控制工程基礎---第六章控制系統(tǒng)的頻率特性

1、第六章 控制系統(tǒng)的頻率特性采用頻率特性法原因：（1）穩(wěn)定性分析（2）系統(tǒng)校正（3）系統(tǒng)模型建立第一節(jié) 頻率特性的基本概念一概念 1頻率響應：指控制系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)正弦輸出響應。f(t)kcx(t)例：如圖所示的機械系統(tǒng)，K為彈簧剛度系數(shù)，單位N/m，C是阻尼系數(shù)，單位m/s.N,當輸入力為正弦信號f(t)=Fsinwt時，求其位移x(t)的穩(wěn)態(tài)響應 解：列寫力平衡方程 其傳遞函數(shù)為： 輸出位移 上式中第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為瞬態(tài)分量，當時間t趨向于無窮大時為零。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為： 其幅值為： 相位為： 從上式的推導可以看出，頻率響應是時間響應的一種特例。正弦輸入引起的穩(wěn)態(tài)輸出是頻率相同

2、的正弦信號，輸入輸出幅值成比例，相位都是頻率的函數(shù)，而且與系統(tǒng)的參數(shù)c,k有關。二 頻率特性及其求解方法1頻率特性：指線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比和相位差隨輸入頻率的變化關系。用表示。 稱為系統(tǒng)的頻率特性，其模稱為系統(tǒng)的幅頻特性，相位差稱為相頻特性2頻率特性求解（1）根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)，輸入用正弦函數(shù)代入，求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出和輸入的復數(shù)比（2）根據(jù)傳遞函數(shù)來求?。?）通過實驗測得令傳遞函數(shù)中的則得到頻率表達式，又由于是一個復變函數(shù)，可在復平面上用復數(shù)表示，分解為實部和虛部，即： 例：某閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，當輸入為時，試求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出。解：正弦輸入信號系統(tǒng)輸

3、出與輸入頻率相同，其輸出幅值與相位取決于系統(tǒng)幅頻特性與相頻特性 系統(tǒng)輸出幅值為：輸出相位： 系統(tǒng)輸出響應為： 3、頻率特性的表示法用頻率特性中的幅值和相位隨頻率的變化規(guī)律來描述曲線，從而通過曲線的某些點可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性及其它品質(zhì)以便于對系統(tǒng)進行分析與綜合。頻率法是一種直觀的圖解法，表示形式為：（1） 奈魁斯特圖（Nyquist）或稱幅相頻率特性，它通過極坐標來表示頻率特性G(jw)中的幅值和相位間的關系。（2） 伯德圖（Bode），又稱對數(shù)頻率特性圖，它由半對數(shù)坐標系上來表示的幅頻特性和相位特性圖組成。第二節(jié) 奈魁斯特圖的繪制（Nyquist）一、奈魁斯特圖奈魁斯特圖是極坐標圖，但一

4、般情況下，在復平面下繪制ReIm二、典型環(huán)節(jié)的奈魁斯特曲線RekIm1比例環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) 頻率特性 RewIm2積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性； 3微分環(huán)節(jié)：RewIm傳遞函數(shù)： 頻率特性： 4慣性環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)： 頻率特性： RewIm(0.5,j0) RewIm(1,j0)G(jw)5.一階微分傳遞函數(shù)： 頻率特性： 6.振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性：RewIm=0.8=0.5=0.3(1,j0) 當小到一定程度時其振幅會有峰值出現(xiàn)，稱這個峰值為諧振峰值Mr，所對應的頻率為諧振頻率wr。 諧振峰值出現(xiàn)的條件（）當，時，A(w)= 當，時， 系統(tǒng)幅相頻率特性為： 幅角為-90因此得到G(jwn)

5、與虛軸交點處的頻率是wn 。 （此交點很有意義）7.二階微分傳遞函數(shù)：頻率特性：實頻特性： 虛頻特性： RewIm(1,j0) RewIm132(1,j0) 1<2 <3 8.延時環(huán)節(jié)傳遞函數(shù) 頻率特性 實頻特性： 虛頻特性： 線性變化 三、開環(huán)奈氏曲線的繪制1、開環(huán)的幅頻和相頻ReIm2、開環(huán)奈氏曲線的繪制（1）0型系統(tǒng)：ReImw（2）I型系統(tǒng)：ReImw（3）II型系統(tǒng)：上式中，m為開環(huán)傳遞函數(shù)分子多項式的最高指數(shù)，n為開環(huán)傳遞函數(shù)分母多項式的最高指數(shù)。例：繪制下列開環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏曲線。Eg1. 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試畫其奈氏曲線圖解：將傳遞函數(shù)化為頻率特性 實部 虛部：

6、幅頻特性： 相頻特性： 當w=0 A(w)=1 w 要畫準確的奈氏曲線需計算不同頻率下的幅值和相位，或?qū)嵅亢吞摬康玫较鄳母鼽c，將各點順次連接得到奈氏曲線。若系統(tǒng)傳遞函數(shù)是由多個環(huán)節(jié)組成，幅頻特性曲線其幅值是各環(huán)節(jié)幅值的乘積，相角是各環(huán)節(jié)相位相加。即： UwjV(1,j0)w<T>T 第三節(jié) 對數(shù)頻率特性圖（Bode）一、Bode圖：奈魁斯特曲線不能表示系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的單獨作用，而且計算工作量較大，因此對頻率特性中的幅頻特性取對數(shù)，各環(huán)節(jié)的幅值相乘變?yōu)橄嗉?，曲線可用直線代替，這樣繪出的圖形簡單、方便、直觀地表示各環(huán)節(jié)的作用。對數(shù)幅頻特性：將幅頻特性A(w)取常用對數(shù)后再乘以20，記為：

7、L(w)=20lgA(w),單位(dB)對數(shù)幅頻特性坐標系中，橫坐標采用對數(shù)分度，但標注時只標w，縱軸采用線性分度。橫軸上頻率滿足的關系：若在橫軸上任取兩點，使兩點間的頻率滿足w2/w1=10，則w1與w2間距離為1=lg(w2/w1)=lg10 一個10倍頻程：不論坐標軸的起點是多少，只要角頻率w變化10倍，在橫軸上線段長度均為1個單位（dec）。4020-20-4011010010000.1對數(shù)相頻不取對數(shù)，但對數(shù)相頻圖橫軸也采用對數(shù)軸，Bode圖坐標如圖所示。采用Bode圖的優(yōu)點：便于在較寬的范圍內(nèi)研究頻率特性。二、典型環(huán)節(jié)的Bode圖1比例環(huán)節(jié)頻率特性 不改變曲線的形狀，只改變L(w)

8、的大小。L(w)/dB200.11-900°-20dB/dec2.積分環(huán)節(jié) L(w)/dB-200.1190°20dB/dec3微分環(huán)節(jié)：頻率特性： 4慣性環(huán)節(jié)：L(w)/dB01/T-90°-20dB/dec-45°1/T 當wT<<1 (低頻) L(w)=0 wT>>1（高頻）L(w)-20lgTww=1/T 當w2/w1=10時（頻率變化10倍幅值變化多少）， wT=1/T時曲線誤差最大為-3dB，稱wT為轉(zhuǎn)折頻率。慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波的作用。L(w)/dB01/T90°20dB/dec45°1/T5一階

9、微分 6振蕩環(huán)節(jié) 當wT<<1 (低頻)，L(w)=0，wT>>1（高頻）L(w)-20lg(Tw)2=-40lgTw w=1/T=wn，時高頻段L(w)0，當w2/w1=10 時（頻率變化10倍幅值變化多少），L(w)/dB01/T180°40dB/dec90°1/TL(w)/dB01/T-180°-40dB/dec-90°1/T 7.二階微分L(w)/dB 8.延時環(huán)節(jié)三、繪制開環(huán)伯德圖的步驟（1）將傳遞函數(shù)G(s)化為由典型環(huán)節(jié)組成的形式（2）令s=jw，求得頻率特性G(jw)（3）找出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并作各環(huán)節(jié)的漸近線（

10、4）將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅值相加得到系統(tǒng)幅頻特性曲線（5）作各環(huán)節(jié)相位曲線，然后相加得到系統(tǒng)相頻曲線（6）如要得到精確曲線，對各漸近線進行修正例：作傳遞函數(shù)為的Bode圖解：將傳遞函數(shù)化為典型環(huán)節(jié) L1(w)=20lg3=9.5dB各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率j0.5w+1，w1=1/T=2，1/(j2.5w+1)，w2=1/T=0.4，1/(j0.025w+1)，w3=1/T=40wL(w)/dBw(w)-90°-20dB/dec-45°0.41210401000.4-20102020dB/dec-20-2045°231 例：作Bode圖解：化為標準傳遞函數(shù) 頻率特性 求比例環(huán)節(jié)

11、的幅值和各轉(zhuǎn)折頻率L1(w)=20lg7.5=17.5(1/3jw+1)，w1=1/T=3，(1/jw)過（1，j0）點，1/(0.5jw+1)，w2=1/T=21/(0.5(jw)2+0.5jw+1)，ww(w)°0.1-90°-20dB/dec-225°132104017.5-60-20-80-270°-180°L(w)/dB-6060 直接繪圖步驟：1、畫出坐標，標出轉(zhuǎn)折頻率。2、確定起點值。（起點頻率0.1）3、確定起始段斜率。4、從起始點起、按起始段斜率畫至第一個轉(zhuǎn)折頻率點停，經(jīng)轉(zhuǎn)折點后的斜率等于轉(zhuǎn)折前的斜率與該轉(zhuǎn)折點環(huán)節(jié)的高頻段斜率

12、的代數(shù)和。以此類推，直至最后一轉(zhuǎn)折點。5、相頻圖采用疊加的辦法，起點、終點、若干中間點。相頻曲線的變化與對數(shù)幅頻圖斜率有對應關系。斜率相頻趨勢斜率相頻趨勢401800-20-90020900-40-1800000-60-2700注意：對數(shù)幅頻圖繪制時，各段斜率要與坐標分度對應。四由實驗確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)數(shù)學模型方法有：（1）采用數(shù)學公式推導（2）由實驗方法（系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜數(shù)學模型不太容易建立情況下）實驗方法的實現(xiàn)：對系統(tǒng)施加一定量的激勵信號，測出系統(tǒng)的響應，借助計算機對數(shù)據(jù)進行處理來辨識系統(tǒng)；或根據(jù)測得的伯德圖用漸近線確定系統(tǒng)頻率特性的參數(shù)。常用信號：正弦、脈沖、三角波、方波等簡單信號1系

13、統(tǒng)環(huán)節(jié)的確定設系統(tǒng)頻率特性為： 為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。由起始段斜率及斜率的變化確定組成環(huán)節(jié)。當時，根據(jù)來確定系統(tǒng)的類型。2、確定參數(shù)（1）當時，稱為零型系統(tǒng)上式為：G(jw)=k L(w)=20lg|G(jw)|=20lgk對數(shù)頻率特性低頻段是一條幅值為20lgkdB的水平線，k值可由此算出。（2）當時，稱為型系統(tǒng) 上式為：G(jw)=k/jw L(w)=20lg|G(jw)|=20lgk-20lgw 頻率特性低頻段為-20dB/dec，漸近線或延長線與0dB交點處有：20lgk-20lgw=0 解得：k/w=1 即k=w (3) 當時，稱為型系統(tǒng)G(jw)=k/(jw)2 L(w)=20lg

14、|G(jw)|=20lgk-40lgw低頻段處斜率為-40 dB/dec，該線段或延長線與0dB的交點處有20lgk-40lgw=0 wL(w)/dB0-200型系統(tǒng)20lgk wL(w)/dB0-20w型系統(tǒng) wL(w)/dB0-20W型系統(tǒng) wL(w)/dB0-20w型系統(tǒng) wL(w)/dB0-20w型系統(tǒng) Eg6.已知由實驗得最小相位系統(tǒng)的幅頻特性如圖所示，求其系統(tǒng)傳遞函數(shù)w50100-40L(w)/dB-60 解：此系統(tǒng)由比例環(huán)節(jié)和兩個積分環(huán)節(jié)及慣性環(huán)節(jié)組成W1=50 W2=100 K=(W1)2=502 =250 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 第四節(jié) 頻域中的穩(wěn)定判據(jù)在第三章中,關于系統(tǒng)的穩(wěn)定性已

15、進行了分析,并介紹了勞斯判據(jù)及應用，其要點總結(jié)如下：（1）系統(tǒng)能以一定的精度跟隨系統(tǒng)的輸入，系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定與否取決系統(tǒng)本身，與外界條件無關。（2）系統(tǒng)的極點全部位于復平面的左半部，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）勞斯判據(jù)內(nèi)容：系統(tǒng)特征方程中的各系數(shù)同號且不缺項，勞斯行列第一列同號，系統(tǒng)穩(wěn)定。本節(jié)中，將介紹頻域中的穩(wěn)定判據(jù)。一、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)1、開環(huán)與閉環(huán)的零、極點：從上式得出以下結(jié)論：輔助方程的零點等于閉環(huán)的極點；輔助方程的極點等于開環(huán)的極點。也就是說，如果輔助方程的零點全部位于復平面的左半部，閉環(huán)穩(wěn)定。ReIm×××׺º2、奈氏判據(jù)：根據(jù)幅

16、角原理，將輔助方程的零點、極點標注在復平面上，若s沿任一軌跡走一圈,規(guī)定順時針方向為負，在軌跡中包圍P個極點，Z個零點，其相角變化其中N為F(s)饒坐標原點的圈數(shù)。若軌跡線包圍整個右半平面，其中包圍P個極點，Z個零點，那么其應滿足由得，也就是說，F(xiàn)(s)軌跡左移1即為開環(huán)奈氏曲線。奈氏判據(jù)：系統(tǒng)穩(wěn)定，Z=0，需滿足N=P（1）N為開環(huán)奈氏曲線包圍（-1，j0）點的圈數(shù)，其等于正、負包圍次數(shù)的代數(shù)和。順時為負，逆時針為正。包圍指奈氏曲線經(jīng)過(-1,j0)點左側(cè)實軸。P=0 (-1,j0)ReIm（2）零極點為負極點。ReIm×××׺º

17、例：，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。ReIm解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為其頻率特性其奈氏曲線如圖令，代入A(w)表達式，得系統(tǒng)穩(wěn)定。練習：3、對數(shù)判據(jù)對數(shù)判據(jù)內(nèi)容與奈氏判據(jù)內(nèi)容實質(zhì)相同，對數(shù)判據(jù)是將奈氏判據(jù)移植到Bode圖中。（1）對應關系奈氏圖中的單位圓對應Bode圖中的0db軸（橫軸）。奈氏圖中的負實軸對應Bode圖中的線。ReIm(-1,j0)L(w)ww-1800wgwcwcwg（2）對數(shù)判據(jù)：在奈氏判據(jù)中，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為，在Bode圖中，頻率取正的變化范圍，系統(tǒng)穩(wěn)定條件改寫為。P：開環(huán)傳遞函數(shù)正極點的個數(shù)。N：奈氏曲線（半支）包圍（-1,j0）點的圈數(shù)。在Bode圖中，N的確定方法是：在L(w)&g

18、t;0的頻率范圍內(nèi)，所對應的相頻曲線穿越的次數(shù)的代數(shù)和。例：系統(tǒng)Bode圖如上圖，P=0，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例：，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）作Bode圖，。110100012040900-900-1800從Bode圖得，P=0,N=0,系統(tǒng)穩(wěn)定。4、穩(wěn)定裕量：ReIm（1）幅值裕量：（3） 相角裕量：在Bode圖中，幅值裕量表示為相角裕量為 ReIm(-1,j0)L(w)ww-1800wgwcwcwgKg(db)第五節(jié) 控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻響一由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性開環(huán)頻率特性是指開環(huán)傳遞函數(shù)用s=jw代入所得的頻率特性。設開環(huán)頻率特性為G(jw)H(jw)，而閉環(huán)頻率特性為 定性的討論由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性設系統(tǒng)為單位反饋控制系統(tǒng)，則有H(jw)=1,系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 G(s)H(s)+X0(s)Xi(s)一般來說實用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性具有低通濾波作用，在低頻段時，則有： 在高頻段時，則有：（開環(huán)頻率特性）從上面的分析可