排列與組合的概念.

1、文件 sxgdja0016.doc科目 數(shù)學(xué)年級 高中章節(jié) 關(guān)鍵詞 排列/組合 /概念 標(biāo)題 排列與組合的概念內(nèi)容 北京市五中 肖鈺教學(xué)目標(biāo)1. 正確理解排列、組合的意義2. 掌握寫出所有排列、所有組合的方法，加深對分類討論方法的理解3. 發(fā)展學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力教學(xué)重點與難點重點：正確理解兩個原理（加法原理、乘法原理）以及排列、組合的概念 難點：區(qū)別排列與組合教學(xué)過程設(shè)計師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個基本原理，請大家完成以下兩題的練習(xí)：（用投影儀出示）1. 書架上層放著 50 本不同的社會科學(xué)書，下層放著 40 本不同的自然科學(xué)的書（ 1）從中任取 1 本，有多少種取法 ?（2）從中任取社

2、會科學(xué)書與自然科學(xué)書各1 本，有多少種不同的取法 ?2. 某農(nóng)場為了考察三個外地優(yōu)良品種A， B，C，計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的上地上分別進行引種試驗，問共需安排多少個試驗小區(qū) ?（全體同學(xué)參加筆試練習(xí) ）4 分鐘后，找一同學(xué)談解答和怎樣思考的 ?生：第 1（1）小題從書架上任取 1 本書，有兩類辦法，第一類辦法是從上層取社會科學(xué)書， 可以從 50本中任取 1本，有 50種方法；第二類辦法是從下層取自然科學(xué)書， 可以從 40本中 任取 1 本，有 40 種方法根據(jù)加法原理，得到不同的取法種數(shù)是50+40 90第（ 2）小題從書架上取社會科學(xué)、 自然科學(xué)書各 1本（共取出 2 本），可

3、以分兩個步驟完成： 第一步取一 本社會科學(xué)書，第二步取一本自然科學(xué)書，根據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：50×402 000第2 題說，共有 A，B，C 三種優(yōu)良品種，而每個品種在甲類型土地上實驗有三個小區(qū)，在乙類 型的土地上有三個小區(qū) , 所以共需3× 515 個實驗小區(qū)師：學(xué)習(xí)了兩個基本原理之后，繼續(xù)學(xué)習(xí)排列和組合，什么是排列?什么是組合 ?這兩個問題有什么區(qū)別和聯(lián)系 ?這是我們討論的重點先從實例入手：1. 北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準(zhǔn)備多少種不同飛機票 ? 希望同學(xué)們設(shè)計好方案，踴躍發(fā)言生甲：首先確定起點站，如果北京是起點站，終點站是上?；驈V州，

4、需要制 2 種飛機票，若 起點站是上海，終點站是北京或廣州，又需制2 種飛機票；若起點站是廣州，終點站是北京或上海，又需要 2 種飛機票，共需要 2+2+26 種飛機票 師：生甲用加法原理解決了準(zhǔn)備多少種飛機票問題能不能用乘法原理來設(shè)計方案呢 ? 生乙：首先確定起點站，在三個站中，任選一個站為起點站，有3 種方法即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站，當(dāng)選定起點站后，再確定終點站，由于已經(jīng)選了起點站，終點 站只能在其余兩個站去選那么，根據(jù)乘法原理，在三個民航站中，每次取兩個，按起點站3×26 種在前、終點站在后的順序排列不同方法共有 師：根據(jù)生乙的分析寫出所有種飛機票 生丙：（板演）

5、在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號如 有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以 表示出多少種不同的信號 ?請同學(xué)們談?wù)勛约旱南敕?生?。菏聦嵣?，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號，所以不同顏色的 同時升起可以表示出來的信號種數(shù)，也就是紅、黃、紅這三面旗子的所有不同順序的排法總 數(shù)首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個，有 3 種方法； 其次，確定中間位置的旗子，當(dāng)最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中 去取，有 2 種方法乘下那面旗子，放在最低位置 根據(jù)乘法原理

6、，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數(shù)是： 3×2×16（種）師：根據(jù)生丁同學(xué)的分析，寫出三面旗子同時升起表示信號的所有情況 （包括每個位置情 況）生戊：（板演）師：第三個實例，請全體同學(xué)都參加設(shè)計，把所有情況（包括每個位置情況）寫出來 由數(shù)字 1，2，3，4 可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) ?寫出這些所有的三位數(shù) （教師在教室巡視，過 3 分鐘找一個同學(xué)板演） 根據(jù)乘法原理，從四個不同的數(shù)字中，每次取出三個排成三位數(shù)的方法共有4×3× 2 24（個）師：請板演同學(xué)談?wù)勗鯓酉氲?? 生：第一步，先確定百位上的數(shù)字在1，2，3，4 這四個數(shù)

7、字中任取一個，有 4種取法第二步，確定十位上的數(shù)字當(dāng)百位上的數(shù)字確定以后，十位上的數(shù)字只能從余下的三個數(shù) 字去取，有 3 種方法第三步，確定個位上的數(shù)字當(dāng)百位、十位上的數(shù)字都確定以后，個位上的數(shù)字只能從余下 的兩個數(shù)字中去取，有 2 種方法根據(jù)乘法原理，所以共有 4×3×2 24 種 師：以上我們討論了三個實例，這三個問題有什么共同的地方 ? 生：都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象 師：取出的這些研究對象又做些什么 ? 生：實質(zhì)上按著順序排成一排，交換不同的位置就是不同的情況 師：請大家看書，第×頁、第×行我們把被取的對象叫做雙元素，如上面問題中

8、的民航站 、旗子、數(shù)字都是元素面第一個問題就是從 3個不同的元素中，任取 2 個，然后按一定順序排成一列，求一共有 多少種不同的排法， 后來又寫出所有排法 第二個問題， 就是從 3 個不同元素中， 取出 3 個， 然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法和寫出所有排法第三個問題呢 ? 生：從 4 個不同的元素中，任取 3 個，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的 排法，并寫出所有的排法師：請看課本，第×頁，第×行，一般地說，從 n 個不同的元素中，任取 m（ mn）個元素 （本章只研究被取出的元素各不相同的情況） ，按著一定的順序排成一列， 叫做從 n 個不同元

9、素中取出 m個元素的一個排列按著這個定義，結(jié)合上面的問題，請同學(xué)們談?wù)勈裁词窍嗤呐帕?什么是不同的排列 ?生：從排列的定義知道，如果兩個排列相同，不僅這兩上排列的元素必須完全相同，而且排 列的順序（即元素所在的位置）也必須相同兩個條件中，只要有一個條件不符合，就是不 同的排列如第一個問題中，北京廣州，上海廣州是兩上排列，第三個問題中， 213 與 423 也是兩 個排列再如第一個問題中，北京廣州，廣州北京；第二個問題中，紅黃綠與紅綠黃；第三個問 題中 231和 213雖然元素完全相同，但排列順序不同，也是兩個排列師：還需要搞清楚一個問題， “一個排列”是不是一個數(shù) ? 生：“一個排列”不應(yīng)當(dāng)

10、是一個數(shù)，而應(yīng)當(dāng)指一件具體的事如飛機票“北京廣州”是一 個排列，“紅黃綠”是一種信號，也是一個排列如果問飛機票有多少種?能表示出多少種信號只問種數(shù)，不用把所有情況羅列出來，才是一個數(shù)前面提到的第三個問題，實質(zhì)上 也是這樣的師：下面我們進一步討論：1. 在北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，有多少種不同的飛機票價與準(zhǔn)備多少種 不同的飛機票，有什么區(qū)別 ?2. 某班某小組五名同學(xué)在暑假互相都通信一次，打電話一次，通信的封數(shù)與打電話的次數(shù)是 否一致 ?3. 有四個質(zhì)數(shù) 2，3， 5，7 兩兩分別作加法、減法、乘法、除法，所得到的和、差、積、商是 否相同 ?生 A：我回答第 1 個問題前邊已經(jīng)討

11、論過有要準(zhǔn)備6 種飛機票，但票價只有三種，北京上海與上海北京，北京廣州與廣州北京，上海廣州與廣州上海票價是一樣的，共 有 3 種票價生 B：我回答第 2 個問題舉個例子，張玉同學(xué)給李剛同學(xué)寫信，李剛同學(xué)給張玉同學(xué)寫信， 這樣兩封信才算彼此通一次信而兩人通一次電話，無論是張玉打給李剛的，還是李剛打給 張玉的，兩個人都同時參與了，彼此通了一次電話師：那么通了多少封信 ?打了多少次電話 ?生 C：五個人都要給其他四位同學(xué)寫信， 5×420 封關(guān)于打電話次數(shù)，我現(xiàn)在數(shù)一數(shù)：設(shè) 五名同學(xué)的代號是 a，b，c，d，e則 ab，ac，ad，a e，be，bd，be， cd ，ce， d e共十次生

12、 D：我回答第 3 個問題減法與除法所得的差和商個數(shù)是同一個數(shù)，因為被減數(shù)與減數(shù)， 被除數(shù)與除數(shù)交換位置所得的差與商是不同的加法與乘法所得的和與積個數(shù)是同一個數(shù)， 根據(jù)加法、乘法交換律，被加數(shù)與加數(shù)，被乘數(shù)與乘數(shù)交換位置，和與積不受影響 師：有多少個差與商 ?有多少個和與積 ?生 E：2， 3，5，7 都可以做被減數(shù)和被除數(shù)，對于每一個被減數(shù)（或被除數(shù)）都對應(yīng)著有3個數(shù)作減數(shù)（或除數(shù)） ，共有 4×3 12 個差或商把交換位置的情況除去，就是和或積的數(shù) 字，即 12÷ 26師：以上三個問題六件事，有什么共同點?再按類分，類與類之間有什么區(qū)別 ?區(qū)別在哪里 ?生：都是從一些元

13、素中，任取某些元素的問題 可以分兩類一類屬于前邊學(xué)過的排列問題，即取出的元素要“按照一定的順序排成一列” ，只要交換位置，就是不同的排列前邊三個問題中的飛機票、通信封數(shù)、減法與除法運算 的結(jié)果都屬于這一類另一類是取出的元素，不必管順序，只有取不同元素時，才是不同的 情況，如飛機票價，打電話次數(shù)、加法與乘法運算的結(jié)果都屬于這一類 師：分析得很好，我們說后一類問題是從 n 個元素中任取 m（ m n）個元素，不管怎樣的順 序并成一組，求一共有多少種不同的組如以上三個問題中飛機票價題是 3 組，打電話次數(shù) 題是 10組，和與積的個數(shù)題都是 6 組請同學(xué)們看課本，第×頁第×行開始到

14、第×頁第×行結(jié)束（用 5 分鐘時間學(xué)生讀課本，教師巡視，回答學(xué)生提出的問題） 師：組合這一節(jié)講的主要內(nèi)容是什么 ?生：組合定義；什么是相同的組合，什么是不同的組合；排列與組合的區(qū)別；怎樣寫出某個 組合問題的所有組合師：現(xiàn)在請同學(xué)們回答這四個問題每位同學(xué)只說一個問題生 F：組合定義是從 n 個不同的元素中，任取 m（ m n）個元素并成一組，叫做從 n 個不同元 素中取出 m個元素的一個組合生 G：如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有 當(dāng)組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合生 H：排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)如231 與 21

15、3 是兩個排列， 2+3+1 的和與2+1+3 的和是一個組合生 I ：我舉個例子前邊生 C同學(xué)提到的 a，b，c，d，e這五個元素，寫出每次取出 2 個元 素的所有組合先把 a 從左到右依次與 b，c，d，e 組合，寫出 ab，ac，ad，ae再把 B依次與 c，d，e 組 合，寫出 bc，bd，be再把 c 依次與 d，e 組合，寫出 cd，ce最后 d與 e 組合，寫出 de前 面生 C面學(xué)已經(jīng)寫得很好師：一定要認真體會排列與組合的區(qū)別在于順序是否有關(guān)，在以后的各種實際應(yīng)用題中要區(qū) 別清楚才能尋找正確解題途徑和排列一樣，還需要區(qū)分清楚“一個組合”和“組合種數(shù)”這兩個概念一個組合不是一個

16、數(shù)，而是具體的一件事，剛才生 I 同學(xué)回答的每一種如 ab，又如 ac，, 都叫一個組合，共 10種，而 10 就是組合數(shù)怎樣寫出所有的排列和所有的組合是本節(jié)的技能方面要求，現(xiàn)在請同學(xué)們寫出由1，2，3，4中取出 3 個數(shù)所有組合（教師請生 M到黑板板演）板演：123， 124， 134， 234師：最后希望大家思考，下面的問題是排列問題，還是組合問題?怎樣解 ?1. 今欲從 1，2，3，8，9，10，12 諸數(shù)中選取兩數(shù)，使其和為偶數(shù)，問共有幾種選法?2. 有四張卡片，每張分別寫著數(shù)碼 1，2，3，4有四個空箱，分別寫著號碼 1，2，3，4把卡片放到空箱內(nèi)，每箱必須并且只能放一張，而且卡片數(shù)

17、碼與箱子號碼必須不一致，問有多 少種放法 ?（兩道題用投影儀示出） 同學(xué)們獨立思考幾分鐘，然后全班進行討論，請思考成熟的同學(xué)發(fā)言生 n：我談第 1 題要求出用兩個數(shù)碼所組成的其和為偶數(shù)的數(shù)的個數(shù)，這時按兩奇數(shù)的和為偶數(shù)與兩偶數(shù)的和為偶數(shù)這一標(biāo)準(zhǔn)，進行分類選出的兩數(shù)不考慮順序，因為交換位置其 和不變，是組合問題解法是：在 1，3，9中任選兩段： 1，3；1，9；3，9有 3個組合在 2，8，10，12 中任選兩數(shù)： 2，8；2，10；2，12；8，10；8，12；10，12有 6 個組合 根據(jù)加法原理， 3+6 9所以共有 9 種選法生 P：我談第 2 題這是從四張卡片中取出 4 張，分別放在四

18、個位置上，只要交換卡片位置， 就是不同的放法，是個附有條件的排列問題解法是： 第一步是把數(shù)碼卡片四張中 2，3，4三張任選一個放在第 1 空箱 第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2 空箱第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3 空箱第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱具體排法，我用下面圖表表示：所以，共有 9 種放法師：參加討論的同學(xué)對于什么是排列，什么是組合?一個排列與排列種數(shù)，一個組合與組合種數(shù)區(qū)別是什么 ?怎樣排列，怎樣組合都比較清楚了由于排列組合問題遇到的情況不是唯 一的，經(jīng)常使用分類討論的方法作業(yè)課本： P232練習(xí)， 1，7；P243 練習(xí) 1，2，3，4，6補充作業(yè)1. 空間有五個點，其中任何四點不共面，以每四個點為頂點作一個四面體，一共可作多少個四面體 ?（5 個）2. 用 0，2，3，5 可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)且被 5整除的三位數(shù) ?（10 個）3. 同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則