復(fù)合函數(shù)微分法61654PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)微分法61654第1頁(yè)/共24頁(yè)3. 5 多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分分 xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz zuvxyxy第2頁(yè)/共24頁(yè)1212,1,2,mjjjmjuuuyyyyjnxuxuxux其中1212 ddddnnyyyyxxxxxx1212( ,),( ,),1,2,miinyf u uuuu x xxim及第3頁(yè)/共24頁(yè)zuvxxzuvxwxxdddd.ddddzzuzvzwxuxv xwx全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)可可形形象象地地表表示示為為第4頁(yè)/共24頁(yè)zuvttt211)sin(ttuvet .11)sin(cos2

2、tttet .11)sin(cosdd2tttetzt 第5頁(yè)/共24頁(yè)第6頁(yè)/共24頁(yè)zxyxyuvtxy,xttzxvvzxuuzxz .yttzyvvzyuuzyz 有有則則而而類類似似地地 ),(, ),(, ),( ),(),(),( ), ,( yxtyxvyxufzyxttyxvvyxuutvufz 第7頁(yè)/共24頁(yè)zuvxyx,dd xvvzxuuzxz yuuzyz 有有則則設(shè)設(shè)例如例如 ),(),( ),( ),( ),( :xyxfzxvyxuvufz 第8頁(yè)/共24頁(yè)zuxyxy,xfxuufxz .yfyuufyz 有有則則若若,),( ),( ), ,(yxyxfz

3、yxuyxufz 第9頁(yè)/共24頁(yè)例例 2 2設(shè)設(shè)vezusin ，而，而xyu 2 ，yxv 2， 求求xz ，yz . . xvvzxuuzxz 解解:)cossin(22cos2sinvxvyexveyveuuu );cos()sin(2222yxxyxyexy yvvzyuuzyz )cossin2(cos2sinvvxevexveuuu ).cos()sin(2222yxyxxexy zuvxyxy第10頁(yè)/共24頁(yè)例例 3.3.設(shè)設(shè))(uxFxyz ，而，而xyu ，)(uF為可導(dǎo)函數(shù)，為可導(dǎo)函數(shù)， 證明：證明：xyzyzyxzx . . 證證：)()()()(uFxyuFyxuu

4、FxuFyxz ， ),()(uFxyuuFxxyz .xyz )()()(uFyxyuFyuxFxyyzyxzx 第11頁(yè)/共24頁(yè)例例 4 4設(shè)設(shè)222),(zyxezyxfu ，yxzsin2 ， 解解：xzzfxfxu 求求xu 和和yu . . yxzexezyxzyxsin222222222 ).sin21(222sin2422yxxeyxyx yzzfyfyu yxzeyezyxzyxcos222222222 zuxyxy).cossin(24sin2422yyxyeyxyx 第12頁(yè)/共24頁(yè)例例 5 5設(shè)設(shè)) ,(2xyyxfz ，f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 求求

5、xz ，22xz ，yxz 2. . 解解：設(shè)設(shè)yxu ，2xyv ， ),( vufz 則則xfyxffyfxxzvuvu 2222)( )(2xvfxufyxvfxufvvvuuvuu )(222vvvuuvuufyfyfyf uxyfvxyuxyufvxyuxyvfvxyxvfxufxzvu .242vvuvuufyfyf ,2vufyf 第13頁(yè)/共24頁(yè) 為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可不設(shè)為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可不設(shè)yxu ，2xyv ，而，而 把把2 , xyyx 分別簡(jiǎn)記為分別簡(jiǎn)記為 1 1，2 2，則有，則有1ffu ，2ffv ， 11ffuu ， 12ffuv ，22ffvv . . v

6、vuvuyfyfyyffyfyyxz2)(222 vvvvuuvuuyfyvfyufyyvfyuf22 vvvvuuvuuyfxyffyxyff22) 1(22 uxyufvxyuxyvfvxy.22)2(32vvvuvuuyffxyfyxyf 第14頁(yè)/共24頁(yè)例例 6 6設(shè)設(shè)) ,(xyzzyxfw ，f具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 求求xw 及及zxw 2. . 12xyfzxyz, 21fyzfxw ,)(221212zfyzyfzfyzffzzxw 第15頁(yè)/共24頁(yè)12xyifzxyz)2 , 1( i,)(221212zfyzyfzfyzffzzxw ,12111xyf

7、fzf ,22212xyffzf 22221212112 zfxyyzfyfxyffzxw 故故.)(22221211yfzfxyfzxyf 第16頁(yè)/共24頁(yè)例例 7 7設(shè)設(shè)),(3xyxyfxz ， f 具具有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 解解：2214213)1(fxfxxfxfxyz ， ) (22222122xyfyfxxf .2422114213yfyfxxffx ,222123115xffxfx 12xyfxy12xyxyif)2 , 1( i),1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz 第17頁(yè)/共24頁(yè)例例 8 8設(shè)設(shè))(),(xygyxxyfz ，

8、其其中中 f 具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， g g具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，求求yxz 2. . 解解：gxyfyyfxz 221 1 ， ) ( 1221112fyxxfyfyxz )(1 ) (11 22222122gxygxfyxxfyfy . 1 1 3222311221gxygxfyxxyffyf 第18頁(yè)/共24頁(yè)第19頁(yè)/共24頁(yè)11112122221212121121121dd,ddd,dnnmnmmmnnjjjnjjjmnmjjjuuuxxxxuuuxyyyxxxuuuxuuuxxxuxxuxyyyxuuuuxx1212dd,dmmuuyyyuuuu第20頁(yè)/共24頁(yè)121121ddddyyyyuuuuuu即第21頁(yè)/共24頁(yè)例例 9 9 已已知知02 zxyeze，利利用用全全微微分分形形式式不不變變性性， ,2 zxyeyexz.2 zxyexeyz,d)2(d)2(dyexexeyezzxyzxy ),dd(d)2(xyyxez