微分幾何陳維桓習(xí)題答案4

1、7習(xí)題答案4p. 202 習(xí)題 5.11. 設(shè)可允許的參數(shù)變換 峪=鳴位2)是保持定向的，即 det(a$)A 0,其中 &修=劊日.用9多,財(cái)表示曲面S在參數(shù)系(u1,u2)下的第一、第二類基本量，用 舞, b邵表小曲面S在參數(shù)系(v1,v2)下的第一、第二類基本量.證明：毒=9節(jié)以8，族=風(fēng)4應(yīng)證明.(1)因?yàn)閐ua = avE,所以在可允許參數(shù)變換下，g： dv：dv =1 =g du dU' = g .(a：dv： )(a ；dv ) =(g a：a ；)dv：dv '.上式兩邊作為dv1,dv2的二次型相等，所以 舞=9根狒.(2)設(shè)S的方程為- =(,)令r

2、(v ,v ) = r u (v ,v ),u (v ,v ).則有W = aE_. 丁是122 1、A & =0代.)(a?匚)=(aa2 -%a2)r1 & =det(a：)r1 頃因?yàn)閐et(a3)0,這說明在兩個(gè)參數(shù)系下，有12、n(v ,v ) = n u (v ,v ),u (v ,v ).丁是b：序dv dv- - -dr dn - -(dr dn) = b du du'=b (a dv )(a"dv)= (b a:a")dv dv '.和(1)中一樣，可得b°p=b斟狒.并且證明H在第1題4.驗(yàn)證：曲面S的平均曲率H

3、可以表示成H =【b&g”,2的參數(shù)變換下是不變的.證明.(1)證法一：直接驗(yàn)證.由定義,2g =det g")= gng22,11 g22g =一g12 g212g = -一 =gg因此H _ b 1g 222 bg 12 b 也 2 g11g2 2 g 12 2g=2 bug112b!2g12b22g22=； Sg11bg12b21g21b22g22 =；b： g -.證法二：運(yùn)用 Weingarten變換W .由定義，W（r：）=m =b,.所以（矽）是 Weingarten變換W在切空間的基,己下的矩陣.它的兩個(gè)特征值 響，又2,也就是主曲率，滿足12= trace（

4、b：；） = b1 房=b = b ： g ： = b g ：.所以1'2 _ 1 h 一"H - 一2 - 2 b ：!" g a一一，c 一» 在第1題的參數(shù)變換下，令 /知、2）為逆變換，a =號(hào)阡 則（a粉與 （珂）互為逆矩陣.故有a辟=6留揮卜格在第1題中已經(jīng)證明了g： =g、a：.a ：.所以有、.= g：g'=g a：ag；.用a#乘上式兩端，并對(duì)指標(biāo)a求和，利用（1）式可得a；=a；、= g a a：a：gg 、 ag” =g a* '；.再用g”乘上式兩端，并對(duì)指標(biāo)E求和，可得g a '=g g a ；g-； =、

5、a；g ' =a ：g .最后用a#乘上式兩端，并對(duì)指標(biāo)n求和，利用（1）式可得酷g騷=a邰尹=&阿原=產(chǎn)，即有g(shù)La京g .丁是由加日=%a g得到b：g'=b .a：a；a：a g =b （a：a）（a ；a ）g =b g =b g .所以H在第1題的參數(shù)變換下是不變的. 口注.如果采用矩陣記號(hào)，令G=（g#） , G=（蠢）,T=（af）.貝U（2）就是 G =TGT T , （3）就是G= =（Tt 廣GT.5.證明下列包等式：g%& + g沂備=-冬廠；-算=g注攻-gE必:u:u :u(3)珞= 2，其中 g =gg22 -(g2)2.證明.(1)

6、因?yàn)間亡9琪=6饑對(duì)u；'求偏導(dǎo)數(shù)，得g'-*g g- =0.:u；:u因此g：- :g，二廠 廠 ，£g = -g =g -=- 一g 、":.u；u用g中乘上式兩邊，再對(duì)聽求和，得.:u這就是(1).(2)F&g'g 二 =_g和慫-g： 一 = -gA-g :.r的=r展，竺=陽+，gfiJ=圈:u可得左邊=誨+臉丫邵(邪=圈一兩=右邊.1" g. ：-g-g: ig2. fu - fu ；:u一：fg：*g -："'g： g g 一.u:u:u左邊為-：h = g'-:=1=2，=Iggg 寸 g2

7、g M右邊為2g g 2 2 g22g u 2gfu ：_X 1g22 c 2 c01一g2g117 g217 g12：:u : u : u :u11 迫！22 為22 . 12 ： g12 . 21 01_1_J亍g ； g云g苛一2g汕.1 ；:ln g 1 ；:g 12g1=2所以成立.p. 212 習(xí)題 5.34.設(shè)S有2個(gè)不相等的常數(shù)主曲率.證明：S是圓柱面的一部分.證明.設(shè)S的2個(gè)常數(shù)主曲率為,.因?yàn)?，所以S上沒有臍點(diǎn)，可以 選取正交的曲率線網(wǎng)作為參數(shù)曲線網(wǎng)，使得N =2G.F=M=0 , LfE,因?yàn)镵1,K2是常數(shù)，由Codazzi方程(3.23)得. iEv =Lv =HEv

8、 1 . 'w E2Ev，v* +叱，2Gu - Nu - HGu 一2 Gu .因此Ev =0,Gu = 0.丁是 E =E(u) , G =G(v).作參數(shù)變換U = jjE(u)du , V = j jG(v)dv .則第一、第二基本形式成為222-2I = E(u)du +G(v)dv =du +dv ,II =，1E(u)du2 “、2G(v)dv2 =，1dU2，、2dv2.即在新的參數(shù)下E=G=1, L=Ki , N=J.為了方便起見，不妨設(shè)在原來的參數(shù) 下就有222. 2I =du +dv , II =v1du +2dv .(3)由(3.22)得R212 =0，從而由G

9、auss方程(3.19)可知LN =1又2=0.不妨設(shè)= 0. 則1=0 = 2.丁是(3)成為I=du2+dv2, II=%du2.直接計(jì)算可得圓柱面r =.jcos(仙),土 sin(' iu),v的第一、第二基本形式也是(4),見第四章第2節(jié)的例題.根據(jù)曲面論唯一性定理， 曲面S是圓柱面的一部分. 口5.已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分別是I =u2 (du2 +dv2 ), II = A(u, v)du2 + B(u, v)dv2.證明：(1)函數(shù)A(u,v),B(u,v)滿足AB三1； (2) A和B只是u的函數(shù).證明.由已知條件可得主曲率和平均曲率分別是,'2

10、 我，H=.uu2u由 Codazzi 方程(3.23)得 A BAv=HEv=0 , Bu=HGu=.因此A = A(u) , uB = A(u).由Gauss方程可得%Ku1 r11一2-u ；:uu1因此AB = 1 ,并且B =只匕僅依賴丁 u. p. 217 習(xí)題 5.42. 判斷下面給出的二次微分形式 W 能否作為空間E3中某個(gè)曲面的第一、第二 基本形式，并說明理由.(1) 中=du2 +dv2，平=du2 -dv2.222222(2) 中=du +cos u dv，甲=cos u du +dv .解.(1)不能.否則曲面有2個(gè)不相等的常數(shù)主曲率 巳=1 ,二2=-1.由上一節(jié)習(xí)

11、題4,曲面是圓柱面的一部分.但是圓柱面是可展曲面，Gauss曲率K=0，矛盾.(2)不能.如果這樣的曲面存在，貝U21, ,1 cos4 u c<1 = cos u, k2 =2 ， H =2豐 0 .由 Codazzi 方程(3.23)的第 2 式得 0 = & = HG” = -H sin 2u ,矛盾. 口4.已知中=E(u,v)du2 + G(u, v)dv2，甲=%(u, v)甲，其中 E > 0 , G > 0 .若平，平能作為某個(gè)曲面的第一、第二基本形式，問函數(shù)E,G,L應(yīng)該滿足什么條件？假定E =G .寫出滿足上述條件的函數(shù)E,G,人的具體表達(dá)式.解.

12、如果這樣的曲面S存在，則S上的點(diǎn)都是臍點(diǎn).由第四章定理1.1和定理1.2, A必須是常數(shù).情況1.九=0.則L = M=N=0 , Codazz i方程(3.23 )的2個(gè)式子自動(dòng)成立.因此只要函數(shù)E,G滿足Gauss方程.因?yàn)镚auss曲率K = 0 , E,G應(yīng)滿足也就是_2_ 2EvEuGuEvGvGuEvv6一一=°.情況 2.九#0.則 L = 7正，M =0, N = 7.G , H=" 因此 Codazz i 方程(3.23)的2個(gè)式子成立.剩下的只要函數(shù)E,G滿足Gauss方程.因?yàn)镚auss曲率K=%2 , E,G 應(yīng)滿足:|原+ | 心 '&qu

13、ot;. A 洞蚌當(dāng)E=G時(shí)，(1)成為AlnyT = 0,所以AlnE = 0.令z=u+Ev.根據(jù)復(fù)變函數(shù)知識(shí)，存在復(fù)解析函數(shù)f(z)使得lnE=f + f.因此E=G=e *=ee =|e |=|h|，九0 ,其中h =h(z) =ef也是一個(gè)在其定義域內(nèi)包不為零的復(fù)解析函數(shù).(2)式成為Aln/E = 2E ,(3)其中舄#0是常數(shù).它的一個(gè)解是4E = (1 u v )如果令z =u十Uv ,則上面的函數(shù)可以寫成L L， _、4乙 z _ 2 i zZ 2 .對(duì)任何一個(gè)在其定義域內(nèi)包不為零的復(fù)解析函數(shù)z=f(w), w = u+右1V,只要f'(w)#0,函數(shù) E(w,W)

14、=| f'(w) |2 E(f (z), f (z)冊(cè)是(3)的解.p. 227 習(xí)題 5.51.已知曲面S的第一基本形式如下，求它們的高斯曲率 K. a2(dudv2 ), v0 , a是常數(shù)； v2u2=222 I =du +eadv , a是常數(shù)；(6) l=du +G(u)dv .解. 這是等溫參數(shù)網(wǎng).由公式(5.5),22.|a| v :ln元'va2 : v2lnv& 1 a2 3 v(4)這是正交參數(shù)網(wǎng)由公式(5.4),1.iu/aK 一一 u/a eJuue(6)由公式(5.4),_一 G，_ G"G，2_G，2 -2GG”TG后2VG C應(yīng) 2GVG一4G22.證明下列曲面之間不存在等距對(duì)應(yīng)球面；(2)柱面；(3)雙曲拋物面z = x2-y2.證明.(1)球面是全臍點(diǎn)曲面，它的主曲率就是法曲率，也就是法截線的相對(duì)曲 率.因此K. = K = ± 12 _R'其中R為球面半徑.故球面的Gauss曲率k = $ a 0 . 柱面是可展曲面，因此 Gauss曲率K = 0 .(3) 對(duì)丁