2020年全國高考數(shù)學理科卷III第12題及其拓展一至四

1、2020年全國數(shù)學高考理科卷III第12題及其拓展一至四解析學海拾貝內(nèi)容簡介：本文將第12題拓展為與等比數(shù)列、可化為等差、 等比數(shù)列問題的數(shù)列的任意連續(xù)三項有關的對數(shù)大小比較.這些 題綜合應用了等差、等比數(shù)列的基本知識;拓展三、四還應用了 逐差法或者累差法；還應用了作商比較法（或作差比較法）、對 數(shù)運算公式、對數(shù)函數(shù)的性質、均值不等式等基本知識和基本 方法.目的：本文可作為高三理科第二輪綜合復習應用資料;愿與 教育同仁、高三學子共同分享。一.試題解析12.已知55 < 84,134 < 85,設 t/=log53, fe=log85, c=log138,則（）.A.a<b&l

2、t;c. B. b<a<c. C.b<c<a. D. c<a<b.解：由55 < 84得510g85 <4,Z>< i 由 134 < 85,得44< 510gl38,0 b<c.5比較公大小法一：已知啟示:由34 < 53彳導410g53 V3,av 由54 > 83,得41og85 >b> *所以,<"因此aVVc,選 A.比較“、大小法二（作差比較法）：=iogS3-iog85= - =ig3y；（ig5）2.& 58 lg5 lg8 Ig51g8因為lg3zlg

3、5zlg8>0,所以，|g31g8V(史詈戶婚房產(chǎn) <(lgV25)2=(lg5)2zlg31g8 -(lg5)2<0, a<b.比較公大小法三(作商比較法):因為& b、c>0,所以，夢鬻喂晨 由法二，得 Ig3lg8<(lg5)2 ,所以，3 1,即 a<b.小結：本法綜合應用了作差比較法或作商比較法、均值不等式、 對數(shù)運算公式、對數(shù)函數(shù)的性質等基本知識和方法.拓展一：設等比數(shù)歹!J斯的首項Q = 2,公比q=2,七匕較logan+Mn 與嚏總2冊+1的大小解:因為 an=2n>l (nE N*),所以，loga an>0, l

4、oga an+1>0. /Cl JLIC I 4<1/logan+iQn lnan lnan+2 ln2n ln2n+2 n(n+2) n2+2n l°gan+2an+i Inan+i nan+± ln2n+1 ln2n+1 (n+1)2 n2+2n+llogan+ian<logan+2an+1 (n e N*).拓展二：設等比數(shù)列即的首項的>0,公比為q>0,若0 v % <1,O<Q<1 或的 > 1,Q > 1,貝肚俄bgan+Qn與 108即+2。八+1的大 小.解:因為冊=QiqnT>l(CN*),

5、所以,當 q=l 日寸,logan+Kn = l = logan+2an+l, 當 qwl 時,logan+ian - logan+2an+1Ina- _ Innn+x lnanman+z-annn+j). lnan+i nan+2 lnan+1lnan+2B = nan+1nan+2= nar Qnlna1Qn+1=(lna1+/?ln)lna1+(7?+l)lni7=(lna1)2 + (2n + l)lna1lnq + n(n + l)(lnq)2.A = lnan+1lnan+2 (lnan+1)2 = (lna1)2 + (2n + l)lnailnq +n(n + l)(lnq)2

6、 (nar + nlnq)2=lnajnq+ n(lnq)2.因為當0 v 的 V 1,0 v q v 1 颯 1 > l,q > 1 時,ln2n+2 n(n+2) n2+2nIn2n+i (n+1)2 n2+2n+l<1/A, B>0Aogan+ian > logan+2冊+ logan+!an = lnan . nan+2_ ln2n logan+2an+i lnan+1 lnan+1 ln2n+i所以,10gan+】冊<108即+2冊+廣拓展三：設數(shù)列斯的首項與 = 1, CLn+i -an=n(nE N*),(I)求數(shù)列冊的通項公式;(II)比較l

7、og。與log。冊+i的大小.f C I AI/解：(逐差法):因為斯+i=3hi aMan - an-i)+(。九_1 一。九_2)+'.+(。2 Qj.)+ Qi=+(1)+ (-2)+ +1 + 1土絲+1=1,所以,數(shù)列=娛1,所以，斯=1+1.因為 = 即的通項公式為冊=號Tl( N)注:也可用累差法.(H)因為Qn >l,an+l >1,所以 logan+i 之°，logan+2斯+1>0(1)當 =1 日寸,1。8而+。八1。8而+2。n+1.當 :>1 時,logan+iQn >。，所以logan+ian _ lnan . lna

8、n+2l°San+2an+i lnan+i nan+1因為lnan > 0, In0n+2 > °，lnan - nan+ 2 <(-nfln+n+2)2 = anan+2)2,r(n-l)n 4又 anan+2=1+ 1(九+1)(九+2) 2_(n-l)n(n+l)(n+2) + (n-l)n+(n+l)(n+2)+2，an+l2 anan+2 = (n - l)n(n + l)(n + 2) (n - l)n (n + l)(n + 2)=必產(chǎn)+”)+ 1(n - l)n(n + l)(n + 2) (n + l)(n + 2) (n - l)nn(

9、n+l)r 2 . z 9 .9 .n2+3n+2+n2-nn(n+l)-2 八= 4 n2+H-(n2+ h-2)+ n2+n=?>。，Q九。九+2 <。71+1.2,所以，(lnJanan+2)2 < (inJan+/j,即 署"廣 -<1,亦即, lu&an+2uH+110gan+1i<10gan+2n+l，因此，綜合(D，(2),得10gan+1«n < Sgan+2即+式N*).注:也可用作差比較法.拓展四：設數(shù)列斯的首項的=1, an+1 -an=2n(ne N*),(I)求數(shù)列S7J的通項公式；(H)比較10gan+

10、i即與1°8即+2斯+1的大小-解：(累差法):因為冊+1一冊二2八Qn Q二2"Ta2 QI=2,相加，得 n+1= +1=2n+1 1. an2n 1 , a1=21 1 2 1二1 ,所以，數(shù)列斯的通項公式是冊=2八l(n e N)注：也可用逐差法.(II)因為斯 >1,即+i >1,所以 logan+Mz logan+2«n+l>0. 當H=1日寸,1。8而+1。八<1。8而+2。計(2)當n>時,中限1冊>0,所以,(作商比較法廣二拚鬻色.l°gan+2an+i lnan+i lnan+i因為lnan , lnan+2<(E'".；n""+2)2 =(inJanan+2)2, Xanan+2=(2n - l)(2n+2 - l)=(2n+1) - 2n - 2n+2+l, an+i2 - anan+2=(2w+1- I)2 - (2+1)2 - 2w+2