流函數(shù)勢函數(shù)-第一章

1、.第六節(jié) 速度勢函數(shù)和流函數(shù)n 速度勢函數(shù)n 速度流函數(shù)n 二維流動(dòng)的表示.一、速度勢函數(shù) 定義（速度勢函數(shù)的引入及存在條件）流體運(yùn)動(dòng)無旋流動(dòng)渦旋流動(dòng)0 V否則，則稱之為渦旋流動(dòng)：0 V如果在流體域內(nèi)渦度為零，即: 無旋流動(dòng)；. 據(jù)矢量分析知識(shí)，任意一函數(shù)的梯度，取旋度恒等于零：0 對于無旋流動(dòng)，必定存在一個(gè)函數(shù) 滿足如： 或tzyx, V gradV無旋流動(dòng)，其速度矢總可以用函數(shù) 的梯度來表示，把函數(shù) 叫做速度的（位）勢函數(shù)，可以用這個(gè)函數(shù)來表示無旋流動(dòng)的流場。 通常將無旋流動(dòng)稱為有勢流動(dòng)或勢流。tzyx, .kwj viuVzwyvxu ,而引進(jìn)了勢函數(shù)后：引入勢函數(shù)的優(yōu)點(diǎn) 流速矢描述流體

2、運(yùn)動(dòng) 含有三個(gè)變量； 需要給定三個(gè)變量 刻畫流體的運(yùn)動(dòng)情況。只要一個(gè)變量（勢函數(shù)）就可以來描述流體運(yùn)動(dòng)，大大地減少了描寫流體運(yùn)動(dòng)所需的變量，簡化了問題。.由流速場與勢函數(shù)的關(guān)系可知：流速矢與等位勢面相垂直，由高位勢流向低位勢，等位勢面緊密處，位勢梯度大，相應(yīng)的流速大；等位勢面稀疏處，位勢梯度小，相應(yīng)的流速小。 V用勢函數(shù)來描述流體運(yùn)動(dòng)對于某一固定時(shí)刻 =常數(shù)為一空間曲面，稱為等勢函數(shù)面或者等位勢面。上式取不同常數(shù) 不同的等位勢面 等位勢面族。tzyx, .例1-6-1 已知流體作無旋運(yùn)動(dòng)，對應(yīng)的等勢函數(shù)線分布如 圖所示（其中， ）的，請判斷并在圖 中標(biāo)出A、B兩處流體速度的方向，并比較A、B

3、兩處流速的大小。012. 勢函數(shù)的求解 假如流體的散度為： 根據(jù)勢函數(shù)的定義有： 其中， 為三維拉普拉斯算子?？梢钥闯觯绻o定D，通過求解泊松（Poisson）方程，即可求得勢函數(shù)。zwyvxuD D 22222222zyx .求解勢函數(shù)的具體方法（僅考慮二維的情況）：（2）如已知速度場，可以先求出D，然后再求解泊松方程，最終得到勢函數(shù)。 （1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得勢函數(shù)。.定義及存在條件二、速度流函數(shù)0/,0yvxutyxvvtyxuuw 考慮二維無輻散流動(dòng)，即滿足：0udyvdxvdyudx或其流線方程為：0 V0 V無輻散流輻散流流體運(yùn)動(dòng)引入流體散度的概念

4、之后，可將流體運(yùn)動(dòng)分為：.0,dytyxudxtyxvtyxd xvyu , kV 根據(jù)格林積分公式（平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件）可知，滿足無輻散條件下:流速與該函數(shù)滿足：矢量形式：0udyvdx.積分以上的全微分形式，可以得到： =常數(shù)tyx, 上式所描述的曲線就是流線，當(dāng)然，它也是函數(shù) 的等值線。將以上引進(jìn)的函數(shù) 稱之為流函數(shù)，而流線也就是等流函數(shù)線。 對某一固定的時(shí)刻：一空間曲線流線方程積分曲線。流速與該函數(shù)的關(guān)系曲線的切線方向與流速矢的方向是相吻合的。. （2）表征流體通量在流體中任取一條有向曲線A B，順著該有向曲線流體自右側(cè)向左側(cè)的通量Q：曲線法向方向的單位矢量定義為：而：引入流

5、函數(shù)的優(yōu)點(diǎn) BAnBAdlVdlnVQ流速在曲線法向方向上的分量（1）減少表征流動(dòng)的變量dll dkndyjdxil dAB.引用流函數(shù)，并考慮：或表明:經(jīng)過兩點(diǎn)為端點(diǎn)的任何曲線的流體通量，決定于該兩點(diǎn)的流函數(shù)差，而與曲線的長度和形狀無關(guān)。 用流函數(shù)可以來方便地表征無輻散場的流體通量。 BAdxxdyyQ ABQ dljdxidydll dkn/ )( BAnBAdlVdlnVQxvyu ,.同樣，求解流函數(shù)的方法為： （1）已知渦度，直接求解泊松（Poisson）方程； （2）已知速度場，先求出渦度，然后求解泊松方程。（3）表征流體渦度由渦度的定義 ，可得到用流函數(shù)來表示的渦度表達(dá)式：可見，

6、對流函數(shù)取拉普拉斯運(yùn)算即可得到流體的渦度。yuxv 2222yx.三、二維流動(dòng)00yvxuDyuxv VVV 一般二維流動(dòng)，既不滿足無旋條件，也不滿足無輻散條件，流動(dòng)是有旋有輻散的。此時(shí)，其渦度和散度均不為零，即滿足： 無輻散渦旋流 無旋輻散流 .VVVVVV 00 VkVDyxyx22222222 kVyxvxyu 上式為大氣動(dòng)力學(xué)中廣泛采用的形式。 .習(xí)題1-6-1 已知二維流速場為： 分別求勢函數(shù)和流函數(shù)存在的條件。 習(xí)題1-6-2 請問是否存在既滿足無輻散條件又滿足無旋條件的流動(dòng)？如存在，請舉例說明。 )()2(22yxbvyxaudycxvbyaxu課 后 習(xí) 題.習(xí)題1-6-3 請證明無輻散的平面無旋流動(dòng)：（1）流函數(shù)和勢函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)（滿足二維拉普拉斯方程)（2）等勢函數(shù)線和等流函數(shù)線正交。習(xí)題1-6-4 平面流動(dòng)的流線方程為： ； 由流函數(shù)全微分 ； 當(dāng)取 常值時(shí)，也可以得到 試問兩式是否等價(jià)？請說明理由？vdyudx