選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及同步練習(xí)(附答案)

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程 知識(shí)點(diǎn)1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換的作用下,點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn),稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱伸縮變換.2.極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn),叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)引一條射線,叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位,一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.注:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極

2、坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作.一般地,不作特殊說明時(shí),我們認(rèn)為可取任意實(shí)數(shù).特別地,當(dāng)點(diǎn)在極點(diǎn)時(shí),它的極坐標(biāo)為(0, )(R).和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示;同時(shí),極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的.3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,如圖所示:(2)互化公式:設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是,極坐標(biāo)是(),于是

3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)互化公式在一般情況下,由確定角時(shí),可根據(jù)點(diǎn)所在的象限最小正角.4.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn),半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過極點(diǎn),傾斜角為的直線(1)(2)過點(diǎn),與極軸垂直的直線過點(diǎn),與極軸平行的直線注:由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一,即都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo),這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對(duì)于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式,只要求至少有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對(duì)于極坐標(biāo)方程點(diǎn)可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標(biāo)滿足方程.二、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲

4、線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù),并且對(duì)于的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn)都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù),相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)中的一個(gè)與參數(shù)的關(guān)系,例如,把它代入普通方程,求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系,那么就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問

5、題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓的半徑為，點(diǎn)從初始位置出發(fā)，按逆時(shí)針方向在圓上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則。這就是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是轉(zhuǎn)過的角度。圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為：。4橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為其參數(shù)方程為，其中參數(shù)稱為離心角；焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0，2）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角

6、和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在到的范圍內(nèi)），在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)時(shí)，相應(yīng)地也有，在其他象限內(nèi)類似。5雙曲線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為其參數(shù)方程為，其中焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為7直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線的普通方程是而過，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為，其中表示直線上以定點(diǎn)為起點(diǎn)，任一點(diǎn)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，0；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，0；當(dāng)點(diǎn)與重

7、合時(shí)，=0。我們也可以把參數(shù)理解為以為原點(diǎn)，直線向上的方向?yàn)檎较虻臄?shù)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，其單位長(zhǎng)度與原直角坐標(biāo)系中的單位長(zhǎng)度相同。選修4-4 數(shù)學(xué)選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 基礎(chǔ)訓(xùn)練A組數(shù)學(xué)選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 綜合訓(xùn)練B組數(shù)學(xué)選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 提高訓(xùn)練C組數(shù)學(xué)選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程基礎(chǔ)訓(xùn)練A組一、選擇題1若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ）A BC D2下列在曲線上的點(diǎn)是（ ）A B C D 3將參數(shù)方程化為普通方程為（ ）A B C D 4化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程為（ ）A B C D 5點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ ）A B C D 6極坐標(biāo)方程表示的

8、曲線為（ ）A一條射線和一個(gè)圓 B兩條直線 C一條直線和一個(gè)圓 D一個(gè)圓二、填空題1直線的斜率為_。2參數(shù)方程的普通方程為_。3已知直線與直線相交于點(diǎn)，又點(diǎn)，則_。4直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_。5直線的極坐標(biāo)方程為_。三、解答題1已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，（1）求的取值范圍；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。2求直線和直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，及點(diǎn)與的距離。3在橢圓上找一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到直線的距離的最小值。數(shù)學(xué)選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程綜合訓(xùn)練B組一、選擇題1直線的參數(shù)方程為，上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)是，則點(diǎn)與之間的距離是（ ）A B C D 2參數(shù)方程為表示的曲線是（ ）A一條直線 B兩條直線 C一條射線 D兩條射線

9、3直線和圓交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A B C D 4圓的圓心坐標(biāo)是（ ）A B C D 5與參數(shù)方程為等價(jià)的普通方程為（ ）A B C D 6直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ）A B C D 二、填空題1曲線的參數(shù)方程是，則它的普通方程為_。2直線過定點(diǎn)_。3點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_。4曲線的極坐標(biāo)方程為，則曲線的直角坐標(biāo)方程為_。5設(shè)則圓的參數(shù)方程為_。三、解答題1參數(shù)方程表示什么曲線？2點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離。3已知直線經(jīng)過點(diǎn),傾斜角，（1）寫出直線的參數(shù)方程。（2）設(shè)與圓相交與兩點(diǎn)，求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積。數(shù)學(xué)選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程.提高訓(xùn)練C組一、選

10、擇題1把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是（ ）A B C D 2曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（ ）A B C D 3直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（ ）A B C D 4若點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上，則等于（ ）A B C D 5極坐標(biāo)方程表示的曲線為（ ）A極點(diǎn) B極軸 C一條直線 D兩條相交直線6在極坐標(biāo)系中與圓相切的一條直線的方程為（ ）A B C D 二、填空題1已知曲線上的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，那么=_。2直線上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是_。3圓的參數(shù)方程為，則此圓的半徑為_。4極坐標(biāo)方程分別為與的兩個(gè)圓的圓心距為_。5直線與圓相切，則_。三、解答題1分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程化為普通方程：（1）為參數(shù)

11、，為常數(shù)；（2）為參數(shù)，為常數(shù)；2過點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線交于點(diǎn)，求的值及相應(yīng)的的值。新課程高中數(shù)學(xué)訓(xùn)練題組參考答案數(shù)學(xué)選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 基礎(chǔ)訓(xùn)練A組一、選擇題 1D 2B 轉(zhuǎn)化為普通方程：，當(dāng)時(shí)，3C 轉(zhuǎn)化為普通方程：，但是4C5C 都是極坐標(biāo)6C 則或二、填空題1 2 3 將代入得，則，而，得4 直線為，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)的一半為，得弦長(zhǎng)為5 ，取三、解答題1解：（1）設(shè)圓的參數(shù)方程為， （2） 2解：將代入得，得，而，得3解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)所求點(diǎn)為。新課程高中數(shù)學(xué)訓(xùn)練題組參考答案數(shù)學(xué)選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 綜合訓(xùn)練B組一、選擇題 1C 距離為2D

12、 表示一條平行于軸的直線，而，所以表示兩條射線3D ，得， 中點(diǎn)為4A 圓心為5D 6C ，把直線代入得，弦長(zhǎng)為二、填空題1 而，即2 ，對(duì)于任何都成立，則3 橢圓為，設(shè)，4 即5 ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 而，即，得三、解答題1解：顯然，則 即得，即2解：設(shè)，則即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。3解：（1）直線的參數(shù)方程為，即 （2）把直線代入得，則點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積為新課程高中數(shù)學(xué)訓(xùn)練題組參考答案數(shù)學(xué)選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 提高訓(xùn)練C組一、選擇題 1D ，取非零實(shí)數(shù)，而A，B，C中的的范圍有各自的限制2B 當(dāng)時(shí)，而，即，得與軸的交點(diǎn)為； 當(dāng)時(shí)，而，即，得與軸的交點(diǎn)為3B ，把直線代入得，弦長(zhǎng)為4C 拋物線為，準(zhǔn)線為，為到準(zhǔn)線的