信號與線性系統(tǒng)第六

1、信號與系統(tǒng)第六章第第6章章 離散信號與系統(tǒng)的變換域分析離散信號與系統(tǒng)的變換域分析 6.1 Z變換 6.2 Z反變換 6.3 Z變換的性質(zhì) 6.4 Z變換與拉氏變換的關(guān)系 6.5 離散系統(tǒng)的Z域分析 6.6 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 6.7 離散信號與系統(tǒng)的頻域分析 6.8 數(shù)字濾波器的一般概念習(xí)題6 第第6章章 離散信號與系統(tǒng)的變換域分析離散信號與系統(tǒng)的變換域分析 上一章討論了離散信號與系統(tǒng)的時域分析，它的分析過程與連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析有很多相似之處。我們已經(jīng)知道，連續(xù)信號與系統(tǒng)的分析還可以在變換域中進(jìn)行，即傅里葉變換分析和拉普拉斯變換分析。同樣，離散信號與系統(tǒng)也存在類似的變換域分析，即離散

2、時間傅里葉變換和Z變換分析。 本章首先討論與拉普拉斯變換(LT)相對應(yīng)的Z變換(ZT)分析。利用Z變換把時域的差分方程變換成Z域的代數(shù)方程，從而使離散系統(tǒng)分析變得相當(dāng)簡便。然后，在此基礎(chǔ)上討論與傅里葉變換(CTFT，簡稱FT)相對應(yīng)的離散時間傅里葉變換(DTFT)。從而建立離散信號頻譜和系統(tǒng)頻率特性的概念。 6.1 Z變換變換 Z變換可以從拉普拉斯變換引入，本節(jié)首先給出Z變換的定義。 6.1.1 Z變換的定義變換的定義 離散信號（序列）的Z變換可直接定義為 （6.1-1）即是（z為復(fù)數(shù)）的一個冪級數(shù)。可以看出，的系數(shù)就是f(k)的值。式（6.1-1）稱為f(k)的Z變換式，為了方便，上式還常簡

3、寫為 ),1 (),0(),1(,)(fffkfF zfzfzfzfk zkk( )()( )( )() 101101fkF z()( ) 離散信號的Z變換的定義也可以由取樣信號的拉氏變換引出。一個連續(xù)信號f(t)以均勻間隔T進(jìn)行理想取樣得到取樣信號fS(t)，可表示為 （6.1-2）也就是說，取樣信號fS(t)可以表示為一系列在t = kT 時刻出現(xiàn)的強(qiáng)度為 (kT) 的沖激信號之和。其中為連續(xù)信號 f(t) 在 t = kT時刻的值，是一個離散序列。取樣信號的拉氏變換為kkskTtkTfkTttftf)()()()()(kksTsekTfsF)()(（6.1-3）取新的復(fù)變量 z，令 ，或

4、 （6.1-4）則式（6.1-3）就變成復(fù)變量 z 的表達(dá)式，即 （6.1-5）zesTsTz1lnFsfk zF zSsTzkk( )()( )ln 1 這就是離散信號或的Z變換表達(dá)式，可見，離散信號f(k)的Z變換是取樣信號fS(t)的拉氏變換FS(s)將變量s代換為變量的結(jié)果。式（6.1-4）、（6.1-5）反映了連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)以及S域與Z域間的重要關(guān)系。如果離散信號f(k)為因果序列，即 k a稱為F(z)的收斂條件。在Z平面（復(fù)平面）中， F(z)的收斂條件所對應(yīng)的區(qū)域稱為的收斂域ROC（Region of Convergence）。收斂條件z a ，在Z平面中所對應(yīng)的收

5、斂域是圓心在原點半徑為a的圓外區(qū)域，半徑a稱為收斂半徑，如圖6.1-2（a）中的陰影部分?？梢姡瑢τ趩芜匷變換，收斂域總是Z平面內(nèi)以原點為圓心的一個圓的圓外區(qū)域，圓的半徑視不同而不同。由于單邊Z變換收斂條件比較簡單，因而即使不注明收斂域也不會發(fā)生誤會，故一般情況下不再加注其收斂域。而對于雙邊Z變換，情況要復(fù)雜一些。例如 雙邊Z變換為0,0)(kbbakakfkk為正實數(shù)kkkkkkbaFz zz zz z10)(kkkkba)()(1110z zz z上式后一級數(shù)收斂條件已經(jīng)討論過，為z a ，前一個級數(shù)的收斂條件為 ，即z b 。故整個Z變換的收斂域應(yīng)為azb。當(dāng)ab ，則無收斂域，Z變換也

6、就不存在。 值得注意的是，即便是同一個雙邊Z變換的表達(dá)式，其收斂域不同，則可能對應(yīng)于兩個不同的序列。 可見，雙邊Z變換式必須注明其收斂域，否則有可能無法確定其對應(yīng)的時間序列。 由復(fù)變函數(shù)理論可知，Z變換的定義式是一羅朗級數(shù)，在收斂域內(nèi)是解析函數(shù)。1zb- -1 1 6.1.3 常見序列的單邊常見序列的單邊Z變換變換 1. 單位函數(shù) （6.1-10）可見，與連續(xù)時間系統(tǒng)單位沖激函數(shù)的拉氏變換類似，單位函數(shù)的Z變換等于1，收斂域為整個Z平面。 2. 單位階躍序列 （6.1-11）其收斂域為z a。1)()(00k-k-kkkkz zz zZ111)()(100z zz zz zz zz z-k-k

7、-kkkkZ 3. 指數(shù)序列 由前面討論 其收斂域為z a 。當(dāng) 時 （6.1-12）其收斂域為z 。 4. 單邊正弦序列和單邊余弦序列aaka-kz zz zz z111)(Z1cos2)cos)(cos2T-T(kTkz zz z- -z zz z1cos2sin)(sin2T-TkTkz zz zz zTkTke)(ez zz zZTzeTe 6.2 Z反變換反變換 利用Z變換可以把時域中對于序列f(k)的運算變換為Z域中對于F(z)的較為簡單的運算。然后將Z域中的運算結(jié)果再變回到時域中去。由已知F(z)求f(k)的運算稱為Z反變換，或Z逆變換。記為 Z反變換的方法有三種：冪級數(shù)展開法，

8、部分分式展開法和圍線積分法。這里仍然只考慮單邊Z變換的情況。 6.2.1 冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法 由Z變換的定義 k k- -1 1- -z zz zz z0)()()()(kkfFFkfZ2 2- -z zz z)2()1 ()0()()(10fzffzkfFkk 若把已知的F(z)展開成z-1的冪級數(shù)，則該級數(shù)的各系數(shù)就是序列f(k)的值。 F(z)一般為變量z的有理分式，展開為冪級數(shù)時，可以用代數(shù)學(xué)中的長除法，即將分子和分母多項式按z的降冪排列，然后將分子多項式除以分母多項式所得的商式，即為以z-1的冪級數(shù)。 在實用中，如果只需要求序列的前幾個值，長除法就很方便。使用長除法的缺點是不易

9、求得閉合表示式。 6.2.2 部分分式展開法部分分式展開法 一般Z變換式是有理分式 （6.2-1）01110111)()()(azazazabzbzbzbzDzNFnnnnmmmmz zF(z)的零點和極點的定義與拉氏變換相同，零、極點的圖形表示也與拉氏變換一樣。 對于單邊Z變換，即 k R ，包括z = 處，故F(z)的分母多項式的最高冪次不能低于分子多項式的最高冪次，即必須滿足 。類似于拉氏變換中的部分分式展開法，由于Z變換最基本的形式是 1 和 ，因此，通常不是直接展開F(z) ，而是展開 F(z) /z；然后，每個部分分式再乘以z。 6.2.3 圍線積分法圍線積分法(留數(shù)法留數(shù)法)nm

10、 az zz z單邊Z反變換的積分公式可以直接從Z變換的定義式推導(dǎo)出來。由 （6.2-6） 式（6.2-6）叫做Z反變換的積分公式，是Z反變換的一般表達(dá)式，由于圍線C包圍了的所有孤立奇點(極點)，故此積分式可運用留數(shù)定理來進(jìn)行運算，所以又稱為留數(shù)法，其表達(dá)式為 （6.2-7）式中，pm是圍線C內(nèi)F(z)zk-1的極點， Res.為極點pm的留數(shù)。 Fzfkzkk()()0CkzzzFkfd)(j21)(1mpzkmzzFkf)( sRe)(1 6.3 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 求一個序列的Z變換最基本的方法是按定義進(jìn)行幾何級數(shù)的求和。當(dāng)序列較復(fù)雜時，這種方法會很不方便。為此，我們從另一個途徑出發(fā)

11、，弄清Z變換的性質(zhì)，即序列時域和Z域間的關(guān)系，可以由一些簡單序列的Z變換導(dǎo)出復(fù)雜序列的Z變換，由此簡化Z變換及Z反變換的運算。由于Z變換的不少性質(zhì)與拉氏變換的性質(zhì)相似，從而能進(jìn)一步地理解Z變換。 由于我們所討論的是單邊Z變換。因此不存在圓內(nèi)收斂或圓環(huán)收斂問題。如果F(z)收斂，它必然是在某一圓外，所不同的是圓的大小而已。因此，如無特殊需要，我們都省去對它的收斂域的標(biāo)注。1. 線性 Z變換是一種線性運算。這個性質(zhì)只需根據(jù)Z變換的定義即可直接推出。它與拉氏變換的線性性質(zhì)相當(dāng)。 2. 移序(移位)性 這一性質(zhì)又稱左移序性質(zhì)，與拉氏變換的時域微分性質(zhì)相當(dāng)。 這一性質(zhì)又稱右移序性質(zhì)，與拉氏變換的時域積分

12、性質(zhì)相當(dāng)。 將上述性質(zhì)加以推廣，有 Z變換的移序性質(zhì)能將關(guān)于f(k)的差分方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于F(z)的代數(shù)方程，它對簡化分析離散時間系統(tǒng)起著重要的作用。)()(z zFkf)0()()1(fFkfz zz zz z若則)()(z zFkf)1()()1(fFkfz zz z- -1 1若則)()()(z zz z- -Fmkmkfm 3. 比例性（尺度變換） 4. Z域微分 5. 時域卷積定理 時域卷積定理表明兩個離散函數(shù)在時域中的卷積的Z變換，等于這兩個離散函數(shù)的Z變換的乘積，對該乘積進(jìn)行Z反變換就可以得到這個離散函數(shù)的卷積。它與拉氏變換的時域卷積定理具有完全相同的形式，它們在聯(lián)系時域和Z域的關(guān)

13、系中起著十分重要的作用。)()(z zFkfaFkfakz z)(若則)()(z zFkfzFkkfd)(d)(z zz z若則)()(11z zFkf)()()()(2121zFzFkfkf若則)()(22z zFkf6. 序列求和 利用時域卷積定理，可以得到序列求和的Z變換式。 7. 初值定理 且 存在； （6.3-16） 8. 終值定理 若 ，且 f(k) 的終值 f() 存在，則 （6.3-19）)()(z zFkf)(1 )(0z zz zFznfkn若則)()(z zFkf若則)()1(lim)(1z z- -z zFfz)(limz zFz)(lim)0(z zFfz)()(z

14、zFkf 例6.3-9說明： 當(dāng)a 1時，的終值為無窮大，當(dāng)a = 1 時，的終值為不定值，可見應(yīng)用終值定理是有條件的。為了保證 f() 存在， (z-1)F(z)的極點必須處在單位圓的內(nèi)部，或者F(z)除了在z = 1 處允許有一個一階極點外，其余極點必須單位圓內(nèi)部。否則終值定理是不成立的。Z變換的初值和終值定理分別與拉氏變換的初值和終值定理相當(dāng)，應(yīng)用這兩個性質(zhì)使我們無需求出f(k)，直接由F(z)求取的兩個特殊值 f(0) 和 f() 。 9. Z域積分)()(z zFkfvvvFkfkzd)()(11若則同理vvvFzkfakazad)()(1)1( 6.4 Z變換與拉氏變換的關(guān)系變換與

15、拉氏變換的關(guān)系 在定義Z變換時已經(jīng)知道，離散函數(shù) f(k) 的Z變換 F(z) 是連續(xù)函 f(t) 經(jīng)過理想取樣所得到的取樣函數(shù) fS(t) 的拉氏變換FS(s) ，并將變量 s 代換為變量 z=esT 的結(jié)果。而且在前面曾多處提到Z變換與拉氏變換的相似之處，可見這兩種變換并不是孤立的，它們之間有著密切的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換。 這就是由連續(xù)函數(shù)的拉氏變換直接求相應(yīng)的離散函數(shù)的Z變換的關(guān)系式。式（6.4-2）積分可以應(yīng)用留數(shù)定理來計算，即jjd)(j21)(sezszFzFsTissisTezszFzF)(sRe)(（6.4-3）（6.4-2） Z變換和拉氏變換之間的關(guān)系還可以由兩者在

16、Z平面和S平面極點間的映射關(guān)系得到更深入的了解。 設(shè)S平面中的極點 則Z平面中的極點 得 （6.4-5）這就是Z平面中的極點的模和幅角分別與S平面中的極點的實部和虛部的關(guān)系。iiisjiiiiiiiTTTTsizzjj)j(eeeeeTziiTiie 若 ，則 ，即位于S平面的虛軸上的極點映射到Z平面的單位圓上； 若 ，則 ，即位于S平面左半平面的極點映射到Z平面的單位圓的內(nèi)部； 若 ，則 ，即位于S平面右半平面的極點映射到Z平面的單位圓的外部。 特別是S平面原點 的極點映射到Z平面的 。 需要注意，S平面中的單極點映射到Z平面中并不一定是單極點，這是因為S平面中具有同樣實部而虛部相差 的兩個

17、極點（或相差 整數(shù)倍的m個極點）映射到Z平面中的極點都是相同的。 0i0i0i1iz1iz1iz0is1izT2T2反之，Z平面到S平面的映射是多值的。Z平面上一點 映射到S平面的無窮多點 S平面和Z平面之間的映射關(guān)系如圖6.4-2所示，S平面中的極點 a 和 b 分別映射到Z平面中的 a 和 b ，S平面中的極點 c, d, e 具有相同的實部而虛部相差 （或其倍數(shù)），映射到Z平面是同一點 c= d= e 。jezz TmzTzTs2j1ln1T2 6.5 離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的Z域分析域分析 與連續(xù)時間系統(tǒng)的拉氏變換分析相類似，在分析離散時間系統(tǒng)時，可以通過Z變換把描述離散時間系統(tǒng)的差分方程

18、轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。此外，Z域中導(dǎo)出的離散系統(tǒng)函數(shù)的概念同樣能更方便、深入地描述離散系統(tǒng)本身的固有特性。 離散時間系統(tǒng)的Z變換分析法與時域分析法一樣，可以分別求出零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，然后疊加求得全響應(yīng)，也可以直接求得全響應(yīng)。 一、零輸入響應(yīng) 設(shè)描述離散時間系統(tǒng)的是一個二階前向差分方程 當(dāng)輸入 x(k)=0 時，可得相應(yīng)的齊次差分方程，為)()1()2()()1()2(012012kxbkxbkxbkyakyakya對上式進(jìn)行Z變換，并應(yīng)用移序性質(zhì)，可得 式中，Y（z）就是零輸入響應(yīng)yzi(k)的Z變換，而y(0)和y(1)是零輸入初始條件yzi(0) 、 yzi(1) 。整理后，可得 （6.5

19、-1）對進(jìn)行Z反變換，即可得零輸入響應(yīng)。 對于n階系統(tǒng)，同樣可以得到相應(yīng)的結(jié)論。后向差分方程的零輸入響應(yīng)也可以用相同的方法進(jìn)行計算。0)()1()2(012kyakyakya0)()0()()1 ()0()(01222zYazyzzYazyyzzYza01221222)0()1 ()0()(azazazyayazyazYziziziZi 上述例子說明，常系數(shù)線性差分方程中，若離散函數(shù)的序號同時增加或減少同樣的數(shù)目，差分方程所描述的關(guān)系不變。若計算所需的初始條件并不是已知的零輸入初始條件時，可以用遞推的方法將已知的初始條件代入相應(yīng)的齊次差分方程中，即可得到所需的初始條件。 二、 零狀態(tài)響應(yīng) 在離

20、散時間系統(tǒng)的時域分析法中，已經(jīng)導(dǎo)出了零狀態(tài)響應(yīng)等于激勵函數(shù)與單位函數(shù)響應(yīng)的卷積和，即 對上式進(jìn)行Z變換，并應(yīng)用時域卷積定理，則有 （6.5-3）式中X(z) ， H (z)和Y (z)分別為激勵函數(shù)、單位函數(shù)響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換，最后進(jìn)行Z反變換，即可得到零狀態(tài)響應(yīng)。)()()(khkxkysz z)()()(zHzXzYzs 在連續(xù)時間系統(tǒng)中，沖激響應(yīng)h(t)的拉氏變換H(s)是連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。在離散時間系統(tǒng)中，單位函數(shù)響應(yīng)h(k)的Z變換H (z)是離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，簡稱離散系統(tǒng)函數(shù)。 連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)可以直接由微分方程的拉氏變換求出，同樣，離散時間系統(tǒng)的系

21、統(tǒng)函數(shù)H(z)也可以直接由差分方程的Z變換求出。仍然以二階前向差分方程為例，為)()1()2()()1()2(012012kxbkxbkxbkyakyakya對上式進(jìn)行Z變換，并應(yīng)用移序性質(zhì)，則有)()0()()1 ()0()()()0()()1 ()0()(0122201222zXbzxzzXbzxxzzXzbzYazyzzYazyyzzYza可得上述方法可推廣到n階前向差分方程。離散系統(tǒng)函數(shù)表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換與激勵的Z變換之比值。 類似地，可得到n階后向差分方程所描述的系統(tǒng)的離散系統(tǒng)函數(shù)。 如離散函數(shù)的序號同時增加或減少同樣的數(shù)目，離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)同樣不會改變。將離散系統(tǒng)函數(shù)

22、與差分方程相比較，可以看出兩者之間的關(guān)系。 在求得離散系統(tǒng)函數(shù)后，將離散系統(tǒng)函數(shù)與激勵函數(shù)的Z變換相乘，即得零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換，最后再進(jìn)行Z反變換后即為所求的零狀態(tài)響應(yīng)。一般地，利用Z變換分析法求解零狀態(tài)響應(yīng)比時域分析法的離散卷積求零狀態(tài)響應(yīng)要簡單得多。01220122)()()(azazabzbzbzXzYzH 三、 全響應(yīng) 當(dāng)已知零輸入初始條件時，最直觀的方法是分別求其零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，然后疊加求得全響應(yīng)。 當(dāng)已知全響應(yīng)初始條件，且無需將零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分開求時，可以通過對差分方程直接Z變換，直接求得全響應(yīng)。以二階前向差分方程為例，推導(dǎo)結(jié)果仍為式（6.5-4），與零狀態(tài)響應(yīng)不同

23、的是式（6.5-5）、（6.5-6）不能成立，這是因為y (1)和y (2)不一定為零。或者說y (0)、y (1)是由初始儲能和激勵共同引起的。應(yīng)用式（6.5-4），代入全響應(yīng)初始條件y (0)和y (1)，即得到全響應(yīng)的Z變換式，然后進(jìn)行Z反變換得到全響應(yīng)。必須注意的是對于前向差分方程來說，式（6.5-4）中x (0)和x (1)不一定為零，這是與拉氏變換求微分方程全響應(yīng)所不同的地方。 當(dāng)然，如果已知全響應(yīng)初始條件，需要單獨求取零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)時，一般應(yīng)先求零狀態(tài)響應(yīng)，然后可得到零狀態(tài)初始條件，再用全響應(yīng)初始條件減去零狀態(tài)初始條件，即得零輸入初始條件，再求零輸入響應(yīng)，最后疊加求得全響

24、應(yīng)。 上式方法對后向差分方程同樣是適用的。 6.6 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)在離散系統(tǒng)分析中起著十分重要的作用。如前所述，系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的差分方程有著確定的對應(yīng)關(guān)系。盡管離散系統(tǒng)函數(shù)是由系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換和激勵的Z變換的比來定義的，但H(z)與激勵和零狀態(tài)響應(yīng)無關(guān)，它表征了離散時間系統(tǒng)自身的特性，是離散系統(tǒng)的Z域描述。 6.6.1 H(z)的零點、極點及其時域響應(yīng)的零點、極點及其時域響應(yīng) 由H(z)的定義式（6.5-8）可知，離散系統(tǒng)函數(shù)通常為有理分式。其分母多項式等于零所構(gòu)成的方程式就是離散系統(tǒng)的特征方程，方程的根就是特征根，也就是H(z)的極點。

25、系統(tǒng)函數(shù)分子多項式等于零的根為H(z)的零點，故離散系統(tǒng)函數(shù)又可寫成式中zr r=1,2,m，是離散系統(tǒng)函數(shù)的零點， pi i=1,2,n 是離散系統(tǒng)函數(shù)的極點，且H0為標(biāo)量系數(shù)。的零點和極點可以是實數(shù)，也可以是虛數(shù)或復(fù)數(shù)。 HzHzzzzrrmiin( )()()011 將H(z)進(jìn)行Z反變換可得到離散系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)h(k) ，由部分分式展開法可知離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點確定了單位函數(shù)響應(yīng)的模式。又由式（6.5-2）和式（6.5-4）可知，離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點確定了離散系統(tǒng)的自然響應(yīng)（包括零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)中的自然響應(yīng)）的模式，這些結(jié)論都與連續(xù)時間系統(tǒng)相類似。但是這兩

26、類系統(tǒng)極點的物理意義有所不同。在連續(xù)時間系統(tǒng)中，若有一個一階極點s，自然響應(yīng)中就有相應(yīng)的 。s的實部表示自然響應(yīng)幅度增長或衰減速度的因子，s的虛部是自然響應(yīng)的振蕩頻率。系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于H(s)的極點，即特征根是否全部位于S平面的左半平面。ttsAA)j(ee在離散時間系統(tǒng)中，若有一個一階極點 p，自然響應(yīng)中就有相應(yīng)的Apk 項。 1. 當(dāng) p為正實數(shù)時，即的極點位于Z平面的正實軸，則自然響應(yīng)的幅度按p小于、等于或大于1，分別隨 k 值的增大而單調(diào)減小、不變或單調(diào)增長。 2. 當(dāng) p 為負(fù)實數(shù)時，即的極點位于Z平面的負(fù)實軸，則自然響應(yīng)的幅度仍按小于、等于或大于1，分別隨 k 值的增大而作遞減、

27、不變或遞增的變化，但正負(fù)交替改變。 3. 當(dāng) p為復(fù)數(shù)時，設(shè) p1和 p2為一對一階共軛極點， 和 時，則自然響應(yīng)中有相應(yīng)的， 項，同時 A1 和 A2 也是一對共軛復(fù)數(shù)，即 和 j1epp j2e-pp kkpApA2121j1eAA j2e-AA 可得為一按指數(shù)規(guī)律的變幅的離散余弦振蕩。振蕩幅度增減的快慢由 決定：若 1，即H(z)的共軛極點位于單位圓外，自然響應(yīng)為增幅振蕩；若 =1，即H(z)的共軛極點位于單位圓上，自然響應(yīng)為等幅振蕩。 振蕩頻率取決于，若增大，振蕩頻率亦增大：)cos(22121kpApApAkkkpppp 若 ，即H(z)的極點位于負(fù)實軸，這時， 自然響應(yīng)隨序號 k

28、每增加 1 作正負(fù)變號一次，每增加 2 就完成一個周期振蕩，振蕩頻率為最高。即討論的第二種情況。 H(z)的一階極點在Z平面上不同位置所對應(yīng)的自然響應(yīng)模式如圖6.6-1所示。 由此可見，在離散時間系統(tǒng)中，自然響應(yīng)的幅度和振蕩頻率分別取決于極點的模和幅角； 而連續(xù)時間系統(tǒng)中，自然響應(yīng)的幅度和振蕩頻率分別取決于極點的實部和虛部。)cos()cos(kk 若 = 0，即H(z)的極點位于正實軸，振蕩頻率為零，自然響應(yīng)隨k值單調(diào)增減而無振蕩現(xiàn)象，即討論的第一種情況； 6.6.2 離散系統(tǒng)函數(shù)與零狀態(tài)響應(yīng)離散系統(tǒng)函數(shù)與零狀態(tài)響應(yīng) 由式(6.5-8)可以得到離散系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)是一對Z變換。即

29、 h(k) H(z) (6.6-2) 在離散時間系統(tǒng)中，當(dāng)離散時間系統(tǒng)的激勵為無時限復(fù)指數(shù)序列x(k)=zk (- k )，z取值位于H(z)的收斂域內(nèi) )時，利用時域分析的方法，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可由卷積和求得，為 nnknknzsznhzznhkhkxky)()()()()(考慮到h(k)為因果序列，則上式為)()()(0zHzznhzkyknnkzs（6.6-3） 上式表明，當(dāng)激勵為無時限復(fù)指數(shù)序列zk時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)仍為同樣的復(fù)指數(shù)序列，但被加權(quán)了H(z) ?；蛘哒f，只要將激勵乘以離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)即可。 與連續(xù)系統(tǒng)拉氏變換的情況相似。根據(jù)單邊Z反變換的定義，單邊信號x(k)可以表

30、示為 (6.6-4)式中，圍線C在H(z)的收斂域中，其物理意義是因果信號x(k)可以分解為基本信號zk之和(積分)。對于圍線上的任一 z ，其分量的大小為 。由式(6.6-3)，其零狀態(tài)響應(yīng)為 。最后，將這些響應(yīng)分量疊加，即得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，為 zzzzXzzzXkxkCkCd)(j21d)(j21)(1kzzzzXd)(j21kzzHzzzX)(d)(j216.6.3 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性 穩(wěn)定性分析是系統(tǒng)分析的組成部分。根據(jù)線性系統(tǒng)分析的基本思想，系統(tǒng)的完全響應(yīng)是由零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分組成的，因而，判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定同樣可以通過一定的準(zhǔn)則分別判別零輸入響應(yīng)是否穩(wěn)定、零

31、狀態(tài)響應(yīng)是否穩(wěn)定來綜合確定。 與連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義相似，零輸入響應(yīng)穩(wěn)定也稱系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。其含義是由系統(tǒng)任意初始儲能所引起的響應(yīng)隨著 k 的增加而逐漸衰減到零，即 (6.6-5) 0d)(j21d)()(j21)(11kzzzYzzzYzXkykCzskCzs0)(limkyzik零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定是初始不儲能的系統(tǒng)在任一有界激勵x(k)（即對所有k都有 ， 為有限正實常數(shù)），其響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))為 都是有界的（即對所有k都有 ， 為有限正實常數(shù)），則系統(tǒng)是零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定的。為了區(qū)別于其他形式的穩(wěn)定性的定義，把上述定義稱為有界輸入、有界輸出(BIBO)穩(wěn)定。 可以證明，當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)不存在零、極點相

32、消的情況下，系統(tǒng)完全由系統(tǒng)函數(shù)所確定，則漸近穩(wěn)定必然是BIBO穩(wěn)定，兩者是等效的。否則，可能出現(xiàn)系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定但卻是BIBO穩(wěn)定。由圖6.6-1可以看出，只有當(dāng)H(z)的極點位于Z平面單位圓內(nèi)時，才滿足式（6.6-6）、(6.6-7) ， 于是得出系統(tǒng)穩(wěn)定性與H(z)極)(kyzsyzsMky)(yMxMxMkx)(點分布之間的關(guān)系為：當(dāng)離散系統(tǒng)函數(shù)的極點全部位于Z平面單位圓內(nèi)部時，此系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)極點位于單位圓上，且為單極點時，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由圖6.4-2 ，由S平面和Z平面間的映射關(guān)系可知，S平面的左半平面映射到Z平面為單位圓內(nèi)部，因此，連續(xù)時間系統(tǒng)

33、的穩(wěn)定條件是的極點均位于S左半平面而離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是的極點均位于Z平面的單位圓內(nèi)，是符合映射關(guān)系的。 裘利（Jury）判別法是一種判別離散系統(tǒng)是否穩(wěn)定的方法。它可以直接檢驗特征方程式 D (z) = 0 的根是否全部位于Z平面的單位圓內(nèi)，而無需求解方程的根。 6.7 離散信號與系統(tǒng)的頻域分析離散信號與系統(tǒng)的頻域分析 在連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的變換域分析中，已經(jīng)研究了傅里葉變換和拉氏變換分析方法，在離散時間信號與系統(tǒng)的變換域分析中，也有類似的變換域分析方法，前幾節(jié)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了與拉氏變換相對應(yīng)的Z變換。本節(jié)著手研究與傅里葉變換相對應(yīng)的離散時間傅里葉變換（Discrete Time Fouri

34、er Transform），并在此基礎(chǔ)上，分析離散時間信號與系統(tǒng)的頻率特性。 6.7.1 離散時間傅里葉變換（離散時間傅里葉變換（DTFT） 在離散信號的雙邊Z變換 中，令 ，或簡寫為 ，可得離散時間傅里葉變換為kkzkfzF)()(Tzjeje顯然，F(xiàn)()是的連續(xù)的周期函數(shù)，其周期為2。 為了保證離散時間傅里葉變換的存在，必須滿足 或F(z)的收斂域必須包括Z平面上的單位圓。離散時間傅里葉反變換為 （6.7-4） 通常將離散時間傅里葉變換簡記為kk-kfFFjje)()()e ( kkf)(deFkfkj)(21)( 離散時間傅里葉變換有時也稱為序列傅里葉變換。離散時間傅里葉變換實質(zhì)上就是單

35、位圓上的(雙邊)Z變換。同時，它又與連續(xù)時間傅里葉變換（CTFT）的定義非常相似。只不過是被分析的時域信號不同而已，當(dāng)時域信號為連續(xù)信號時，用連續(xù)時間傅里葉變換；為離散信號時，用離散時間傅里葉變換。因此，連續(xù)時間傅里葉變換的性質(zhì)同樣適用于離散時間傅里葉變換，只是由于離散時間傅里葉變換的時域信號f(k)是離散函數(shù)，而F()是的周期函數(shù)，以致連續(xù)時間傅里葉變換的某些性質(zhì)改變了原來的形式，如連續(xù)時間傅里葉變換的時域微分性質(zhì)相當(dāng)于離散時間傅里葉變換的差分性質(zhì)，連續(xù)時間的積分性質(zhì)相當(dāng)于離散時間的求和性質(zhì)。（6.7-5） )(IDTFT)()(DTFT)(FkfkfF 6.7.2 離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離

36、散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對于穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)可以用連續(xù)時間傅氏變換來分析，這時 表示連續(xù)系統(tǒng)的頻響特性。與之類似，對于穩(wěn)定的離散系統(tǒng)則可以用離散時間傅里葉變換來分析，這時 或H() 表示離散系統(tǒng)的頻響特性。設(shè) X() ，H() 和 Y() 分別是激勵x(k) ，單位函數(shù)響應(yīng)h(k)和零狀態(tài)響應(yīng)y(k)的離散時間傅氏變換。由y(k)= x(k)* h(k) ，應(yīng)用時域卷積定理，可得 Y()= X() H() （6.7-6）式中， H() 稱作離散時間系統(tǒng)的頻域系統(tǒng)函數(shù)，h(k)和H()分別從時域和頻域兩個不同的角度反映了同一個系統(tǒng)的特性。)()(jHsHs)e()(jejzHzH 當(dāng)激勵信號 從k=

37、- 接入系統(tǒng)，此時零狀態(tài)響應(yīng)也就是全響應(yīng)，而且是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。式（6.7-7）說明，離散時間系統(tǒng)對于正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是同頻率的正弦序列，但需乘 。 是正弦序列包絡(luò)頻率的連續(xù)函數(shù)，它反映了離散時間系統(tǒng)在正弦序列作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率變化的情況，稱為離散時間系統(tǒng)的頻響特性。 一般為的復(fù)函數(shù)，有 和() 分別是離散時間系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。離散時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾個性質(zhì)：(1) 周期性質(zhì) 由于 是周期函數(shù)，所以離散時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)也是周je)e(jH)e(jH)e(jH)(jjje)e()e(HH)e(jHje期函數(shù)，其周期為2。這是與連續(xù)時間系統(tǒng)不同的地方。 (2) 對稱性質(zhì) 當(dāng)單位函數(shù)響應(yīng)

38、h(k)為實序列時，其幅頻特性是的偶函數(shù)，相頻特性是的奇函數(shù)。這是與連續(xù)時間系統(tǒng)相同的地方。 盡管離散系統(tǒng)的頻率特性是以周期2變化的，但與連續(xù)系統(tǒng)一樣，也有低通、高通、帶通、帶阻、全通之分。由于頻率特性的周期性，因此這些特性只能限于(，)范圍內(nèi)來區(qū)分。圖6.7-2畫出了的情況，系統(tǒng)呈“低通”特性。 6.7.3 頻率特性的幾何確定頻率特性的幾何確定 與連續(xù)時間系統(tǒng)一樣，離散時間系統(tǒng)也可以根據(jù)離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)在Z平面的零、極點分布通過幾何方法繪制離散系統(tǒng)的頻響特性曲線。 6.7.4 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 離散時間傅里葉變換（DTFT，Discrete Time Fourie

39、r Transform）使我們能夠在頻域（數(shù)字頻域）分析離散時間信號的頻譜和離散系統(tǒng)的頻響特性。但還存在兩個實際問題。 1. 數(shù)字頻率=T 是一個模擬量，為了便于今后用數(shù)字的方法進(jìn)行分析和處理，僅僅在時域?qū)r間變量 t 離散化還不夠，還必須在頻域?qū)㈦x散化。 2. 實際的序列大多為無限長的，為了分析和處理的方便，必須把無限長序列截斷或分段，化作有限長序列來處理。 說起離散譜，很自然會想起周期信號，因為周期連續(xù)信號的傅氏級數(shù)是離散線譜。也就是說，頻域的取樣與時域的周期化是等同的。 下面，用頻域取樣的方法來引入離散傅里葉變換（DFT，Discrete Fourier Transform）。設(shè) f(k

40、) 為有限長序列或截尾序列，k = 0,1,2,N-1 。則其離散時間傅里葉變換為 若在Z域單位圓上作N點的等距離取樣，則相鄰兩點相距 ，有即得離散傅里葉變換（DFT）的定義式為 （6.7-13）上式稱為N點的DFT，N點指離散頻譜的周期，也就是F(n)在單位圓上的樣點數(shù)。10jj)()e(NkkzkfFN2Nn2102je)()(NkknNkfnF不難求得 （6.7-15）上式就是離散傅里葉反變換（IDFT）的定義式。102je)(1)(NnnkNnFNkf 比較式（6.7-13）和（6.7-15）的對稱形式，就會發(fā)現(xiàn)F(n)和 f(k) 的周期均為N，有限序列中的N點指時域延拓的周期。引用

41、符號 ，則式（6.7-13）和（6.-15）可簡化為 （6.7-16） （6.7-17）N-NW2je10)()(10)()(1010NkWnFkfNnWkfnFknNnknNkNN 式（6.7-16）和（6.7-17）構(gòu)成一對變換，稱為有限序長的離散傅里葉變換。注意不要把DFT和DTFT相混淆。DTFT是對任意序列的傅里葉分析，它的頻譜是一個連續(xù)函數(shù)；而DFT是把有限長序列作為周期序列的一個周期，對有限長序列的傅里葉分析，DFT的特點是無論在時域還是頻域都是有限長序列。 DFT提供了使用計算機(jī)來分析信號和系統(tǒng)的一種方法，尤其是DFT的快速算法FFT，在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，并推

42、動了數(shù)字信號處理技術(shù)的迅速發(fā)展。 de)j()j()(de)()()j(j1jttFFtfttftfFFF最后，把涉及到的幾種傅里葉變換小結(jié)一下： 1.連續(xù)時間與連續(xù)頻率的傅里葉變換 這種傅里葉變換，簡記為FT，或CTFT(連續(xù)時間傅里葉變換)。變換對的時域信號和頻域信號都是連續(xù)非周期的，其形式為 2. 連續(xù)時間與離散頻率的傅里葉變換 這種變換其實為連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)，簡記為CFS(Continued Fourier Series)。變換對的時域信號是連續(xù)周期的，這里用 （T0為周期）表示，而頻域信號是離散 非周期的，這里用F(n0)（即Fn ）表示，其中稱為基波頻率。若將CFS的反變換簡記為ICFS，則CFS變換對的形式為)(0tfT00000j00j00e )()()(de)(1)()(nnTtnTTnFnFtfttfTtfnFICFSCFS 3. 離散時間與連續(xù)頻率的傅里葉變換 這種變換就是離散時間傅里葉變換，簡記為DTFT，其變換對形式重寫如下：kk-kfkfFje)()()(DTFTdeFFkfkj)(21)()(IDTFT 4. 離散時間與離散頻率的傅里葉變換 這種變換其實就是對圖6.7-6（c）的頻域進(jìn)行取樣，反映到時域等同于使時域信號延拓成周期信號