函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明方法.

1、函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明方法.（ 1）定義法 。用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是取值，設(shè)，且； 作差 ，求；變形（合并同類項(xiàng)、通分、分解因式、配方等）向有利于判斷差值符號(hào)的方向變形；定號(hào)，判斷的正負(fù)符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)， 應(yīng)分類討論； 下結(jié)論 ，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論。例 1. 判斷函數(shù)在( 1， ) 上的單調(diào)性，并證明解： 設(shè) 1<x1<x2，則 f(x 1) f(x 2) 1<x1<x2， x1 x2<0， x1 1>0， x2 1>0.當(dāng) a>0 時(shí)， f(x 1) f(x 2)<0 ， 即 f(x 1)<f(x 函數(shù) y

2、 f(x) 在 ( 1， ) 上單調(diào)遞增當(dāng) a<0 時(shí)， f(x 1) f(x 2)>0 ， 即 f(x 1)>f(x函數(shù) y f(x) 在 ( 1， ) 上單調(diào)遞減2) ，2) ，例 2.證明函數(shù)在區(qū)間和上是增函數(shù)；在上為減函數(shù)。 （增兩端，減中間）證明：設(shè)，則因?yàn)?，所?所以，所以所以設(shè)則，因?yàn)?，所以所以所以，同理，可得?2）運(yùn)算性質(zhì)法 . 在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)， 減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù) （增 +增=增；減 +減 =減；增 -減=增，減 -增=減）若.當(dāng)函數(shù) 函 數(shù).二者有相反的單調(diào)性。運(yùn)用已

3、知結(jié)論，直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)等。（ 3）圖像法 . 根據(jù)函數(shù)圖像的上升或下降判斷函數(shù)的單調(diào)性。例 3. 求函數(shù)的單 調(diào)區(qū)間。解：在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)的圖像得所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為減區(qū)間為.（ 4）復(fù)合函數(shù)法 . （步驟：求函數(shù)的定義域；分解復(fù)合函數(shù)；判斷內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)性. 若集合是內(nèi)層函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，則便是原復(fù)合函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，如例 4；若不是內(nèi)層函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，則需把劃分成內(nèi)層函數(shù)的若干個(gè)單調(diào)子區(qū)間，這些單調(diào)子區(qū)間便分別是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，如例 5.）設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)， 則在上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異

4、減” 來(lái)確定，即“里外”函數(shù)增減性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。如下表：增增增增減減減增減減減增例 4.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解原函數(shù)是由外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)復(fù)合而成的；易知是外層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；令，解得的取值范圍為；由于是內(nèi)層函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間，于是便是原函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間；根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的復(fù)合原則知，是原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。例 5 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 .解原函數(shù)是由外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)復(fù)合而成的；易知和都是外層函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；令，解得的取值范圍為；結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知不是內(nèi)層函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間， 但可以把區(qū)間劃分成內(nèi)層函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)子區(qū)間和，其中是其單調(diào)減區(qū)間，是其單調(diào)增區(qū)間；于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的復(fù)合原則知，是原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，是原