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文檔簡介
1、初二數(shù)學(xué)三角形、四邊形動點(diǎn)問題分析與講解所謂“ 動點(diǎn)問題 ”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點(diǎn) , 它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目 . 解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜 , 靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題 .關(guān)鍵 : 動中求靜 .數(shù)學(xué)思想:分類思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想例題分析與講解:1. 如圖,在直角梯形 ABCD 中,AD BC, B=90°,AD=24cm ,AB=8cm , BC=26cm ,動點(diǎn) P 從 A 開始沿 AD 邊向 D 以 1cm/s 的速度運(yùn)動;動點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 開始沿 CB 邊向 B 以 3cm/s 的速度運(yùn)動 P、Q 分別從點(diǎn) A、C 同時(shí)出發(fā),當(dāng)其
2、中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 ts( 1)當(dāng) t 為何值時(shí),四邊形 PQCD 為平行四邊形?( 2)當(dāng) t 為何值時(shí),四邊形 PQCD 為等腰梯形?( 3)當(dāng) t 為何值時(shí),四邊形 PQCD 為直角梯形?分析:( 1)四邊形 PQCD 為平行四邊形時(shí) PD=CQ ( 2)四邊形 PQCD 為等腰梯形時(shí) QC-PD=2CE ( 3)四邊形 PQCD 為直角梯形時(shí) QC-PD=EC 所有的關(guān)系式都可用含有 t 的方程來表示,即此題只要解三個方程即可解答:解:( 1)四邊形 PQCD 平行為四邊形 PD=CQ 24-t=3t解得: t=6即當(dāng) t=6 時(shí),四邊形 PQCD
3、平行為四邊形( 2)過 D 作 DEBC 于 E則四邊形 ABED 為矩形 BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm四邊形 PQCD 為等腰梯形 QC-PD=2CE即 3t-( 24-t )=4解得: t=7(s)即當(dāng) t=7 (s)時(shí),四邊形 PQCD 為等腰梯形( 3)由題意知: QC-PD=EC 時(shí),四邊形 PQCD 為直角梯形即 3t-( 24-t )=2解得: t=6.5 (s)即當(dāng) t=6.5 ( s)時(shí),四邊形 PQCD 為直角梯形點(diǎn)評:此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形,直角梯形的判定,難易程度適中2.如圖, ABC 中,點(diǎn) O 為 AC 邊上的一個動點(diǎn),過點(diǎn) O 作直線
4、 MN BC ,設(shè) MN 交 BCA 的外角平分線 CF 于點(diǎn) F,交 ACB 內(nèi)角平分線 CE 于 E( 1)試說明 EO=FO ;( 2)當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動到何處時(shí),四邊形 AECF 是矩形并證明你的結(jié)論;( 3)若 AC 邊上存在點(diǎn) O,使四邊形 AECF 是正方形,猜想 ABC 的形狀并證明你的結(jié)論分析:( 1)根據(jù) CE 平分 ACB ,MN BC ,找到相等的角,即 OEC= ECB ,再根據(jù)等邊對等角得 OE=OC ,同理 OC=OF ,可得 EO=FO ( 2)利用矩形的判定解答,即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形( 3)利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答解答:解:( 1) CE 平
5、分 ACB , ACE= BCE , MNBC, OEC= ECB , OEC= OCE , OE=OC ,同理, OC=OF , OE=OF ( 2)當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動到 AC 中點(diǎn)處時(shí),四邊形AECF 是矩形如圖 AO=CO ,EO=FO ,四邊形 AECF 為平行四邊形, CE 平分 ACB , ACE= ACB ,同理, ACF= ACG , ECF= ACE+ ACF=( ACB+ ACG )=×180°=90°,四邊形 AECF 是矩形( 3) ABC 是直角三角形四邊形 AECF 是正方形, AC EN ,故 AOM=90° ,MNBC, BC
6、A= AOM , BCA=90° , ABC 是直角三角形點(diǎn)評:本題主要考查利用平行線的性質(zhì) “等角對等邊 ”證明出結(jié)論( 1),再利用結(jié)論( 1)和矩形的判定證明結(jié)論( 2),再對( 3)進(jìn)行判斷解答時(shí)不僅要注意用到前一問題的結(jié)論, 更要注意前一問題為下一問題提供思路, 有相似的思考方法 是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用3.如圖,直角梯形 ABCD 中, AD BC , ABC=90° ,已知 AD=AB=3 ,BC=4 ,動點(diǎn) P 從 B 點(diǎn)出發(fā),沿線段 BC 向點(diǎn) C 作勻速運(yùn)動;動點(diǎn) Q 從點(diǎn) D 出發(fā),沿線段 DA 向點(diǎn) A 作勻速運(yùn)動過 Q 點(diǎn)垂直于 AD
7、 的射線交 AC 于點(diǎn) M,交 BC 于點(diǎn)NP、Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),速度都為每秒 1 個單位長度當(dāng) Q 點(diǎn)運(yùn)動到 A 點(diǎn),P、 Q 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn) Q 運(yùn)動的時(shí)間為 t 秒( 1)求 NC ,MC 的長(用 t 的代數(shù)式表示);( 2)當(dāng) t 為何值時(shí),四邊形 PCDQ 構(gòu)成平行四邊形;( 3)是否存在某一時(shí)刻, 使射線 QN 恰好將 ABC 的面積和周長同時(shí)平分?若存在,求出此時(shí) t 的值;若不存在,請說明理由;( 4)探究: t 為何值時(shí), PMC 為等腰三角形分析:( 1)依據(jù)題意易知四邊形 ABNQ 是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ , BC 、AD 已知,
8、DQ 就是 t,即解; AB QN, CMN CAB , CM : CA=CN :CB ,(2)CB 、CN 已知,根據(jù)勾股定理可求 CA=5 ,即可表示 CM ;四邊形 PCDQ 構(gòu)成平行四邊形就是 PC=DQ ,列方程 4-t=t 即解;( 3)可先根據(jù) QN 平分 ABC 的周長,得出 MN+NC=AM+BN+AB ,據(jù)此來求出 t 的值然后根據(jù)得出的 t 的值,求出 MNC 的面積,即可判斷出 MNC 的面積是否為 ABC 面積的一半,由此可得出是否存在符合條件的t 值( 4)由于等腰三角形的兩腰不確定,因此分三種情況進(jìn)行討論:當(dāng) MP=MC 時(shí),那么 PC=2NC ,據(jù)此可求出 t
9、的值當(dāng) CM=CP 時(shí),可根據(jù) CM 和 CP 的表達(dá)式以及題設(shè)的等量關(guān)系來求出 t 的值當(dāng) MP=PC 時(shí),在直角三角形 MNP 中,先用 t 表示出三邊的長,然后根據(jù)勾股定理即可得出 t 的值綜上所述可得出符合條件的t 的值解答 :解:( 1) AQ=3-t CN=4- ( 3-t) =1+t在 Rt ABC 中, AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5在 Rt MNC 中, cos NCM=,CM=( 2)由于四邊形 PCDQ 構(gòu)成平行四邊形 PC=QD ,即 4-t=t解得 t=2 ( 3)如果射線 QN 將 ABC 的周長平分,則有:MN+NC=AM+BN+AB即: ( 1+t
10、) +1+t=( 3+4+5 )解得: t= (5 分)而 MN= NC= (1+t ) SMNC=(1+t )2= (1+t ) 2當(dāng) t=時(shí), SMNC= (1+t )2=×4×3不存在某一時(shí)刻t,使射線 QN 恰好將 ABC 的面積和周長同時(shí)平分( 4)當(dāng) MP=MC 時(shí)(如圖 1)則有: NP=NC即 PC=2NC 4-t=2 ( 1+t )解得: t=當(dāng) CM=CP 時(shí)(如圖 2)則有:( 1+t)=4-t解得: t=當(dāng) PM=PC 時(shí)(如圖 3)則有:在 Rt MNP 中, PM2=MN2+PN2而 MN=NC=(1+t )PN=NC-PC= (1+t )-(4
11、-t )=2t-3 ( 1+t) 2+ (2t-3 ) 2=(4-t )2解得: t1=,t2=-1 (舍去)當(dāng) t=,t=,t=時(shí), PMC 為等腰三角形點(diǎn)評:此題繁雜,難度中等,考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì) 考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法4.如圖,在矩形 ABCD 中, BC=20cm ,P, Q,M,N 分別從 A,B,C, D 出發(fā)沿 AD ,BC ,CB ,DA 方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動,當(dāng)有一個點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動邊的另一個端點(diǎn)時(shí),運(yùn)動即停止已知在相同時(shí)間內(nèi),若 BQ=xcm (x0),則 AP=2xcm ,CM=3xcm , DN=x2cm ( 1)當(dāng) x 為何值時(shí),
12、以 PQ ,MN 為兩邊,以矩形的邊( AD 或 BC )的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形;( 2)當(dāng) x 為何值時(shí),以 P, Q,M,N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形;( 3)以 P,Q ,M,N 為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能,求x 的值;如果不能,請說明理由分析:以 PQ ,MN 為兩邊,以矩形的邊( AD 或 BC )的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形的必須條件是點(diǎn) P 、 N 重合且點(diǎn) Q 、 M 不重合,此時(shí) AP+ND=AD 即 2x+x2=20cm ,BQ+MC BC 即 x+3x 20cm;或者點(diǎn) Q、M 重合且點(diǎn) P、N 不重合,此時(shí) AP+NDAD 即 2x+x220cm,
13、BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm 所以可以根據(jù)這兩種情況來求解 x 的值以 P,Q,M,N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的話,因?yàn)橛傻谝粏柨芍c(diǎn)Q 只能在點(diǎn) M 的左側(cè)當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) N 的左側(cè)時(shí), AP=MC ,BQ=ND ;當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) N的右側(cè)時(shí), AN=MC , BQ=PD 所以可以根據(jù)這些條件列出方程關(guān)系式如果以 P ,Q,M, N 為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形,則必須使得AP+NDAD 即2x+x2 20cm,BQ+MC BC 即 x+3x 20cm,AP=ND 即 2x=x2 ,BQ=MC 即 x=3x ,x0這些條件不能同時(shí)滿足,所以不能成為等腰梯形解答:解:( 1)當(dāng)點(diǎn)
14、P 與點(diǎn) N 重合或點(diǎn) Q 與點(diǎn) M 重合時(shí),以 PQ ,MN 為兩邊,以矩形的邊( AD 或 BC )的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) N 重合時(shí),由 x2+2x=20 ,得 x1=-1,x2=-1(舍去)因?yàn)?BQ+CM=x+3x=4 (-1) 20 ,此時(shí)點(diǎn) Q 與點(diǎn) M 不重合所以 x=-1 符合題意當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn) M 重合時(shí),由 x+3x=20 ,得 x=5此時(shí) DN=x2=25 20,不符合題意故點(diǎn) Q 與點(diǎn) M 不能重合所以所求 x 的值為-1( 2)由( 1)知,點(diǎn) Q 只能在點(diǎn) M 的左側(cè),當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) N 的左側(cè)時(shí),由 20- (x+3x )=20- (2
15、x+x2 ),解得 x1=0 (舍去), x2=2 當(dāng) x=2 時(shí)四邊形 PQMN 是平行四邊形當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) N 的右側(cè)時(shí),由 20- (x+3x )=(2x+x2 )-20 ,解得 x1=-10 (舍去), x2=4 當(dāng) x=4 時(shí)四邊形 NQMP 是平行四邊形所以當(dāng) x=2 或 x=4 時(shí),以 P, Q,M,N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形( 3)過點(diǎn) Q,M 分別作 AD 的垂線,垂足分別為點(diǎn) E,F(xiàn)由于 2x x,所以點(diǎn) E 一定在點(diǎn) P 的左側(cè)若以 P,Q, M,N 為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形,則點(diǎn) F 一定在點(diǎn) N 的右側(cè),且 PE=NF ,即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0
16、(舍去), x2=4 由于當(dāng) x=4 時(shí),以 P, Q,M,N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,所以以 P, Q,M,N 為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形點(diǎn)評:本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點(diǎn)5.如圖,在梯形 ABCD 中,AD BC ,B=90°,AB=14cm ,AD=15cm ,BC=21cm ,點(diǎn) M 從點(diǎn) A 開始,沿邊 AD 向點(diǎn) D 運(yùn)動,速度為 1cm/s ;點(diǎn) N 從點(diǎn) C 開始,沿邊 CB 向點(diǎn) B 運(yùn)動,速度為 2cm/s 、點(diǎn) M、N 分別從點(diǎn) A、C 出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t 秒( 1)當(dāng) t 為何值時(shí),
17、四邊形 MNCD 是平行四邊形?( 2)當(dāng) t 為何值時(shí),四邊形 MNCD 是等腰梯形?分析:( 1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),對邊相等,求得( 2)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì),下底減去上底等于t 值;12,求解即可解答:解:( 1) MD NC,當(dāng) MD=NC ,即 15-t=2t ,t=5 時(shí),四邊形 MNCD 是平行四邊形;( 2)作 DE BC ,垂足為 E,則 CE=21-15=6 ,當(dāng) CN-MD=12 時(shí),即 2t-( 15-t ) =12 ,t=9 時(shí),四邊形 MNCD 是等腰梯形點(diǎn)評:考查了等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì),動點(diǎn)問題是中考的重點(diǎn)內(nèi)容6.如圖,在直角梯形 ABCD 中, AD B
18、C , C=90°,BC=16 , DC=12 ,AD=21 ,動點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出發(fā),沿射線 DA 的方向以每秒 2 個單位長的速度運(yùn)動,動點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā),在線段 CB 上以每秒 1 個單位長的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動,P、Q 分別從點(diǎn) D、C 同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn) Q 運(yùn)動到點(diǎn) B 時(shí),點(diǎn) P 隨之停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)( 1)設(shè) BPQ 的面積為 S,求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系;( 2)當(dāng) t 為何值時(shí),以 B、P、 Q 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?分析:( 1)若過點(diǎn) P 作 PM BC 于 M,則四邊形 PDCM 為矩形,得出 PM=DC=12 ,由QB=16
19、-t,可知: s=PM× QB=96-6t;( 2)本題應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論,若PQ=BQ ,在 Rt PQM中,由PQ2=PM2+MQ2 ,PQ=QB ,將各數(shù)據(jù)代入,可將時(shí)間t 求出;若 BP=BQ ,在 RtPMB 中,由 PB2=BM2+PM2 ,BP=BQ ,將數(shù)據(jù)代入,可將時(shí)間 t 求出;若 PB=PQ ,PB2=PM2+BM2 , PB=PQ ,將數(shù)據(jù)代入,可將時(shí)間t 求出解答:解:( 1)過點(diǎn) P 作 PM BC 于 M ,則四邊形 PDCM 為矩形 PM=DC=12 , QB=16-t , s=?QB?PM=(16-t )×12=96-6t (0t )(
20、2)由圖可知, CM=PD=2t ,CQ=t ,若以 B、 P、 Q 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,可以分三種情況:若 PQ=BQ ,在 RtPMQ 中,PQ2=t2+122 ,由 PQ2=BQ2 得 t2+122=( 16-t )2,解得;若 BP=BQ ,在 Rt PMB 中,PB2=(16-2t )2+122 ,由 PB2=BQ2 得(16-2t ) 2+122= (16-t ) 2,此方程無解, BP PQ若 PB=PQ ,由 PB2=PQ2 得 t2+122= (16-2t )2+122 得,t2=16 (不合題意,舍去)綜上所述,當(dāng)或時(shí),以 B、 P、Q 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形點(diǎn)
21、評:本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理在解題(2)時(shí),應(yīng)注意分情況進(jìn)行討論,防止在解題過程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象7.8.直線 y=- 34x+6 與坐標(biāo)軸分別交于 A、B 兩點(diǎn),動點(diǎn) P、Q 同時(shí)從 O 點(diǎn)出發(fā),同時(shí)到達(dá) A 點(diǎn),運(yùn)動停止點(diǎn) Q 沿線段 OA 運(yùn)動,速度為每秒 1 個單位長度,點(diǎn) P 沿路線 O? B? A 運(yùn)動( 1)直接寫出 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo);( 2)設(shè)點(diǎn) Q 的運(yùn)動時(shí)間為 t(秒), OPQ 的面積為 S,求出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式;( 3)當(dāng) S= 485 時(shí),求出點(diǎn) P 的坐標(biāo),并直接寫出以點(diǎn) O、P 、 Q 為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)分析:( 1)分別令 y=0, x=0 ,即可求出 A、 B 的坐標(biāo);( 2)因?yàn)?OA=8 ,OB=6 ,利用勾股定理可得 AB=10 ,進(jìn)而可求出點(diǎn) Q 由 O 到 A 的時(shí)間是 8 秒,點(diǎn) P 的速度是 2,從而可求出,當(dāng) P 在線段 OB 上運(yùn)動(或 0t 3)時(shí),OQ=t ,OP=2t ,S=t2 ,當(dāng) P 在線段 BA
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