xué)奧林匹克) 自然數(shù)n是一個(gè)兩位數(shù)，它是一個(gè)質(zhì)數(shù)，而且n的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣的自然數(shù)有多少個(gè)？【解析】 這樣的自然數(shù)有4 個(gè)： 23，37 ，53，73【例 2 】兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和為39，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是多少.【解析】 因?yàn)楹蜑槠鏀?shù)，所以這兩個(gè)數(shù)必為一奇一偶，所以其中一個(gè)是2，另一個(gè)是37，乘積為74. 我們要善于抓住此類題的突破口。【鞏固】如果 a， b 均為質(zhì)數(shù)，且3741ab，則ab_. 【解析】 根

10、 據(jù)題意a,b中必然有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2， ，當(dāng)2a時(shí)，5b，當(dāng)2b時(shí)不符合題意，所以257ab. 【鞏固】a，b，c為 3 個(gè)小于 20 的質(zhì)數(shù)，30abc，求這三個(gè)質(zhì)數(shù). 【解析】 因?yàn)槿齻€(gè)質(zhì)數(shù)之和為偶數(shù)，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)必為兩奇一偶，其中偶數(shù)只能是2，另兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和為28，又因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)都要小于20，所以只能為11和17，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是2，11，17.【鞏固】已知 3 個(gè)不同質(zhì)數(shù)的和是最小的合數(shù)的完全平方，求這3 個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是多少？ . . . .【解析】 最小的合數(shù)是4，其平方為16我們知道奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以這3 個(gè)質(zhì)數(shù)中必然有2，那么其余2 個(gè)的和是14，只能一個(gè)是3 一個(gè)

11、是 11，因此這3 個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是23 1166【鞏固】小晶最近遷居了，小晶驚奇地發(fā)現(xiàn)他們新居的門牌號(hào)碼是四位數(shù)同時(shí)，她感到這個(gè)號(hào)碼很容易記住，因?yàn)樗男问綖閍bba，其中ab，而且ab和ba都是質(zhì)數(shù) ( a 和b是兩個(gè)數(shù)字 ) 具有這種形式的數(shù)共有多少個(gè)？【鞏固】若兩位數(shù) ab、 ba均為質(zhì)數(shù)， 則 a 、b均為奇數(shù)且不為5，故有 1331 ，3113，1771 ，7117 ，7337 ，3773 ，9779 ，7997 共 8 個(gè)數(shù)【例 3 】(“祖沖之杯” 小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽) 九九重陽節(jié)， 一批老人決定分乘若干輛至多可乘32 人的大巴前去參觀兵馬俑如果打算每輛車坐22 個(gè)人，就會(huì)有1 個(gè)人

12、沒有座位；如果少開一輛車，那么，這批老人剛好平均分乘余下的大巴那么有多少個(gè)老人？原有多少輛大巴？【解析】 仍按每車坐22 人計(jì)算，少開一輛車將有23 人無座位，這些人剛好平均分乘余下的車，23 是質(zhì)數(shù)，所以余下23 輛車，原有24 輛車，原有老人222232323529 (個(gè))【鞏固】( 俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克) 萬尼亞想了一個(gè)三位質(zhì)數(shù)，各位數(shù)字都不相同如果個(gè)位數(shù)字等于前兩個(gè)數(shù)字的和，那么這個(gè)數(shù)是幾？【解析】 因?yàn)槭琴|(zhì)數(shù)所以個(gè)位數(shù)不可能為偶數(shù)0，2，4，6，8 也不可能是奇數(shù)5如果末位數(shù)字是3 或 9，那么數(shù)字和就將是3 或 9 的兩倍， 因而能被它們整除，這就不是質(zhì)數(shù)了 所以個(gè)位數(shù)只能是7這個(gè)三

13、位質(zhì)數(shù)可以是167，257，347，527 或 617 中間的任一個(gè)【鞏固】( 第五屆“華杯賽”口試第15 題) 圖中圓圈內(nèi)依次寫出了前25 個(gè)質(zhì)數(shù)； 甲順次計(jì)算相鄰二質(zhì)數(shù)之和填在上行方格中；乙順次計(jì)算相鄰二質(zhì)數(shù)之積填在下行方格中質(zhì)數(shù)列乙填 “ 積數(shù) ”甲填 “ 和數(shù) ”978913117532351561285.問：甲填的數(shù)中有多少個(gè)與乙填的數(shù)相同?為什么 ? 【解析】 質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)2，其余的質(zhì)數(shù)均為奇數(shù)所以甲填的“和數(shù)”中除第一個(gè)是奇數(shù)5 外，其余的均為不小于8 的偶數(shù) 乙填的“積數(shù)”中除第一個(gè)是偶數(shù) 6外，其余所填的全是不小于15 的奇數(shù)所以甲填的數(shù)與乙填的數(shù)都不相同【鞏固】 (

14、全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克) 從 1 9中選出 8個(gè)數(shù)排成一個(gè)圓圈， 使得相鄰的兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)排好后可以從任意兩個(gè)數(shù)字之間切開，按順時(shí)針方向讀這些八位數(shù)，其中可以讀到的最大的數(shù)是多少？【解析】 由于質(zhì)數(shù)除了2 以外都是奇數(shù)，所以數(shù)字在順時(shí)針排列時(shí)應(yīng)是奇偶相間排列切開后的數(shù)仍然具有“相鄰兩數(shù)之和是質(zhì)數(shù)” ，并且最高位與最低位之和也是質(zhì)數(shù)，考慮到“最大”的限制條件，最高位選 9，第二位選8，第三位最大可以選7，但 7 與 8 之和不是質(zhì)數(shù)， 再改選 5，8 與 5 之和是質(zhì)數(shù)，符合要求第四位可選剩余的最大數(shù)字6，如此類推十位可選3，個(gè)位選2所以，可以讀到的最大數(shù)是98567432 數(shù)字排列如下圖347

15、65892【鞏固】( 保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽) 用 l 表示所有被3 除余 1 的全體正整數(shù)如果l 中的數(shù) (1不算 ) 除 1 及它本身以外， 不能被 l 的任何數(shù)整除，稱此數(shù)為 “ l質(zhì)數(shù)”問：第 8 個(gè)“ l質(zhì)數(shù)”是什么？ . . . .【解析】 “ l 數(shù)”為1，4，7，10，13，16 ，19，22 ，25，28，31，34， “ l質(zhì)數(shù)”應(yīng)為上列數(shù)中去掉1，16 ，28，即為4，7， 10，13，19，22，25 ，31，34，所以，第8 個(gè)“ l質(zhì)數(shù)”是31【例 4 】9 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，每個(gè)數(shù)都大于80，那么其中最多有多少個(gè)質(zhì)數(shù)？請(qǐng)列舉和最小的一組【解析】 我們知道任意

16、連續(xù)9 個(gè)自然數(shù)中最多有4 個(gè)質(zhì)數(shù)，本題考察對(duì)100 以外的質(zhì)數(shù)的熟練情況，有101 ，103，107， 109 是 4 個(gè)質(zhì)數(shù)。【鞏固】( 我愛數(shù)學(xué)少年數(shù)學(xué)夏令營) 用 0，1，2，9 這 10 個(gè)數(shù)字組成6 個(gè)質(zhì)數(shù)， 每個(gè)數(shù)字至多用1 次，每個(gè)質(zhì)數(shù)都不大于500，那么共有多少種不同的組成6 個(gè)質(zhì)數(shù)的方法請(qǐng)將所有方法都列出來【解析】 除了 2 以外，質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，因?yàn)?9 中只有 5 個(gè)奇數(shù)，所以如果想組成6 個(gè)質(zhì)數(shù)，則其中一定有 2又尾數(shù)為 5 的數(shù)中只有5 是質(zhì)數(shù)，所以5 只能單獨(dú)作為6 個(gè)質(zhì)數(shù)中的一個(gè)數(shù)另4 個(gè)質(zhì)數(shù)分別以1，3，7，9 為個(gè)位數(shù)，從而列舉如下：2，3，5，7，41， 8

17、9，2， 3，5，7，61，89 ，2，3，5，7， 89，401 ，2， 3，5，7，89，461 ，2，3，5， 7，61 ，409，2，3，5，47 ，61，89 ，2，3，5，41，67， 89，2，3，5，67， 89，401，2， 5，7，43， 61，89 ，2，5，7，61， 83，409即共有10 種不同的方法【鞏固】從小到大寫出5 個(gè)質(zhì)數(shù)，使后面數(shù)都比前面的數(shù)大12. 這樣的數(shù)有幾組？【解析】 考慮到質(zhì)數(shù)中除了2 以外其余都是奇數(shù)，因此這5 個(gè)質(zhì)數(shù)中不可能有2；又質(zhì)數(shù)中除了2 和 5，其余質(zhì)數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是1、3、7、 9.若這 5 個(gè)質(zhì)數(shù)中最小的數(shù)其個(gè)位數(shù)字為1，則比它

18、大24的數(shù)個(gè)位即為5，不可能是質(zhì)數(shù)；若最小的數(shù)其個(gè)位數(shù)字為3，則比它大12 的數(shù)個(gè)位即為5，也不可能為質(zhì)數(shù)；由此可知最小的數(shù)其個(gè)位數(shù)字也不可能是7 和 9，因此最小的數(shù)只能是5，這 5個(gè)數(shù)依次是5，17， 29，41，53.這樣的數(shù)只有一組. 【例 5 】用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 這 9 個(gè)數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個(gè)數(shù)字都要用到并且只能用一次，那么這 9 個(gè)數(shù)字最多能組成多少個(gè)質(zhì)數(shù).【解析】 要使質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)最多，我們盡量組成一位的質(zhì)數(shù)，有2、3、5、7 均為一位質(zhì)數(shù)，這樣還剩下1、4、6、8、9 這 5 個(gè)不是質(zhì)數(shù)的數(shù)字未用有1、4、8、9 可以組成質(zhì)數(shù)41 、89，而 6 可以與 7

19、 組合成質(zhì)數(shù) 67所以這9 個(gè)數(shù)字最多可以組成6 個(gè)質(zhì)數(shù)?！眷柟獭坑腥龔埧ㄆ?，它們上面各寫著數(shù)字1，2，3，從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列出來，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請(qǐng)你將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來. 【解析】 抽一張卡片，可寫出一位數(shù)1，2，3；抽兩張卡片，可寫出兩位數(shù)12，13， 21，23，31 ，32；抽三張卡片，可寫出三位數(shù)123，132，213，231，312，321，其中三位數(shù)的數(shù)字和均為6，都能被 3 整除，所以都是合數(shù).這些數(shù)中，是質(zhì)數(shù)的有：2，3， 13，23， 31. 【鞏固】某質(zhì)數(shù)加 6 或減 6 得到的數(shù)仍是質(zhì)數(shù)，在50 以內(nèi)你能找出幾個(gè)這樣的質(zhì)數(shù)？

20、把它們寫出來. 【解析】 有六個(gè)這樣的數(shù)，分別是11， 13，17，23 ，37，47. 【例 6 】7 個(gè)連續(xù)質(zhì)數(shù)從大到小排列是a、b、c、d、e、f 、g 已知它們的和是偶數(shù)，那么d 是多少？【解析】 因?yàn)?7 個(gè)質(zhì)數(shù)的和是偶數(shù)，所以這 7 個(gè)質(zhì)數(shù)不可能都是奇數(shù).我們知道是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2，因此這 7 個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)是2.又因?yàn)?2 是最小的質(zhì)數(shù)， 并且這 7 個(gè)連續(xù)質(zhì)數(shù)是從大到小排列的，所以2g.其他 6 個(gè)數(shù)從大到小依次是17、13、 11、7、5、3.這樣7d. 【鞏固】從20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)中選出6個(gè)，然后把這6個(gè)數(shù)分別寫在正方體木塊的6個(gè)面上，并且使得相對(duì)兩個(gè)面的數(shù)的和都相等.將這樣

21、的三個(gè)木塊擲在地上，向上的三個(gè)面的三個(gè)數(shù)之和可能有多少種不同的值？【解析】小于20的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，其中51971711 13.每個(gè)木塊擲在地 上 后 向 上 的 數(shù) 可 能 是 六 個(gè) 數(shù) 中 的 任 何 一 個(gè) ， 三 個(gè) 數(shù) 的 和 最 小 是55515， 最 大 是19191957， 經(jīng)試驗(yàn)，三個(gè)數(shù)的和可以是從15到57的所有奇數(shù)， 所有可能的不同值共有22個(gè)?！眷柟獭繉藗€(gè)不同的合數(shù)填入下面的括號(hào)中，如果要求相加的兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，那么a最小是幾？a=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（） +（）【解析】首先列出前幾個(gè)合數(shù)4，6，8，9，10，12，14，

22、15，16，18，20，21，22，24 ，25，26，27 ， . . . .28 ， 因?yàn)橄嗉拥暮蠑?shù)互質(zhì)，所以不能同時(shí)為偶數(shù)，要想 a 盡量小， 這兩個(gè)數(shù)也不能都同時(shí)為奇數(shù)，因 為 奇 合 數(shù) 比 較 少 ， 找 出8個(gè) 來 必 然 很 大 。 所 以 應(yīng) 該 是 一 奇 一 偶 ， 經(jīng) 試 驗(yàn) 得a=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即 a 的最小值為29。大部分的題考的都是質(zhì)數(shù)，此題考合數(shù)，重在強(qiáng)化合數(shù)以及互質(zhì)的概念。【鞏固】4 只同樣的瓶子內(nèi)分別裝有一定數(shù)量的油每瓶和其他各瓶分別合稱一次，記錄千克數(shù)如下：8，9，10，11，12，13已知4 只空瓶的重量之和以及油的重量

23、之和均為質(zhì)數(shù)，求最重的兩瓶內(nèi)有多少油？【解析】由于每只瓶都稱了三次，因此記錄數(shù)據(jù)之和是4瓶油 (連瓶 ) 重量之和的3倍，即4瓶油 ( 連瓶 ) 共重(891011 1213)321( 千克 ) 而油重之和及瓶重之和均為質(zhì)數(shù)，所以它們必為一奇一偶，由于2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，只有兩種可能：油重之和為19千克，瓶重之和為2千克，每只瓶重12千克，最重的兩瓶內(nèi)的油為1132122( 千克 ) 油重之和為2千克，瓶重之和為19千克，每只瓶重194千克， 最重的兩瓶內(nèi)的油為19713242( 千克 ) ，這與油重之和2千克矛盾 因此最重的兩瓶內(nèi)共有12千克油?！纠?7 】 將 60 拆成 10 個(gè)質(zhì)數(shù)之和，

24、要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能小，那么其中最大的質(zhì)數(shù)是多少【解析】 最大的質(zhì)數(shù)必大于5，否則 10 個(gè)質(zhì)數(shù)之和將不大于50，又 60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即 8 個(gè)7 與 2 個(gè) 2 的和為 60，故其中最大的質(zhì)數(shù)是7【鞏固】將 50 分拆成 10 個(gè)質(zhì)數(shù)的和，要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，則這個(gè)最大的質(zhì)數(shù)是多少？【解析】 若要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，則其余9 個(gè)質(zhì)數(shù)應(yīng)盡可能小，最佳的方案是9 個(gè) 2。但是此時(shí)剩余的數(shù)為 32，不是質(zhì)數(shù)，所以退而求其次，另其余9 個(gè)數(shù)為 8 個(gè) 2，1 個(gè) 3，那么第10 個(gè)數(shù)為 31 【鞏固】將 37 拆成若干個(gè)不同的質(zhì)數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一

25、種拆法中拆出的那些質(zhì)數(shù)相乘，得到的乘積中，哪個(gè)最?。俊窘馕觥?枚舉法：有些學(xué)生會(huì)問，老師：什么時(shí)候用枚舉法？1.數(shù)不大，種類比較少2.沒有規(guī)律，不能用排列組合等方法3.能有方法做的時(shí)候建議不采用枚舉的方法37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19 7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17 共有 10 種不同的拆法，其中3 5 29=435 最小【鞏固】如果一個(gè)數(shù)不能表示為三個(gè)不同合數(shù)的和，那么我們稱這樣的數(shù)為智康數(shù)，那么最大的智康數(shù)是幾？【解析】 首先我們可以分析出大多數(shù)自然數(shù)都是智康數(shù)，所以核心的

26、思想是找到智康數(shù)與其他自然數(shù)的“分界線” 。我們知道最小的三個(gè)不同合數(shù)是4,6,8 ，它們的和是18, 則比 18 小的數(shù)一定都不是智康數(shù)，而比 18 大的數(shù)中，我們可以分為與18 的差是“奇數(shù)”或者是“偶數(shù)”。如果與 18 的差是偶數(shù)，那么這類自然數(shù)一定不是智康數(shù)，可以寫作4+6+(8+2n), 如果與18 的差是一個(gè)奇數(shù)，那么可以寫作4+(6+2n)+(8+1)也不是一個(gè)智康數(shù)，所以最大的智康數(shù)為17 。模塊二、分解質(zhì)因數(shù)【例 8 】兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積是111555，這兩個(gè)奇數(shù)之和是多少? 【解析】111555分解質(zhì)因數(shù)： 1115553353767(3 337)(567)333 335，

27、 所以和為668.本講不僅要求學(xué)生熟練掌握分解質(zhì)因數(shù)，而且要注意一些技巧，例如本題中的111337。 . . . .【鞏固】三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個(gè)數(shù)是多少？【解析】210分解質(zhì)因數(shù)：21023 57，可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7?！眷柟獭堪?26，33，34， 35，63，85， 91，143 分成若干組，要求每組中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么至少要分幾組.【解析】 要保證每組中的任意2 個(gè)數(shù)均互質(zhì)，需要每組中的每個(gè)數(shù)字都有獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)才能實(shí)現(xiàn)?？梢詫?duì)以上每個(gè)數(shù)字進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)，容易得出最少分3 組. 【鞏固】把 40，44，45， 63，65，78， 99，105 這八個(gè)數(shù)平

28、分成兩組，使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等?！窘馕觥?4025 ，244211 ，24553 ，26373 ，65513，7823 13，299311 ，10535 7，要使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等，需要每組含有相同的質(zhì)因數(shù)，看質(zhì)因數(shù)2，第一組含有 40，第二組含有44，78 ，再看 11,13 ，第一組應(yīng)有40，99，65，再看 5 第二組應(yīng)有44，78 ，45 ，105，最后看7，第一組應(yīng)有40 ，99，65， 63【例 9 】4 個(gè)一位數(shù)的乘積是360，并且其中只有一個(gè)是合數(shù)，那么在這4 個(gè)數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最大的一個(gè)是多少？【解析】 將 360 分解質(zhì)因數(shù)得3602223 35，它是6 個(gè)質(zhì)因數(shù)

29、的乘積.因?yàn)轭}述的四個(gè)數(shù)中只有一個(gè)是合數(shù)，所有該合數(shù)必至少為633個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，又只有3 個(gè) 2 相乘才能是一位數(shù)，所以這 4 個(gè)乘數(shù)分別為3，3， 5，8，所組成的最大四位數(shù)是8533. 【鞏固】將 1 9 九個(gè)自然數(shù)分成三組，每組三個(gè)數(shù). 第一組三個(gè)數(shù)的乘積是48，第二組三個(gè)數(shù)的乘積是45，第三組三個(gè)數(shù)字之和最大是多少？【解析】 分解質(zhì)因數(shù)453 3 5，4822223，可知 45 只能是 1，5，9 的乘積，而48 可能是 2，4，6 或 2，3，8 或 1，6，8(舍去 )，則第三組的三個(gè)數(shù)可能是3，7，8 或 4，6，7，其中和最大的是37818. 【例 10 】 在面前有一個(gè)長方體

30、，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長方體的體積是多少? 【解析】如下圖，設(shè)長、寬、高依次為a、b、 c，有正面和上面的和為ac+ab=209 ac+ab=a (c+b)=209 ，而 209=11 19當(dāng) a=11 時(shí)， c+b=19 ，當(dāng)兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和為奇數(shù)，則其中必定有一個(gè)數(shù)為偶質(zhì)數(shù)2，則 c+b=2+17; 當(dāng) a=19 時(shí)， c+b=11 ，則 c+b=2+9 ，b 為 9 不是質(zhì)數(shù)，所以不滿足題意 . . . .所以它們的乘積為11217=374 【鞏固】一個(gè)長方體的長、寬、高是連續(xù)的3 個(gè)自然數(shù)，它的體積是39270 立方厘米，那么這個(gè)長方體的表

31、面積是多少平方厘米? 【解析】 39270=2 35 71117，為三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，而 343434 最接近 39270 ，39270的約數(shù)中接近或等于34 的有 35、34 、33，有 3334 35=39270 所以 33、34、35 為滿足題意的長、寬、高則長方體的表面積為：2(長 寬+寬高+高長)=2(3334+34 35+35 33)=6934( 平方厘米 )方法二： 39270=2 3571117，為三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，考慮質(zhì)因數(shù)17，如果 17 作為長、 寬或高顯然不滿足當(dāng) 17 與 2 結(jié)合即 34 作為長方體一條邊的長度時(shí)有可能成立，再考慮質(zhì)因數(shù) 7，與 34 接近的

32、數(shù)3236 中，只有35 含有 7，于是 7 與 5 的乘積作為長方體的一條邊的長度而39270 的質(zhì)因數(shù)中只剩下了3 和 1l，所以這個(gè)長方體的大小為333435 長方體的表面積為2(3927033+3927034+3927035)=2(1190+1155+1122)=23467=6934( 平方厘米 )【鞏固】一個(gè)長方體的長、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是1998 立方厘米，那么它的長、寬、高的和的最小可能值是多少厘米? 【解析】 我們知道任意個(gè)已確定個(gè)數(shù)的數(shù)的乘積一定時(shí)，它們相互越接近，和越小如3 個(gè)數(shù)的積為18 ，則三個(gè)數(shù)為2、3、3 時(shí)和最小，為81998=2 33337，37 是質(zhì)

33、數(shù)，不能再分解，所以233 3 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)應(yīng)越接近越好有2333=6 9 時(shí)，即 1998=6 937 時(shí)，這三個(gè)自然數(shù)最接近它們的和為6+9+37=52( 厘米 )【例 11 】 （老師可以先引入： 小明一家四兄弟， 大哥叫大毛， 二哥叫二毛， 三哥叫三毛， 那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四個(gè)人， 他們的年齡一個(gè)比一個(gè)大2歲，他們四個(gè)人年齡的乘積是48384。問他們四個(gè)人的年齡各是幾歲？【解析】 題中告訴我們，48384是四個(gè)人年齡的乘積，只要我們把48384分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2來分成四個(gè)數(shù)相乘，這四個(gè)數(shù)就是四個(gè)人的年齡了。483842833 7(223)(27)24(23

34、2)12 14 16 18， 由此得出這四個(gè)人的年齡分別是 12 歲、14 歲、16 歲、18 歲。由題意可知，這四個(gè)數(shù)是相差2 的四個(gè)整數(shù)。它們的積是偶數(shù)，當(dāng)然這四個(gè)數(shù)不是奇數(shù)，一定是偶數(shù)。又因?yàn)?8384的個(gè)位數(shù)字不是0，顯然這四個(gè)數(shù)中，沒有個(gè)位數(shù)字是0 的， 那么這四個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是2、 4、 6、 8。 又因?yàn)?1048384 ， 而44 8 3 8 4 2 0，所以可以斷定，這四個(gè)數(shù)一定是12、14、16、18 。也就是說，這四個(gè)人的年齡分別是12 歲、14 . . . .歲、 16 歲、 18 歲。答：這四個(gè)人的年齡分別是12 歲、 14 歲、 16 歲、 18 歲?！眷柟獭考?/p>

35、乙兩人的年齡和為一個(gè)質(zhì)數(shù)，這個(gè)數(shù)的個(gè)位與十位數(shù)字的和是13，甲比乙大13 歲，那么乙今年多大？【解析】 個(gè)位與十位數(shù)字之和為13，那么這樣的質(zhì)數(shù)在兩位數(shù)中只有67，三位數(shù)中為167，再繼續(xù)則不符合常理， 所以甲乙年齡有可能分別為40,27 歲，或者 90，77 歲，所以乙的年齡可能為27 歲或77 歲?！纠?1 】甲數(shù)比乙數(shù)大5，乙數(shù)比丙數(shù)大5，三個(gè)數(shù)的乘積是6384，求這三個(gè)數(shù)？【解析】將6384分解質(zhì)因數(shù)，63842222 37 19，則其中必有一個(gè)數(shù)是19或19的倍數(shù)； 經(jīng)試算，1951427，195242223，恰好14 19246384，所以這三個(gè)數(shù)即為14，19，24. 一般象這種

36、類型的題，都是從最大的那個(gè)質(zhì)因數(shù)去分析. 如果這道題里19不符合要求，下一個(gè)該考慮38，再下一個(gè)該考慮57，依此類推【鞏固】如果兩數(shù)的和是64，兩數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個(gè)數(shù)的差等于多少？【解析】4875=3 5 5 5 13，有 a b 為 4875 的約數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)的和為64發(fā)現(xiàn) 39=3 13、25=5 5這兩個(gè)數(shù)的和為64，所以 39、25 為滿足題意的兩個(gè)數(shù)那么它們的差為39-25=14 。【鞏固】四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是3024，這四個(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè)是多少？【解析】分解質(zhì)因數(shù)433024237 ，考慮其中最大的質(zhì)因數(shù)7，說明這四個(gè)自然數(shù)中必定有一個(gè)是7 的倍數(shù) .若為

37、7，因 3024 不含有質(zhì)因數(shù)5，那么這四個(gè)自然數(shù)可能是6、7、8、9 或 7、8、9、10(10仍含有 5，不行 )，經(jīng)檢驗(yàn) 6、7、8、9 恰符合 . 【鞏固】2004 720的計(jì)算結(jié)果能夠整除三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和最小是多少？【解析】首先分解質(zhì)因數(shù)，2004 72022223 57 167，其中最大的質(zhì)因數(shù)是167 ，所以所要求 的 三 個(gè) 連 續(xù) 自 然 數(shù) 中 必 定 有167本 身 或 者 其 倍 數(shù) .16535 1，166283，16822237，16913 13，所以165 166 167，166 167 168，167 168 169都沒有 4個(gè) 2，不

38、滿足題意 .說明 167 不可行 .嘗試3341672，3355 67，33622223 7，334 335 3362222235767 167，包括了2004 720中的所有質(zhì)因數(shù)，所以這組符合題意，以此三數(shù)之和最小為1005. 【鞏固】三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11 倍，求這三個(gè)質(zhì)數(shù). 【解析】設(shè)這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是a 、b、 c ，滿足11abcabc()，則可知 a、b、 c 中必有一個(gè)為11，不 . . . .妨記為 a， 那么11bcbc， 整理得 (1b)(1c)12， 又1 2 1 1 2 2 6 3 4， 對(duì)應(yīng)的2b、13c或3b、7c或4b、5c(舍去 )，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)可

39、能是2，11，13 或 3，7，11. 【鞏固】三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7 倍，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)【解析】設(shè)這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是a 、b、 c ，滿足7()abcabc ，則可知 a 、b、 c 中必有一個(gè)為7，不妨記為 a，那么7bcbc，整理得 (1)(1)8bc，又8 1 82 4，對(duì)應(yīng)的b2、 c9(舍去)或b3、 c5，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)可能是3，5，7 【例 2 】3個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是16611986，則這3個(gè)質(zhì)數(shù)之和為多少【解析】設(shè)這3個(gè)質(zhì)數(shù)從小到大為a 、b、 c ，它們的倒數(shù)分別為1a、1b、1c，計(jì)算它們的和時(shí)需通分，且通分后的分母為abc，求和得到的分?jǐn)?shù)為fabc,如果這個(gè)分?jǐn)?shù)

40、能夠約分，那么得到的分?jǐn)?shù)的分母為 a、b、c 或它們之間的積. 現(xiàn)在和為16611986， 分母198623 331， 所以一定是2a，3b，331c，檢驗(yàn)滿足 . 所以這3個(gè)質(zhì)數(shù)的和為23331336【鞏固】有一種最簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是140如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？【解析】有 140=2 2 5 7，要保證分?jǐn)?shù)最簡即要讓分子與分母是互質(zhì)的，那么兩個(gè)質(zhì)因數(shù)2 必須同時(shí)位于分子或者同時(shí)位于分母的位置上。這樣由小到大的最簡分?jǐn)?shù)依次是112245577,2257140 5735 22728 22520，倒數(shù)第三小的是528。【鞏固】一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母是90

41、1，分子是一個(gè)質(zhì)數(shù)現(xiàn)在有下面兩種方法：分子和分母各加一個(gè)相同的一位數(shù)；分子和分母各減一個(gè)相同的一位數(shù)用其中一種方法組成一個(gè)新分?jǐn)?shù)，新分?jǐn)?shù)約分后是713那么原來分?jǐn)?shù)的分子是多少【解析】因?yàn)樾路謹(jǐn)?shù)約分后分母是13，而原分母為901，由于901 13694，所以分母是加上9或者減去4若是前者則原來分?jǐn)?shù)分子為7709481，但481 13 37，不是質(zhì)數(shù)；若是后者則原來分?jǐn)?shù)分子是6974487，而487是質(zhì)數(shù)所以原來分?jǐn)?shù)分子為487【例 3 】在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時(shí)，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字5 看成8，由此得乘積為1872那么原來的乘積是多少?【解析】1872=2 2223313=口口 口口

42、，其中某個(gè)口為8，一一驗(yàn)證只有：1872=48 39，1872=78 24 滿足當(dāng)為1872=48 39 時(shí)，小馬虎錯(cuò)把5 看成 8，也就是錯(cuò)把45 看成 48，所以正確的乘積應(yīng)該是4539=1755 當(dāng)為 1872=78 24 時(shí)，小馬虎錯(cuò)把5 看成 8，也就是錯(cuò)把75 看成 78 ，所以正確的乘積應(yīng)該是7524=1800 所以原來的積為1755 或 1800 【鞏固】某校師生為貧困地區(qū)捐款1995 元這個(gè)學(xué)校共有35 名教師， 14 個(gè)教學(xué)班各班學(xué)生人數(shù)相同 . . . .且多于 30 人不超過45 人如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元? 【解析】這個(gè)學(xué)校最少有35+14

43、 30=455 名師生， 最多有 35+14 45=665 名師生， 并且?guī)熒側(cè)藬?shù)能整除 1995 1995=3 5133，在 455665 之間的約數(shù)只有5133=665 ，所以師生總數(shù)為665人，則平均每人捐款1995 665=3 元【例 4 】在射箭運(yùn)動(dòng)中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”( 脫靶 )，或者是不超過10 的自然數(shù)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射了5 箭，每人5 箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4 環(huán)求甲、乙的總環(huán)數(shù)各是多少？【解析】應(yīng)對(duì)應(yīng)為 5 個(gè)小于 10 的自然數(shù)乘積通常我們會(huì)考慮將1764 的 6 個(gè)質(zhì)因數(shù)組合為5 個(gè)因數(shù)，從而這 5 個(gè)因數(shù)一定都是大于1 的

44、，于是得到了如下幾種分解情況1764=4 3 3 7 7 =2 6 3 7 7=2 2 9 7 7 但是發(fā)現(xiàn)其中任何兩組的和的差均不是4.原因是我們忽略了在題目敘述實(shí)際環(huán)境中還會(huì)有1 環(huán)存在，從而要考慮含有因數(shù)1 的另外 2 種情況 1784=1 6 6 7 7=1 4 9 7 7 所以總的情況對(duì)應(yīng)的和依次為4+3+3+7+7=24， 2+6+3+7+7=25， 2+2+9+7+7=27， 1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28對(duì)應(yīng)的和中只有24， 28 相差 4，所以甲的5 箭環(huán)數(shù)為4、3、3、 7、7，乙的 5箭環(huán)數(shù)為1、4、9、 7、7所以甲的總環(huán)數(shù)為24，乙的總環(huán)數(shù)為28。

45、【鞏固】已知 5 個(gè)人都屬牛，它們年齡的乘積是589225，那么他們年齡的和為多少？【解析】基本思路與上題一樣，重點(diǎn)還是在“1”這個(gè)因數(shù)的使用上，所以分解因數(shù)得到589225 1 1325 3749，五個(gè)人的年齡和為125 歲。模塊三、質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合型題目【例 5 】p是質(zhì)數(shù)，10p，14p，210p都是質(zhì)數(shù)求p是多少？【解析】由題意知p是一個(gè)奇數(shù)，因?yàn)?0331，14342，所以p是 3 的倍數(shù)，所以3p【鞏固】已知p是質(zhì)數(shù)，21p也是質(zhì)數(shù)，求51997p是多少？【解析】p是質(zhì)數(shù)，2p 必定是合數(shù)，而且大于1又由于21p是質(zhì)數(shù)，2p 大于 1，21p一定是奇質(zhì)數(shù)，則2p 一定是偶數(shù)所以p必定是

46、偶質(zhì)數(shù)，即2p55199721997p3219972029【例6】有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)之和的形式，并且在不計(jì)加數(shù)順序的情況下，這樣的表示方法至少有13 種。那么所有這樣的自然數(shù)中最小的一個(gè)是多少【解析】根據(jù)題意在不計(jì)加數(shù)順序的情況下一個(gè)自然數(shù)能有13 種表示成一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)和的形式，說明這個(gè)自然數(shù)一定比從2 開始的第13 個(gè)質(zhì)數(shù)要大。 從 2 開始數(shù)的 13 個(gè)質(zhì)數(shù)分別是： 2，3，5，7，11，13 ，17，19， 23，29，31 ，37，41。那么這個(gè)數(shù)一定要比41 大，為了滿足這個(gè)自然數(shù) . . . .能夠分別寫成上面質(zhì)數(shù)與另一個(gè)合數(shù)的和的形式，所求自然數(shù)只要是個(gè)奇

47、數(shù)即可，這樣這個(gè)奇數(shù)與從 3 開始的質(zhì)數(shù)的差只要都是一個(gè)大于2 的偶數(shù)即可滿足條件?！眷柟獭咳绻恍┎煌|(zhì)數(shù)的平均數(shù)是21，那么這些質(zhì)數(shù)中最大的一個(gè)可能是多少？【解析】如果想使得這些質(zhì)數(shù)中最大的一個(gè)盡可能大，那么一定要求這些質(zhì)數(shù)在滿足平均數(shù)為21 的條件下數(shù)量盡可能多，且比21 大的質(zhì)數(shù)只能有一個(gè)。21 以下的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13 ，17，19 ， 則 說 明 這 些 質(zhì) 數(shù) 最 多 可 能 有8+1=9個(gè) ， 則 大 于21的 那 個(gè) 數(shù) 為21+19+18+16+14+10+8+4+2=112 ，但 112 不是質(zhì)數(shù)。分析原因，發(fā)現(xiàn)在上面算式中有一個(gè)除了 21 以外的奇數(shù)19

48、，使得結(jié)果為偶數(shù)，說明在原來的一組質(zhì)數(shù)中不能有2，否則無法使得比21大的數(shù)是質(zhì)數(shù)。去掉2 再次求和為112-19=93 ，仍然不是質(zhì)數(shù)，則可以做微調(diào)93-4=89 ，即在原來的一組質(zhì)數(shù)中再去掉一個(gè)17 即可，這組數(shù)為3，5，7， 11，13，19 ，89，最大的一個(gè)是89 ?！眷柟獭壳?1-100 中不能表示成兩個(gè)合數(shù)的乘積再加一個(gè)合數(shù)的最大數(shù)是多少？【解析】考慮最小的合數(shù)是4，先把表示方法簡化為4合數(shù)合數(shù)而合數(shù)最簡單的表現(xiàn)形式就是大于等于 4 的偶數(shù)因此該表示方法進(jìn)一步表示為4(2n)合數(shù)即8n合數(shù) (其中 n1 即可 ) 當(dāng)該數(shù)被 8 整除時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)8 ，n1,所以大于等于

49、24 的 8 的倍數(shù)都可表示當(dāng)該數(shù)被 8 除余 1 時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)9，n 1,所以大于等于25 的被 8 除余 1 都可表示當(dāng)該數(shù)被 8 除余 2 時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)10，n1,所以大于等于26 的被 8 除余 2 的都可表示當(dāng)該數(shù)被 8 除余 3 時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)27，n1,所以大于等于43 的被 8 除余 3 的都可表示當(dāng)該數(shù)被 8 除余 4 時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)4，所以大于等于20 的被 8 除余 4 的都可表示當(dāng)該數(shù)被 8 除余 5 時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)21，所以大于等于37 的被 8 除余 5 的都可表示當(dāng)該數(shù)被 8 除余 6 時(shí)，該數(shù)可表示

50、為4(2n)6，所以大于等于22 的被 8 除余 6 的都可表示當(dāng)該數(shù)被 8 除余 7 時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)15，所以大于等于31 的被 8 除余 7 的都可表示綜上所述，不能表示的最大的數(shù)是43835經(jīng)檢驗(yàn)， 35 的確無論如何也不能表示成合數(shù)合數(shù)合數(shù)的形式，因此我們所求的最大的數(shù)就是35 【例 7 】已知 p,q 都是質(zhì)數(shù)，并且11932003pq，則 pq = . . . .【解析】本題充分考察質(zhì)數(shù)與數(shù)字奇偶性知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合。通過觀察發(fā)現(xiàn)題目中有2 個(gè)未知數(shù)，但是都是質(zhì)數(shù)，從結(jié)果上看2003 是一個(gè)奇數(shù)， 那么前面2 個(gè)乘積必須為1 個(gè)奇數(shù) 1 個(gè)偶數(shù)， 那么 p 和 q 中必須有一

51、個(gè)是2 才可以。由大小關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)只能q 是 2，解出 p=199,p q=398 ?！眷柟獭繉?1 到 9 這 9 個(gè)數(shù)字在算式1的每一個(gè)括號(hào)內(nèi)各填入一個(gè)數(shù)字，使得算式成立，并且要求所填每一個(gè)括號(hào)內(nèi)數(shù)字均為質(zhì)數(shù)? 【解析】本 題中括號(hào)內(nèi)所填的數(shù)字要求為個(gè)位質(zhì)數(shù)，那么只能是2， 3， 5， 7.將原始代入字母分析有1bdcbadacacac，即有1cbad，那么很容易發(fā)現(xiàn)只有3 5-2 7=1 。符合原式的填法為3217535。【鞏固】三個(gè)質(zhì)數(shù)、，如果1，那么是多少？【解析】除了 2 以外的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，這樣的兩個(gè)奇數(shù)相加必然得偶數(shù)不成立，所以、必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2，又因?yàn)?1，所以2 【例 8

52、】有兩個(gè)整數(shù)，它們的和恰好是兩個(gè)數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù). 求這兩個(gè)整數(shù)分別是多少？【解析】兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22 、33、44、 55、66、77 、88、99 共九個(gè)，它們中的每個(gè)數(shù)都可以表示成兩個(gè)整數(shù)相加的形式，例如331322313301617，共有 16種形式，如果把每個(gè)數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個(gè)數(shù)的乘積是三個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了 .可以從乘積入手，因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)有111 、222 、333、444 、555、666、777 、888、999，每個(gè)數(shù)都是111 的倍數(shù)，而11137 3，因此把這九個(gè)數(shù)表示成一個(gè)兩位

53、數(shù)與一個(gè)一位數(shù)或兩個(gè)兩位數(shù)相乘時(shí)，必有一個(gè)因數(shù)是37 或 37 的倍數(shù)， 但只能是 37 的 2 倍 (想想為什么？ )3 倍就不是兩位數(shù)了. 把九個(gè)三位數(shù)分解：111373、222376743、333379、44437 12746、55537 15、66637 1874 9、7773721、888372474 12、9993727. 把兩個(gè)因數(shù)相加，只有(743)77和 (3718)55的兩位數(shù)字相同.所以滿足題意的答案是74和 3， 37 和 18. 【鞏固】兩個(gè)學(xué)生抄寫同一個(gè)乘法算式，兩個(gè)乘數(shù)都是兩位數(shù)，他們各抄錯(cuò)了一個(gè)數(shù)字，于是得到兩個(gè)不 . . . .同的算式，但巧合的是，他們計(jì)算的

54、結(jié)果都是936. 如果正確的乘積不能被6 整除，那么它等于多少？【解析】注意 936 中有質(zhì)因數(shù)13，故易見將其分解成兩個(gè)兩位數(shù)相乘的形式有13 72，2636，3924，52 18，78 12這 5 種可能，由于兩人各抄錯(cuò)了一個(gè)數(shù)字，因此兩人的算式中應(yīng)有兩個(gè)位置上的數(shù)字相同 .經(jīng)枚舉可知， 他們所抄錯(cuò)的算式可能是(13 72，18 52)，(13 72，12 78)，(26 36，2439)或(52 18，12 78).對(duì)于第一種情況，兩人抄錯(cuò)的是第一個(gè)乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字和第二個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字，正確的算式應(yīng)是13 52或1872，后者乘積是6 的倍數(shù)，與題意不符，故原算式應(yīng)為前者，正確的乘法算式是1352676.對(duì)后三種情況作類似分析，可得出2 36種可能的原乘法算式，但它們的結(jié)果都是6 的倍數(shù)，不合題意.因此 676 即為所求 . 【例 12 】 如果某整數(shù)同時(shí)具備如下三條性質(zhì)： 這個(gè)數(shù)與1 的差是質(zhì)數(shù)， 這個(gè)數(shù)除以2 所得的商也是質(zhì)數(shù)，這個(gè)數(shù)除以9 所得的余數(shù)是5，那么我們稱這個(gè)整數(shù)為幸運(yùn)數(shù)。求出所有的兩位幸運(yùn)數(shù)【解析】 由條件可知，所求的數(shù)是偶數(shù)，因此可設(shè)所求的幸運(yùn)數(shù)是質(zhì)數(shù)p的兩倍，即此幸運(yùn)數(shù)為2p，則p的所有可能取值為5，7，11，13，17，19 ，23，2