解一元二次教學(xué)設(shè)計(jì)

1、解一元二次方程 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)思想解一元二次方程有四種方法，直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，這四種方 法各有千秋。 為保證學(xué)生掌握基本的運(yùn)算技能， 教學(xué)中進(jìn)行了一定量的訓(xùn)練， 但要避免學(xué)生 簡單的模仿。 我們在探究一元二次方程解法的過程中， 要加強(qiáng)思想方法的滲透， 發(fā)展學(xué)生的 思維能力。 在解一元二次方程的幾種方法中， 均需要用到轉(zhuǎn)化的思想方法。 如配方法需要將 方程轉(zhuǎn)化為能直接開平方的形式， 公式法能根據(jù)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程， 所 有這些均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。 在教學(xué)時(shí)老師引導(dǎo)學(xué)生在主動(dòng)進(jìn)行觀察、 思考核探究的基礎(chǔ)上， 體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法在其中的作用，充分發(fā)展學(xué)生的思維

2、能力。教學(xué)目標(biāo)知識與技能：1會(huì)用配方法、公式法、因式分解法解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2能夠根據(jù)一元二次方程的特點(diǎn)，靈活選用解方程的方法，體會(huì)解決問題策略的多樣 性。過程與方法：1參與對一元二次方程解法的探索，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，對結(jié)果比較、驗(yàn)證、歸納、 理清幾種解法之間的關(guān)系，并能根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?在探究一元二次方程的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度價(jià)值觀：在解一元二次方程的實(shí)踐中，交流、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)樂趣。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)： 掌握配方法、 公式法、因式分解法解一元二次方程的步驟，并熟練運(yùn)用上述方法解題。難點(diǎn)：根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)?shù)?/p>

3、方法解一元二次方程。教學(xué)方法探索發(fā)現(xiàn)，講練結(jié)合教學(xué)媒體多媒體課時(shí)安排4 課時(shí)教學(xué)過程設(shè)計(jì)第一課時(shí)、復(fù)習(xí)引入:1一元二次方程的一般形式是什么？其中a應(yīng)具備什么條件?22. X 4 0是一元二次方程嗎？其中二次項(xiàng)的系數(shù)，一次項(xiàng)的系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)各是什么？(是。二次項(xiàng)系數(shù)是 1 ,一次項(xiàng)系數(shù)是O ,常數(shù)項(xiàng)是4)3. 解下列方程：2 2(1) X =4(2) (x+3) =9學(xué)生依次回答上述問題。師總結(jié)強(qiáng)調(diào)：(1)象這種通過直接開平方求得 X的值的方法，實(shí)際上就是求2=a(a 0) 這種特殊形式的一元二次方程的解方法。2(2) 對于形如“(x+a) =b (b 0) ”型的方程，只要把 x+a看作一個(gè)整體

4、，就可以轉(zhuǎn)化2為X =b (b 0)型的方法去解決，這里滲透了“換元”的方法。2(3) 在對方程(x+3) =9兩邊同時(shí)開平方后，原方程就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程。要向?qū)W生 指出，這種變形實(shí)質(zhì)上是將原方程“降次”?！敖荡巍币彩且环N數(shù)學(xué)方法二、試著做做1. 如果(x+2) 2=9,那么 X=。2. 如果(x-3 ) 2=7，那么 X=。3. 完全平方公式是什么？4. 如果 X +2x+1= 4, 那么 X=。學(xué)生獨(dú)立求解5. 對于x2+2x-3=0這樣的方程，該怎樣求解呢？能否經(jīng)過適當(dāng)變形，將方程轉(zhuǎn)化為(x+m) 2=n (m n是常數(shù)，n 0)的形式，然后應(yīng)用直接開平法求解呢？你能總結(jié)出你解這個(gè)方程

5、的步驟嗎？學(xué)生活動(dòng)：小組討論，利用完全平方公式及上述提示尋求解法，將x2+2x-3=0變形為x2+2x+1=4，即(x+1) 2=4。并總結(jié)出解方程 x2+2x-3=0的一種方法：疋 + 及-3=O勸 TI（H斗1）'= 4 刊1 方禹= =1三、做一做把下列方程化為(x+ m) 2=n (m n是常數(shù)，n0)的形式，并求出它們的解。(1) x2+2x=48; (2) x2-4x=12 ;求出225(3) x-6x+6=0 ; (4) XX0。4學(xué)生活動(dòng)：初步體驗(yàn)用配方法解一元二次方程例1解方程X -10x-1仁0的步驟。該例題師生共同完成，學(xué)生通過此題明白每步變形的依據(jù)和目的。然后師

6、生一起總結(jié)：通過配方，把方程的一邊化為完全平方式，另一邊化為非負(fù)數(shù),一元二次方程的根，這種方法叫做解一元二次方程的配方法。四、練習(xí)：然后利用開平方的方法1.配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立:2(1) X +12x+=(x+6)2(2) X 12x+=(X _)2(3) X +8x+2=(X+)2.解方程：課本 P34練習(xí)五、小結(jié)這節(jié)課你的收獲是什么?六、作業(yè)課本 P34 1 , 2, 3七、板書設(shè)計(jì)解一元二次方程配方法x2=a (a 0)試著做做做一做例1練習(xí)直接開平方法x2+bx+c=0配方法第二課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了解一元二次方程的什么方法?解下列方程：2 2(1) X -6x

7、+4= 0(2) X +4x-16= 0今天我們一起來學(xué)習(xí)方程的二次項(xiàng)系數(shù)不是1 的一元二次方程。二、做一做2解方程 3x2-32x-48= 0師：引導(dǎo)學(xué)生觀察， 此方程和上節(jié)課方程進(jìn)行比較有什么不同， 能否轉(zhuǎn)化成二次項(xiàng)系數(shù) 為 1 的形式。學(xué)生獨(dú)立思考，積極探究，解答題目。解：略。見課本 P35師：請同學(xué)們總結(jié)用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？ 學(xué)生小組討論，相互交流自己的想法。利用配方法解一元二次方程，其一般步驟為：A先把方程整理為一般形式B.用二次項(xiàng)系數(shù)去除方程兩邊，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1C把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊（移項(xiàng)）D方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程化為（ X m）2 n

8、的形式（配方）E利用直接開方法求得方程的解（當(dāng)右邊是負(fù)數(shù)時(shí)，方程無解）三、練一練解下列方程22（ 1 ） x2-4x=12 ； （ 2 ） 3x2+2x-5=0 ；22（ 3） 2y2+y-6=0 ； （ 4） 2x2+5x+1=0四、實(shí)際應(yīng)用例3有一張長方形桌子，它的長為2m寬為Im有一塊長方形臺(tái)布，它的面積是桌面面積的 2 倍，將臺(tái)布鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長相等。求這塊臺(tái)布的長和寬（均精確到 0.01m）。小組討論： （ 1 ）題目中有哪些等量關(guān)系？（ 2）如何設(shè)未知數(shù)？根據(jù)你所設(shè)的未知數(shù)列 出一元二次方程，并解答。（ 3）算出的 x 值都可取么？為什么老師引導(dǎo)學(xué)生注意驗(yàn)證方程的解的合理

9、性，并對學(xué)習(xí)困難的學(xué)生給予及時(shí)的點(diǎn)撥和引 導(dǎo)。通過此題我們發(fā)現(xiàn)在解決實(shí)際問題時(shí)， 設(shè)未知數(shù)要靈活選擇， 同時(shí)注意檢驗(yàn)方程的解是 否符合題意，從而確定實(shí)際問題的答案。五、小結(jié)1. 配方法的基本步驟。2. 配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中,在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用到。3在解決實(shí)際問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)方程的解是否符合題意。六、作業(yè)課本P37 1 , 2五、板書設(shè)計(jì)配方法（2）配方法的一般步驟例2例3練習(xí)第三課時(shí)、導(dǎo)入新課:1.配方法的步驟是什么？學(xué)生回答：（1）將方程二次項(xiàng)系數(shù)化成 1 ; （2）移項(xiàng)；（3）配方；（4）化為（x+m

10、2=n （m, n是常數(shù)，n0）的形式；（5）用直接開平方法求得方程的解。2.用配方法解方程:22x +7x=4解：系數(shù)化成1,得：2+- 22配方，得：2 74949XX221616Z 7、281(+ )416開平方，得:7X 94414X1X22學(xué)生活動(dòng)：用配方法解一元二次方程。師：直接開平方法解一元二次方程有一定的局限性，必須符合直接開平方的條件才能利用直接開平方法；配方法雖然對任意一個(gè)一元一次方程都適用，但每做一題都要配方一次， 顯得比較麻煩，所以我們就產(chǎn)生了推導(dǎo)一個(gè)公式來求一元二次方程的解的想法。起探究用配方法解方程：a2+bx+c=0（a 0）學(xué)生活動(dòng)：自主探究，按照配方法的步驟逐

11、步求解。解：系數(shù)化成1，（兩邊同除以a）得：X移項(xiàng)（把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊），得:X2配方（兩邊同時(shí)加上（衛(wèi)）2）2a，得:4a2化為（x+m） 2=n （m n是常數(shù),n 0）的形式，得:b24a2(X 2b-)2丄2a4ac4a2師：接著讓學(xué)生討論：此時(shí)可以用開平方法求解嗎?讓學(xué)生充分發(fā)表意見后，教師指出：因?yàn)閍 0 ,所以4a2當(dāng)b24ac 0 時(shí),可以用開平方法得X 一2ab2 4ac4a2再讓學(xué)生討論b2 4ac4a2b2 4ac2a嗎？（學(xué)生討論，教師講解:b2 4ac4a2b2 4ac2 al,但因?yàn)槭阶忧懊嬉延蟹枴?#177;”，所以無論0還是a0 ,最終結(jié)果總是.b22a4a

12、c)所以X 2a-b2 4aC2ab2ab2 4aC2ab b2 4ac2a這樣我們就得到了兀二次方程ax2bx0）的求根公式:b N 4ac(b2 4ac2a用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。說明：（1）用公式法解一元二次方程，實(shí)際上就是給出a、b、C的數(shù)值，然后求代數(shù)0)X式: b b24ac進(jìn)行求值的運(yùn)算。由于這樣的計(jì)算較復(fù)雜，所以要提醒學(xué)生計(jì)算時(shí)2a注意a、b、C的符號，講究計(jì)算的正確性。(2) 在運(yùn)用求根公式求解時(shí)，應(yīng)先計(jì)算b2 4ac的值；當(dāng)b2 4ac 0時(shí)，可以用公式求出兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2 4ac<o時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。三、知識應(yīng)用例解方程42+x-3=0

13、解：這里 a=4， b=1， c=-3/ b 2-4ac=1 2-4 × 4 ×( -3 ) =49>0,b >b24ac1 441 7X 2a2 283即 x1- ,x21.4說明：師生共同完成，教師規(guī)范格式并強(qiáng)調(diào)注意事項(xiàng)。注意:(1)如果方程不是一般形式，要化為一般形式后，再確定a, b, C的值(2)對a, b, C的值，要注意其正負(fù)符號，如此題中c=-3 .四、課堂訓(xùn)練：P38 練習(xí)題(1) -(4)。找四名同學(xué)上黑板做。五、小結(jié)1. 本節(jié)課我們推導(dǎo)出了一元二次方程a2+bx+c=0(a 0)的求根公式，即2a求根公式的推導(dǎo)，實(shí)際上是“配方”與“開平方”

14、的綜合運(yùn)用，對于a 0 , b2 4ac0,以及由a 0,知4a2 0等條件在推導(dǎo)過程中的應(yīng)用，亦要弄懂其道理。2. 應(yīng)用求根公式解一元二次方程，通常應(yīng)把方程寫成一般形式，并寫成a、b、C的數(shù)值以及計(jì)算b2 4ac的值，當(dāng)熟練掌握求根公式后，可以簡化求解過程。六、作業(yè):課本習(xí)題P38 1 , 2七、板書設(shè)計(jì)解一元二次方程一一公式法練習(xí)：推導(dǎo)公式：例練習(xí)第四課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入1一元二次方程的解法，已經(jīng)學(xué)過了哪幾種？（直接開平方法，配方法，求根公式法）2.對于方程2-9=0 ,上述三種解法是不是都可用？哪一種解法比較簡便？（直接開平方法）從上面的例子可見，同一個(gè)題目可以用多種方法來解，我們應(yīng)該“因題

15、而宜”，選取一種較好的解法，方法越多，我們選取的可能性就越大今天我們再學(xué)一種方法，叫做一元二次方程的因式分解法.二、一起探究我們以方程x2-9=0為例，這個(gè)方程的右邊是 0,左邊可以分解成兩個(gè)一次因式的乘積即（x+3）（x-3）=0我們知道a b=0a=0或b=0。語言表述：如果兩個(gè)因式的積等于零，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)等于零.反之，如果兩個(gè)因式有一個(gè)等于零，它們的積也就等于零.提問：1 .什么叫方程的根？（使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值）2.觀察什么數(shù)是方程的根？即什么數(shù)使方程的左邊乘積為零？（使x+3等于0或使x-3等于0）.注意用或字，意思是兩個(gè)因式中有一個(gè)等于0就可使乘積為0,不必要

16、兩個(gè)因式同時(shí)為0.因此我們可以得到 x=-3或x=3 ,即X=-3 , X2=-3像這樣，把一元二次方程的一邊劃為0 ,另一邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)一元一次方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解。三、做一做用因式分解法解下列方程:(1)2X 7x 0;(2)2 1Xx;24x290:(4)x2 2x 10學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用因式分解法完成求解過程，老師對學(xué)生困難的學(xué)生給與幫助。例 用因式分解法解下列方程：2 2 3(x-1)=2(x-1); (2) (x+5)=49.分析：這兩個(gè)方程有什么特點(diǎn)？(可以把x-1和x+5分別看作整體)解：(1)原方程可化為3(x-1) 2-2(

17、-1)=0(x-1) ( 3x-5)=O得 X-仁0，或 3x-5=05所以x11,x23(2)原方程可化為2 2(x+5) -7 =0(x+12)(x-2)=0.得 x+12=0,或 x-2=0所以x112, X2 2四、大家談?wù)?. 因式分解適當(dāng)解什么樣的一元二次方程？2. 解一元二次方程的方法有哪幾種？根據(jù)你學(xué)習(xí)的體會(huì)，談?wù)勍ǔＤ闶侨绾芜x擇解法 的。學(xué)生小組交流。結(jié)論：(1)對于一元二次方程的一般形式，當(dāng)方程左邊無常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)為0或是完全平方式時(shí)，方程均可使用因式分解法求解。(2) 在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法因式分解法對解某些一元二次方程是最簡單的方法.在解一元二次方程時(shí)，應(yīng)據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ?(3) 直接開平方法與因式分解法中都蘊(yùn)含著由二次方程向一次方程轉(zhuǎn)化的思想方法.由 高次方程向低次方程的轉(zhuǎn)化是解高次方程的思想方法.請你用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?x+2) 2=2x+4;(3x+1)2-4=0;2 2(3) 3x-2=9x-4; 4