備考2022數(shù)學(xué)類型二 二次函數(shù)與角度問題（解析版）

1、類型二 二次函數(shù)與角度問題例1、已知拋物線的圖象與軸交于、兩點（點在點的左邊），與軸交于點，過點作軸的平行線與拋物線交于點，拋物線的頂點為，直線經(jīng)過、兩點.（1） 求此拋物線的解析式；（2）連接、，試比較和的大小，并說明你的理由.【答案】解：（1）cdx軸且點c（0，3），設(shè)點d的坐標為(x，3) 直線y= x+5經(jīng)過d點，3= x+5x=2即點d(2，3) 根據(jù)拋物線的對稱性，設(shè)頂點的坐標為m（1，y），又直線y= x+5經(jīng)過m點，y =1+5，y =4即m（1，4）設(shè)拋物線的解析式為點c（0，3）在拋物線上，a=1即拋物線的解析式為3分（2）作bpac于點p，mnab于點n由（1）中拋物線

2、可得點a（3，0），b（1，0），ab=4，ao=co=3，ac=pab45°abp=45°，pa=pb=pc=acpa=在rtbpc中，tanbcp=2在rtanm中，m（-1，4），mn=4an=2tannam=2bcpnam即acbmab例2、在平面直角坐標系xoy中，拋物線經(jīng)過點n（2,5），過點n作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點m，mn=6.（1）求此拋物線的解析式；（2）點p（x,y）為此拋物線上一動點，連接mp交此拋物線的對稱軸于點d，當(dāng)dmn為直角三角形時，求點p的坐標；（3）設(shè)此拋物線與y軸交于點c，在此拋物線上是否存在點q，使qmn=cnm ？若存在，求

3、出點q的坐標；若不存在，說明理由.【答案】解：（1）過點m、n（2，5），由題意，得m（，）. 解得 此拋物線的解析式為. 2分（2）設(shè)拋物線的對稱軸交mn于點g，若dmn為直角三角形，則.d1（，），（，）. 4分直線md1為，直線為.將p（x，）分別代入直線md1，的解析式，得，.解得 ，（舍），（1,0）. 5分解得 ，（舍），（3,12）. 6分（3）設(shè)存在點q（x，），使得qmn=cnm. 若點q在mn上方，過點q作qhmn，交mn于點h，則.即.解得，（舍）.（，3）. 7分 若點q在mn下方，同理可得（6，）. 8分例3、平面直角坐標系xoy中，拋物線與x軸交于點a、點b，與y軸

4、的正半軸交于點c，點 a的坐標為(1, 0)，ob=oc，拋物線的頂點為d (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若此拋物線的對稱軸上的點p滿足apb=acb，求點p的坐標； (3) q為線段bd上一點，點a關(guān)于aqb的平分線的對稱點為，若，求點q的坐標和此時的面積 【答案】圖9（1） ， 拋物線的對稱軸為直線 拋物線與x軸交于 點a、點b，點a的坐標為， 點b的坐標為，ob3 1分可得該拋物線的解析式為 ob=oc，拋物線與y軸的正半軸交于點c， oc=3，點c的坐標為將點c的坐標代入該解析式，解得a=12分 此拋物線的解析式為（如圖9） 3分 （2）作abc的外接圓e，設(shè)拋物線的對稱軸與x

5、軸的交點為點f，設(shè)e與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點為點，點關(guān)于x軸的對稱點為點，點、點均為所求點.（如圖10） 可知圓心e必在ab邊的垂直平分線即拋物線的對稱軸直線上 、都是弧ab所對的圓周角， ，且射線fe上的其它點p都不滿足由（1）可知 obc=45°，ab=2，of=2可得圓心e也在bc邊的垂直平分線即直線上 點e的坐標為 4分 由勾股定理得 點的坐標為 5分由對稱性得點的坐標為 6分符合題意的點p的坐標為、.（3） 點b、d的坐標分別為、，可得直線bd的解析式為，直線bd與x軸所夾的銳角為45° 點a關(guān)于aqb的平分線的對稱點為，（如圖11）若設(shè)與aqb的

6、平分線的交點為m，則有 ，q，b，三點在一條直線上 ， 作x軸于點n 點q在線段bd上， q，b，三點在一條直線上， ， 點的坐標為 點q在線段bd上， 設(shè)點q的坐標為，其中 ， 由勾股定理得 解得經(jīng)檢驗，在的范圍內(nèi) 點q的坐標為 7分此時 8分例4、已知，拋物線與x軸交于點a（2,0）、b（8,0），與y軸交于點c（0，4）。直線y=x+m與拋物線交于點d、e（d在e的左側(cè)），與拋物線的對稱點交于點f。（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)m=2時，求dcf的大??；（3）若在直線y=x+m下方的拋物線上存在點p，使dpf450，且滿足條件的點p只有兩個，則m的值為_.（第（3）問不要求寫解答過程）

7、【答案】解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8），拋物線與y軸交于點c（0，-4），-4=a（0+2）（0-8）解得a=拋物線的解析式為y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；（2）由（1）可得拋物線的對稱軸為x=3，m=2，直線的解析式為y=x+2，直線y=x+2與拋物線交于點d、e，與拋物線的對稱軸交于點f，f、d兩點的坐標分別為f（3，5），d（-2，0）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為m，可得cm=fm=md=5，f、d、c三點在以m為圓心，半徑為5的圓上dcf=dmf=45°（3）由拋物線解析式可知，拋物線頂點坐標為g（3，-）設(shè)f（3，3+m），

8、則fg=m+3+，設(shè)d關(guān)于對稱軸的對稱點為d1，當(dāng)四邊形dgd1f為正方形時，滿足題意，此時p點與頂點g重合，或者與d1重合，故dd1=fg，d點橫坐標為：x=-（fg-3）=-，縱坐標為-（fg-3-m）=，將d點坐標拋物線解析式，解得m=-例5、如圖，拋物線，與軸交于點，且（i）求拋物線的解析式；（ii）探究坐標軸上是否存在點，使得以點為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由； （iii）直線交軸于點，為拋物線頂點若，的值【答案】解：（i），且代入，得（ii）當(dāng)可證 同理: 如圖當(dāng)當(dāng)綜上，坐標軸上存在三個點，使得以點為頂點的三角形為直角三角形，分別是，（iii）

9、 又例6、如圖，在平面直角坐標系中，o為坐標原點，拋物線y=ax28ax16a6經(jīng)過點b（0，4）.求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點為d，過點d、b作直線交x軸于點a，點c在拋物線的對稱軸上，且c點的縱坐標為-4，聯(lián)結(jié)bc、ac.求證：abc是等腰直角三角形；在的條件下，將直線db沿y軸向下平移，平移后的直線記為l ，直線l 與x軸、y軸分別交于點a、b，是否存在直線l，使abc是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，請說明理由 圖（1） 備用圖 【答案】解：由題意知： 解得： 拋物線的解析式為：-1分證明 ：由拋物線的解析式知:頂點d坐標為（4,6） 點c的縱坐標為4，且在拋物線的對

10、稱軸上c點坐標為(4，4)設(shè)直線bd解析式為： 有：，bd解析式為直線bd與x軸的交點a的坐標為（8,0）過點c作ce軸于點e，則ce=4，be=8又ob=4，oa=8, ce=ob,be=oa,ceb=boa=90°cebboa(sas)-2分cb=ab, 1=22+3=90°，2+3=90°1+3=90°，即abc=90°abc是等腰直角三角形-3分存在.當(dāng)cab=90°時，如圖1所示， ababoab=bao易證:eca=oab圖1eca=baotanbao=taneca=ea=2a坐標為(2,0)直線l解析式為-5分當(dāng)acb=90°時，如圖2所示，圖2過點c作ce軸于點e，易證afcbecaf=be由tanbao=設(shè)b坐標為（0，n）有b坐標為（0，）直線l解析式為-7分例7、已知：拋物線yx22xm-2交y軸于點a（0，2m-7）與直線yx交于點b、c（b在右、c在左）（1）求拋物線的解析式； （2）設(shè)拋物線的頂點為e，在拋物線的對稱軸上是否存在一點f，使得，若存在，求出點f的坐標，若不存在，說明理由；（3）射線oc上有兩個動點p、q同時從原點出發(fā)，分別以每秒個單位長度、每秒2個單位長度的速度沿射線oc運動，以pq為斜邊在直線bc的上方作直角三角形pmq（直角邊分別平行于坐標軸），設(shè)運