【備考指導(dǎo)】福建省2019屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科備考《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)》

1、福建省2019屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科備考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為高中階段數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是歷年高考考查力度最大的主線之一，是高考考查主要思想方法和能力、考查核心素養(yǎng)的主要載體對函數(shù)和導(dǎo)數(shù)主要考查函數(shù)的概念與表示，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、極大（?。┲怠⒆畲螅ㄐ。┲?；考察冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)研究方法的遷移（研究其它函數(shù)（組合、復(fù)合）的圖象與性質(zhì)）；考查導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極大（小）值、最大（小）值、函數(shù)的零點，研究方程和不等式的解的情況等高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查難度、題量都相對穩(wěn)定，一般是

2、兩道選擇題和一道解答題，或者一道選擇題一道填空題和一道解答題，共3道題，分值為22分其中一選擇題為容易題或中等難度題，一選擇題或填空題為難題，一解答題為難題選擇題一般位于中間四道題和后三道題的位置，填空題一般在后兩題的位置，解答題穩(wěn)定在第21題的位置對函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用，試題有一定的綜合性，重“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”，突出“四基、四能、三會、六素養(yǎng)”，與數(shù)學(xué)思想方法緊密結(jié)合，對函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等都進(jìn)行深入的考查隨著高中課程與高考的綜合改革，2018年高考發(fā)生微小變化，2018年，理科全國卷（理科）依舊是2小1大，但全國卷卷（理科

3、）以及全國卷卷卷（文科）都是3小1大近五年本部分考查情況如下表：表一：全國卷（理科）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考查情況年份題序考查內(nèi)容20143抽象函數(shù)的奇偶性判斷11三次函數(shù)有零點時參數(shù)的取值范圍21（指數(shù)+對數(shù)）函數(shù)：切線、待定系數(shù)；證明不等式201512函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、取值范圍13函數(shù)的奇偶性判斷21（三次+對數(shù)）函數(shù)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點20167函數(shù)的圖像（識圖）8指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)21已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍及證明不等式20175利用函數(shù)單調(diào)性、奇偶性解抽象不等式11對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性21利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍20185函數(shù)奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程9分段

4、函數(shù)，已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍21利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性；已知極值點個數(shù)證明不等式表二：全國卷（文科）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考查情況年份題序考查內(nèi)容20145函數(shù)奇偶性12同理11，三次函數(shù)有零點時參數(shù)的取值范圍15分段函數(shù)，解不等式21（指數(shù)+二次）函數(shù)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，單調(diào)性201510分段函數(shù)12函數(shù)解析式14導(dǎo)數(shù)的幾何意義19函數(shù)解析式（與統(tǒng)計交匯）21（指數(shù)+對數(shù)）函數(shù)：函數(shù)的零點，單調(diào)性最值證明不等式20169函數(shù)的圖像（識圖）(與理科7同題)12已知單調(diào)性求參數(shù)范圍21利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍20178函數(shù)的圖像（識圖）9利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)14導(dǎo)數(shù)的幾何意義21利用導(dǎo)數(shù)

5、研究函數(shù)的單調(diào)性；已知不等式恒成立求參數(shù)范圍20186函數(shù)的奇偶性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義（與理科5同題）12分段函數(shù)背景解不等式13已知函數(shù)值求參21利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性；證明不等式一、存在的問題及原因分析（一）缺乏運用特殊值法、排除法解題意識選擇題的考查是由選擇題的特殊性決定的，從已知研究未知的角度來看，部分問題只能從較少的信息來判斷，無法完全嚴(yán)格地推理，所以選擇題考查選擇能力，而不是完全推理論證的能力，因此特值法看似投機取巧，實則應(yīng)當(dāng)是解決選擇題必要的手段，區(qū)別于大題完整演繹推理的過程，從命題角度來看，一道題既可以作為選擇題，又可以作為大題，則沒有體現(xiàn)選擇題的考查功效，讓不同層次學(xué)生作答是高考想要

6、得到的目的，算理比較熟的同學(xué)應(yīng)當(dāng)快速得出結(jié)果，而不能完整推理出來的學(xué)生也可以憑借任意與存在的關(guān)系加以排除和選擇【例1-1】（2018年全國卷理3、文3）函數(shù) 的圖象大致為 【解析】法一：計算，排除，又，排除，故選擇法二：容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)為奇函數(shù)，再由特殊值選擇法三：是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，兩式相除，在公共定義域上為奇函數(shù)，再由特殊值選擇法四：奇函數(shù)判斷同上，又，分子增長速度遠(yuǎn)快于分母【例1-2】（2018年全國卷理7、文9）函數(shù)的圖像大致為法一：，故選擇法二：函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上有極值點，結(jié)合，選【評析】第一題，同學(xué)代特值可以選出結(jié)果，對函數(shù)性質(zhì)熟悉的同學(xué)也需要代值判斷，本題不適合求導(dǎo)判斷單調(diào)

7、性第二題相對靠后，代特值可以選出結(jié)果，本題也適合用求導(dǎo)方法得出函數(shù)基本的單調(diào)性兩個題目都是在基本初等函數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上重新組合出新的函數(shù)，略高于課本，又可以研究，考查學(xué)生識圖能力決定函數(shù)的走勢，性質(zhì)為首、特殊點為關(guān)鍵對于基礎(chǔ)較好的同學(xué)可以適當(dāng)記憶課后習(xí)題出現(xiàn)的函數(shù)性質(zhì)，雙曲正余弦函數(shù)、多項式函數(shù)都源自課后習(xí)題另外，對于基本函數(shù)加減乘除后產(chǎn)生的新函數(shù)的性質(zhì)適當(dāng)歸納，達(dá)到分解函數(shù)的目的，而非研究單調(diào)性一定是求導(dǎo)，第一題就說明了這一點，考查用求導(dǎo)方法研究函數(shù)性質(zhì)的重點在第21題本題易錯的主要原因：看到函數(shù)單調(diào)性立即求導(dǎo)，研究函數(shù)性質(zhì)通常是先研究奇偶性（周期性）從而減少討論范圍，同時題目設(shè)置的的值要能夠

8、準(zhǔn)確計算出來后，再估值 （二）對含參問題基本策略選擇不當(dāng)含參問題是研究新的函數(shù)模型經(jīng)常遇到的問題，也是考查學(xué)生分類討論與分清參變量關(guān)系的重要手段，含參問題的破解基本點應(yīng)該是對任意的成立，即恒成立，所以可以采取特值先求出符合的參數(shù)值或范圍，在嚴(yán)格論證其充分性，而對于小題考查函數(shù)的零點問題，則需要考慮數(shù)形結(jié)合的思想，嚴(yán)格地零點定理應(yīng)當(dāng)是大題考查的重點，需要論證明確【例2-1】（2018年全國卷理5）設(shè)函數(shù).若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為ABCD法一：由得到，由，得到選項為法二：多項式函數(shù)為奇函數(shù)，則偶數(shù)次項為零，得到，同法一法三：由得到，下同法一【例2-2】（2018年全國卷理9）已知函數(shù)若

9、g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A1，0） B0，+） C1，+） D1，+）法一：由兩個解，則與的圖像有兩個交點，如圖，當(dāng)截距時，即時符合，故選擇法二：特值法，時，又在和均為增函數(shù)，從而排除，時，當(dāng)，時，由零點定理知存在兩個零點，符合，故選擇法三：直接法，只需即可，注意到在和均為增函數(shù)，當(dāng)時，對于任意的，在上的值域為【評析】已知函數(shù)奇偶性求參數(shù)，在定義域確定的情況下，特值法是比較行之有效的方法，在研究帶有參數(shù)的新函數(shù)，從必要條件轉(zhuǎn)化為充分條件是重要的方法，對于基本初等函數(shù)的加減乘除運算的單調(diào)性需要熟知，小題目考查函數(shù)零點定理，可以采取數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，而

10、當(dāng)發(fā)現(xiàn)特值法沒有簡便運算步驟的話，則本題出題者希望的是整體推理的過程（三）未能深入領(lǐng)會函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用高中階段函數(shù)的性質(zhì)圍繞著單調(diào)性，奇偶性（對稱性），周期性展開，周期性的背景是三角函數(shù)，當(dāng)涉及到求函數(shù)值或函數(shù)不等式問題，都可以抽象為函數(shù)性質(zhì)的考查，基本順序是先討論對稱性，再討論單調(diào)性，最終利用性質(zhì)求解是關(guān)鍵【例3-1】（2018年全國卷理11、文12）已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足若，則AB0C2D50【解析】由得到關(guān)于直線對稱，又關(guān)于中心對稱，所以函數(shù)的周期為4，計算得到，則，原式，選C【例3-2】（2018年全國卷文16）已知函數(shù)，則【解析】 由，得到【評析】本題易錯的主要原因：第一小題學(xué)生

11、無法關(guān)聯(lián)出兩個對稱性可以得到周期性的結(jié)論，從求多個函數(shù)值的問題中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期性來簡化求和，同時抽象函數(shù)賦值法求值的基本思想和意識不夠，抽象函數(shù)以具體函數(shù)呈現(xiàn)能挖掘更多的性質(zhì)，具有多個對稱性質(zhì)的函數(shù)應(yīng)該要求學(xué)生聯(lián)想到三角函數(shù)模型，由此自然會想到周期性，以及一個周期內(nèi)的函數(shù)值，本題可以在程度較好的學(xué)生中提出如何發(fā)現(xiàn)新的對稱中心，以及如何證明第二小題構(gòu)造奇函數(shù)的意識，注意到是函數(shù)，利用得到結(jié)果，學(xué)生遇到對數(shù)型函數(shù)應(yīng)該聯(lián)想到加減運算可以轉(zhuǎn)化為真數(shù)的乘除，所以兩式相加發(fā)現(xiàn)結(jié)果，或者學(xué)生熟悉分子有理化的運算，則可以發(fā)現(xiàn)二者之間關(guān)系總之看到自變量互為相反數(shù)應(yīng)該可以考慮到函數(shù)的奇偶性（四）導(dǎo)數(shù)的綜合運用能力

12、較弱導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，歷屆高考，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，主要從以下幾個角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與圖象、曲線相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的單調(diào)性；已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；（4）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用【例4】（2018年全國卷理21）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，證明：【解析】（1）的定義域為，.（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，所以在單調(diào)遞減.（ii）若，令得，或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知

13、，存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng).由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于，所以等價于.設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時，所以，即.【評析】第（）問分類討論思想是函數(shù)導(dǎo)數(shù)重點考察對象，實際問題中的函數(shù)通常含有參數(shù)有待確定，所以研究未知函數(shù)問題，通常在不同情況相應(yīng)結(jié)論也要改變，二次含參討論是重點內(nèi)容，要綜合考慮到定義域，首相系數(shù)，判別式，根的大小比較等，估算能力是重要的一環(huán)，這是體現(xiàn)選拔性的一步，在求完導(dǎo)數(shù)未同分之前，先判斷時，導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，減少討論步驟是關(guān)鍵；第（）問極值點可求，但是注意到根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量，同時要考慮到自變量的范圍，再由不等式的等價轉(zhuǎn)化得到第一

14、問函數(shù)的特殊類型，題目迎刃而解二、解決問題的思考與對策（一）培養(yǎng)利用“特殊值法”解題的能力對“特殊值法”還要掌握選值的技巧，當(dāng)一次取值不能達(dá)到目標(biāo)時，可以考慮多次取值、混合選取，看能否達(dá)到目標(biāo)特殊值法可以讓一般問題特殊化，抽象問題具體化，從而大大減少計算量在復(fù)習(xí)過程中，可以精選不同類型，有意識地強化“特殊值法”的解題能力.【例5】（2018年全國卷文7）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于對稱的是（ ）. . . .（二）函數(shù)與方程的思想重在轉(zhuǎn)化，提高轉(zhuǎn)化與化歸的意識如2016年全國卷(理8、文8)與全國卷（理6）和2017年全國卷都考查了指數(shù)、對數(shù)、冪的運算及性質(zhì).對函數(shù)基礎(chǔ)知識的教學(xué)要回歸課

15、本，深化函數(shù)基本概念、公式及基本圖像性質(zhì)的理解【例6】（2018年天津卷理14）已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個互異的實數(shù)解，則的取值范圍是 . （三）提高利用函數(shù)性質(zhì)解題的意識，具體函數(shù)抽象化，抽象函數(shù)具體化數(shù)形結(jié)合思想將抽象邏輯思維與直觀形象思維有效地結(jié)合起來，使得復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化，利于發(fā)現(xiàn)解題策略，優(yōu)化解題過程給出具體函數(shù)，我們要抽象出解題需要的函數(shù)的性質(zhì)，給出抽象函數(shù)，我們能夠找到具體模型與之對應(yīng)，或者作示意圖【例7】(2016年全國卷文12) 已知函數(shù)f(x)（xR）滿足f(x)=f(2-x)，若函數(shù)y=|x2-2x-3| 與y=f(x) 圖像的交點為（x1,y1），(x

16、2,y2)，（xm,ym），則（ ）(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m（四）重視函數(shù)導(dǎo)數(shù)的工具作用以三角函數(shù)為背景考查導(dǎo)數(shù)、不等式，注重知識的交匯，體現(xiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的工具作用【例8】(2018年全國卷卷理16)已知函數(shù)，則的最小值為 【解析一】，令，則，或，所以當(dāng)，為減函數(shù)，在增函數(shù)，所以【解析二】,所以,當(dāng)時, 成立.所以的最小值是.【解析三】，令，則函數(shù)化為，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解【評析】本題以三角函數(shù)為背景，看似與三角函數(shù)問題，但用三角函數(shù)的知識求解就遇到困難，要求學(xué)生靈活運用其他知識解決，求函數(shù)最值常見的求解方法：（1）利用基本不等式；（2）利用導(dǎo)數(shù)方法；（3）數(shù)形結(jié)合；（4）換元

17、法等等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想類似的問題還有：（2013年全國1卷理15）設(shè)當(dāng)x時，函數(shù)f(x)sin x2cos x取得最大值，則cos _.（2016年全國III卷文21）設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為（）求；（）求；（）證明（五）加強函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答題的答題策略教學(xué)2018年全國卷21題函數(shù)為的比較容易研究的對數(shù)型函數(shù)問題，在導(dǎo)函數(shù)極值點問題上，涉及到“設(shè)而不求”，轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系，考查問題以函數(shù)導(dǎo)數(shù)為載體，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想；2018年全國卷21題與2018年全國卷21題都出現(xiàn)了和等相對不容易研究的指對數(shù)函數(shù)型問題，對于第二問都作了一步關(guān)鍵的等價變形，原因是通常與

18、多項式函數(shù)或者分式函數(shù)相加減比較容易研究， 通常與多項式函數(shù)或者分式函數(shù)相乘除比較好處理，這給我們的復(fù)習(xí)迎考提供了指導(dǎo)方向 【例9-1】已知函數(shù).（1）若，函數(shù)的極大值為，求實數(shù)的值；（2）若對任意的，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【分析】函數(shù)是與多項式乘除的形式，函數(shù)求導(dǎo)研究起來不困難，第一問基礎(chǔ)題，第二問雙參數(shù)問題，先把較容易分析的參數(shù)看成主元，第一步求關(guān)于的函數(shù)的最大值，轉(zhuǎn)化為單參數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)分類討論，函數(shù)相對復(fù)雜，直接求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)分子，再討論，得出結(jié)果【例9-2】設(shè)函數(shù)，.（1）當(dāng)時，函數(shù)由兩個極值點，求的取值范圍；（2）若在點處的切線與軸平行，且函數(shù)在時，其圖像上每一點處切線

19、的傾斜角均為銳角，求的取值范圍.【分析】第一問，已知導(dǎo)函數(shù)由兩個零點，可以考慮零點存在性定理，也可以選擇參變量分離轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點；導(dǎo)函數(shù)大于零恒成立問題，考慮到有兩個超越，由二階導(dǎo)數(shù)研究一階導(dǎo)數(shù)，再推得函數(shù)的性質(zhì)（六）開展函數(shù)部分的微專題教學(xué)復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)對函數(shù)部分高考的高頻考點問題單調(diào)性、最值、切線、零點問題、恒成立問題、不等式證明、含量詞的命題等，尤其是三角函數(shù)型函數(shù)，開展微專題教學(xué)，以提升學(xué)生對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的認(rèn)識【例10】（2018年4月省質(zhì)檢理21）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求證：當(dāng)時，.第一問，含參二次討論，第二問雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，利用轉(zhuǎn)化

20、回歸思想求得3、 典型問題剖析導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對函數(shù)問題的命題空間，從最近幾年全國（省市）高考數(shù)學(xué)試題來看，對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查可以說是全方位的. 從考查要求來講，它不僅有對基礎(chǔ)知識、基本技能的考查，更有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查. 具體而言，試題往往融函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識于一體，通過演繹證明，運算推理等理性思維，解決單調(diào)性、極值、最值、切線、方程的根、函數(shù)零點、參數(shù)的范圍等問題，這類題難度大，綜合性強解題中需要用到函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，利用“設(shè)而不求”、“先猜后證”、“放縮法(如，等)”、“構(gòu)造法”等手段，

21、解決恒成立求參、函數(shù)零點、不等式證明、帶量詞的命題等熱點問題典型問題一：函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義考點1 ：求切線方程【例11】(2016年全國卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)時，則曲線在點處的切線方程是_.解析：法一：因為，故切線方程為法二：當(dāng)時，故切線方程為【評析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的奇偶性等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵是熟知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)或者求解分段函數(shù)的解析式考點2 ：求參數(shù)的值【例12】(2015年全國卷)已知曲線yxln x在點(1，1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.法一：由yxln x，得y1，得曲線在點(1,1)處的切線的斜率為ky|x12，所以切

22、線方程為y12(x1)，即y2x1.又該切線與yax2(a2)x1相切，消去y，得ax2ax20，所以a0且a28a0，解得a8.法二：同法一得切線方程y2x1，設(shè)直線y2x1與曲線yax2(a2)x1相切于點(x0,y0)因為y2ax(a2)x，由，解得【點評】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義，解題的關(guān)鍵在于熟知求二次函數(shù)切線的多種方法考點3：切線的應(yīng)用【例13】(2017合肥模擬)點P是曲線x2-y-ln x0上的任意一點，則點P到直線yx-2的最小距離為_解析：點P是曲線yx2-ln x上任意一點，當(dāng)過點P的切線和直線yx-2平行時，點P到直線yx-2的距離最小直線yx-2的斜率為1

23、，令yx2-ln x，得y2x-1，解得x1或(舍去)，故曲線yx2-ln x上和直線yx-2平行的切線經(jīng)過的切點坐標(biāo)為(1,1)因為點(1,1)到直線yx-2的距離等于，所以點P到直線yx-2的最小距離為.【點評】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾何意義，點線距離公式，解題的關(guān)鍵在于對數(shù)形結(jié)合的深刻領(lǐng)會及應(yīng)用以及學(xué)生的幾何直觀思維典型問題二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性考點1：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性【例14-1】(2017年江蘇卷)已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是_.【解析】依題意可知，所以為奇函數(shù)，則可化為，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，故實數(shù)的取值范圍是 【點評】本題主要考查函數(shù)的

24、單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)導(dǎo)數(shù)以及一元二次不等式的求解等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵在于能靈活運用基本不等式，進(jìn)而通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性【例14-2】（2015年全國卷）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時, ,則使得成立的的取值范圍是( )A.(,1)(0,1) B.(1,0)(1,) C.(,1)(1,0) D.(0,1)(1,)解析 構(gòu)造函數(shù)，則，所以則當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，又因為為奇函數(shù)且也為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞增由，當(dāng)時，當(dāng)時， ，故使得成立的的取值范圍是(,1)(0,1)，故選A【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證以及構(gòu)造能

25、力解題關(guān)鍵在于熟知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，用轉(zhuǎn)化與化歸的思想來解抽象不等式考點2： 討論含參函數(shù)的單調(diào)性【例15】(節(jié)選自2018年全國卷I)已知函數(shù).討論的單調(diào)性.【解析】的定義域為，.()若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，所以在單調(diào)遞減.()若，令得，或. 當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【點評】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵在于能對含參問題進(jìn)行靈活討論，本質(zhì)是對含參二次方程根的分布情況，可借助數(shù)形結(jié)合的方法確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)考點3：根據(jù)單調(diào)性逆向求參數(shù)【例16】(2017成都診斷)已知函數(shù)（1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減區(qū)

26、間，求實數(shù)的取值范圍【解析】(1)由，則因為函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以不等式在有解，即有解，設(shè)，則需又，所以，所以，故實數(shù)的取值范圍是(2)由在上單調(diào)遞減，即在恒成立，即恒成立，設(shè)，則需又，顯然，所以，故當(dāng)時，因為，所以恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以在上單調(diào)遞減，故實數(shù)的取值范圍為【點評】本題主要是以函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系為背景，考查對含參問題的逆向探究，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸以及參數(shù)分離解題方法的靈活運用典型問題三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值考點1：已知函數(shù)求極值【例17-1】(2017年山東卷)已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)()求曲線在點處的切線方程；()令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極

27、值時求出極值【解析】(I)略(II)令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增因為，所以時，；時，時，所以時，函數(shù)在單調(diào)遞增；時，函數(shù)在單調(diào)遞增；所以時，函數(shù)取得極小值，時，令解得(i)時，時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增；所以時，函數(shù)取得極小值，時，函數(shù)取得極大值，(ii)時，時，函數(shù)單調(diào)遞增；(iii)時，時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增；所以時，函數(shù)取得極小值，時，函數(shù)取得極大值，所以時，函數(shù)取得極大值，時，函數(shù)取得極小值，綜上所述（略）【點評】本題主要考查對函數(shù)導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值等基礎(chǔ)知識考查了函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，解題的關(guān)鍵

28、在于能靈活對含參問題進(jìn)行分類討論以及數(shù)形結(jié)合解題方法的靈活運用【例17-2】(2018泉州模擬)已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若曲線在點處的切線平行于軸,求的值；(2)求函數(shù)的極值.【解析】(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),因為曲線在點處的切線平行于軸，得，解得(2)由導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以沒有極值；當(dāng)時，令得，當(dāng)，則；當(dāng)，則，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，無極大值綜上，當(dāng)時，沒有極值；當(dāng)時，有極小值，無極大值【點評】本題主要考查對函數(shù)導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵在于靈活掌握對含參問題的分類討論技巧考點2：根據(jù)函數(shù)極值(點)逆向求參數(shù)【例18-1】(

29、2018年全國卷III)已知函數(shù)(1)若，證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；(2)若是的極大值點，求【解析】(1)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，故當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，從而，且僅當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增 又，故當(dāng)時，；當(dāng)時，(2)(i)若，由(1)知，當(dāng)時，這與是的極大值點矛盾 (ii)若，設(shè)函數(shù)由于當(dāng)時，故與符號相同又，故是的極大值點當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點如果，則當(dāng)，且時，故不是的極大值點如果，則存在根，故當(dāng)，且時，所以不是的極大值點如果，則則當(dāng)時，；當(dāng)時，所以是的極大值點，從而是的極大值點綜上，【點評】本題第一問不等式證明問題考查了考生轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，能夠體現(xiàn)考生的數(shù)學(xué)能力和思維水平第二問起點低，問題看似

30、常規(guī)，但落點高，實際解答過程對考生的邏輯思維與運算求解能力提出了很高的要求【例18-2】已知函數(shù),為實數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上存在極值點，且極值大于，求的取值范圍.【解析】(1)的定義域為,得,因為，所以恒成立，即在單調(diào)遞增(2)由(1)可知,當(dāng)時,即在單調(diào)遞增,函數(shù)無極值點當(dāng)時,，因為在上存在極值點設(shè)，則在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,所以設(shè)極值點為，則極值為由得，所以令,，則，所以在上單調(diào)遞增而，所以令，則，顯然時，即單調(diào)遞減，所以，故的取值范圍為【點評】本題主要以指數(shù)函數(shù)為背景，考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值方面的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)極值的性質(zhì)逆向求參數(shù)的范圍考查分類與整合思想、轉(zhuǎn)化

31、與化歸思想、函數(shù)與方程思想等解題的關(guān)鍵是對參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論解題的關(guān)鍵在設(shè)而不求的思想的方法，找到與的關(guān)系式，進(jìn)而將完全表示成關(guān)于的函數(shù)考點3：函數(shù)的極值(點)的性質(zhì)考查【例19-1】(2018年全國卷I理21)已知函數(shù).(1) 討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點，證明：【解析】(2)證明：由(1)知，存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng).由于f(x)的兩個極值點滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于所以等價于.設(shè)函數(shù)，由(1)知，在上單調(diào)遞減又，從而當(dāng)時，.所以，即.【點評】本題考查的題型比較常見，第一問考查含參函數(shù)單調(diào)性的分類討論問題，第二問結(jié)合第一問的結(jié)果，考查對雙變量問題的處理以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，是比較

32、常見的多變量轉(zhuǎn)化為單變量的處理方式，最后構(gòu)造函數(shù)證明不等式成立【例19-2】(2017湖北四地七校聯(lián)考)已知函數(shù)，(I)討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；(II)若f(x)有兩個極值點，證明：【解析】(I)由，得，()時，所以，取得極小值，是的一個極小值點()時，=0，令，得顯然，所以，在取得極小值，有一個極小值點()時，=，在是減函數(shù)，無極值點當(dāng),令，得顯然，所以，所以在取得極小值，在取得極大值，所以有兩個極值點綜上可知：當(dāng)時，僅有一個極值點；當(dāng)時，無極值點；當(dāng)時，有兩個極值點(II)證明：由(I)知，當(dāng)且僅當(dāng)時，有極小值點和極大值點，且是方程的兩根，所以，設(shè),所以時，是減函數(shù)，所以【點評】本題第一問

33、考查含參函數(shù)極值點的分類討論問題，與18年全國I卷類似，第二問結(jié)合第一問的結(jié)果，考查對雙變量問題的處理以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，是比較常見的多變量轉(zhuǎn)化為單變量的處理方式，最后構(gòu)造函數(shù)證明不等式成立典型問題四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值考點1：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值【例20】(2018山西模擬)已知函數(shù)(其中為常數(shù)，且)在處取得極值.(I)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(II)若在上的最大值為1，求的值.【解析】()因為，令得因為在處取得極值，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最大值為，令，解得；當(dāng)時，若時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以又，所以，解得；若時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以又，所以

34、，解得，與矛盾；若時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，矛盾綜上或【點評】本題主要考查含參函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查運算求解能力，推理論證能力；考查分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想等解決問題的關(guān)鍵靈活掌握分類討論的技巧考點2：函數(shù)最值與不等式證明【例21】（2014年全國卷理21）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線為（）求，；（）證明：【解析】（）函數(shù)的定義域為，由題意可得，故，；（）不等式（）等價于不等式（）設(shè)（），下面證明求導(dǎo)得令（），則，故在上單調(diào)遞增又，且在上連續(xù)，所以在上有唯一零點，即，即當(dāng)時，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，故在上單調(diào)遞增所以下面證明：當(dāng)時，令，則，故在上遞增，所以，命題

35、得證【評析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念，函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值等，由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍；考查運算求解能力，推理論證能力；考查分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想等解題的關(guān)鍵是對參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，采用先猜后證的思路可以有效地降低題目的難度，而分離參數(shù)法亦是解決恒成立問題的常用方法考點3：函數(shù)最值與恒成立問題【例22】(2017年全國卷II文科)設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求的取值范圍.【解析】（1），令得當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，因此在單調(diào)遞減，而，故，所以當(dāng)時，設(shè)函

36、數(shù)，所以在單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時，取，則，故當(dāng)時，取，則綜上，的取值范圍是.【點評】本題第一問主要考查含參函數(shù)的單調(diào)性討論，第二問是典型的恒成立求解參數(shù)的問題，解題的關(guān)鍵在于巧妙的放縮以及經(jīng)典指數(shù)不等式的靈活運用典型問題五：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點考點1：函數(shù)零點與參數(shù)范圍【例23-1】（2017年全國卷理科）已知函數(shù)（）討論的單調(diào)性；（）若有兩個零點，求的取值范圍【解析】（）解法一：由（I）易知，當(dāng)時，在上單調(diào)減，故在上至多一個零點，不滿足條件當(dāng)時，令令，則從而在上單調(diào)增，而故當(dāng)時，當(dāng)時當(dāng)時若，則，故恒成立，從而無零點，不滿足條件若，則，故僅有一個實根，不滿足條件若，則，注意到故在上有一個實根，

37、而又且故在上有一個實根又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個實根又在及上均至少有一個實數(shù)根，故在上恰有兩個實根綜上，解法二：（）由，得令，則，易知當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減所以，當(dāng)時，取得最大值又當(dāng)時，；當(dāng)時，且當(dāng)時，恒成立于是函數(shù)的大致圖象如右圖所示要使得有兩個零點，只需與函數(shù)的圖象有兩個交點，由圖可知，的取值范圍為【點評】本題第一問主要考查討論含參函數(shù)的單調(diào)性，第二問考查含參函數(shù)的零點存在問題，解題的關(guān)鍵在于合理找到零點的存在區(qū)間，這需要很強的思維能力同時分離參數(shù)也是求參數(shù)范圍常見方法考點2：函數(shù)零點的性質(zhì)考查【例24-1】（2016年全國卷I理科）已知函數(shù)有兩個零點.()求的取值范圍

38、；()設(shè)是的兩個零點，證明：.【解析】（I）若，則，只有一個零點若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，取b滿足且，則，故存在兩個零點若，由得或若，則，故當(dāng)時，因此在單調(diào)遞增又當(dāng)時，所以不存在兩個零點；若，則，故當(dāng)時，；當(dāng)時，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又當(dāng)時，所以不存在兩點零點綜上，的取值范圍為（II）法一：構(gòu)造部分對稱函數(shù)不妨設(shè)，由()知，在單調(diào)遞減，所以，即，而，所以設(shè)，則所以當(dāng)時，而，故當(dāng)時從而，故法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)由，不難發(fā)現(xiàn)，故得：設(shè)，則，那么，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，則，故單調(diào)遞增由因此，對于任意的，由可知、不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上，

39、不妨設(shè)，則必有令，則有而，在上單調(diào)遞增，因此：整理得：【點評】本題第一問考查含參函數(shù)的零點個數(shù)問題，第二個考查函數(shù)的零點的性質(zhì)，即極值點便宜問題考查運算、構(gòu)造以及求解能力，推理論證能力；考查分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想等解題關(guān)鍵在于構(gòu)造出對稱函數(shù)或者差量函數(shù)，進(jìn)而證明不等式成立【例24-2】（2010年天津卷理節(jié)選）已知函數(shù) ，如果，且 ，證明：【解析一】，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，時， 函數(shù)在處取得極大值，且,如圖所示.由，不妨設(shè)，則必有，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，也即對恒成立.由，則，所以，即，又因為，且在上單調(diào)遞減，所以，即證【解析二】欲證，即證，由法一

40、知，故，又因為在上單調(diào)遞減，故只需證，又因為，故也即證，構(gòu)造函數(shù)，則等價于證明對恒成立.由，則在上單調(diào)遞增，所以，即已證明對恒成立，故原不等式亦成立.【解析三】由，得，化簡得，不妨設(shè)，由法一知，.令，則，代入式，得，反解出，則，故要證：，即證：，又因為，等價于證明：，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，從而也在上單調(diào)遞增，即證式成立，也即原不等式成立.【點評】本題主要考查對極值點便宜問題的處理，解題的關(guān)鍵在于深刻理解極值點偏移的本質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)造需要的對稱函數(shù)或者差量函數(shù)四、過關(guān)練習(xí)【練習(xí)1】(2016·新課標(biāo)II卷理12)已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為，···

41、;，則A0 B C D【解法一】由于，不妨設(shè)，與函數(shù)的交點為，故，故選C【解法二】由于，所以函數(shù)關(guān)于對稱函數(shù)也關(guān)于對稱，所以函數(shù)與圖象的交點關(guān)于對稱，所以，故選C【練習(xí)2】(2014年全國卷理11)已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍為( )A B C D【解析】觀察選項，考慮和的情況當(dāng)時，故易得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，且，故有兩個零點，不符合題意，排除選項C；當(dāng)時，故易得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，且，故有唯一零點，但，不符合題意，排除選項A；當(dāng)時，故易得在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，且，故有兩個零點，不符合題意，排除選項D，故選B【練習(xí)3】(2018年全國卷理16)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是_【解析】由題意可得T=2是f（x）=2s