多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)的基本概念PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)的基多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)的基本概念本概念- 2 -（1 1）鄰域鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 1 有關(guān)有關(guān)區(qū)域的概念區(qū)域的概念定義定義第1頁/共27頁- 3 -（2 2）區(qū)域）區(qū)域().EPPU PEPE 設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)如果存在是平面上的一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)的某一鄰域，則點(diǎn)的某一鄰域，則稱為稱為內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)的的.EE的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于EP .EE如果點(diǎn)集的點(diǎn)都是內(nèi)，如果點(diǎn)集的點(diǎn)都是內(nèi)，則稱為則稱為開集開集點(diǎn)點(diǎn)41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集

2、即為開集P xyo第2頁/共27頁- 4 -PEEPEEPE如果點(diǎn)的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn)，如果點(diǎn)的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn)，也有不屬于的點(diǎn)（點(diǎn)本身可以屬于，也也有不屬于的點(diǎn)（點(diǎn)本身可以屬于，也可以不屬于），則稱為的可以不屬于），則稱為的 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)EP EE的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為的的邊邊界界DDDD設(shè)是點(diǎn)集如果對于內(nèi)設(shè)是點(diǎn)集如果對于內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起來，任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起來，且該折線上的點(diǎn)都屬于，則稱且該折線上的點(diǎn)都屬于，則稱集合是集合是連通的連通的 第3頁/共27頁- 5 -連通的開集稱為連通的開集稱為區(qū)域區(qū)域或或開區(qū)域開區(qū)域.41| ),(22 yxy

3、x例如，例如，xyo.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo連通的不是開集連通的不是開集是開集不是連通的是開集不是連通的xyo不是閉區(qū)域的例子：不是閉區(qū)域的例子：去掉邊界不是開區(qū)域去掉邊界不是開區(qū)域第4頁/共27頁- 6 -0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；是無界開區(qū)域是無界開區(qū)域xyo例如，例如，EKPEAAPKAPKPEE 對于點(diǎn)集如果存在正數(shù)，使一切點(diǎn)與對于點(diǎn)集如果存在正數(shù)，使一切點(diǎn)與某一定點(diǎn)間的距離不超過，即某一定點(diǎn)間的距離不超過，即對一切成立，則稱為對一切成立，則稱為 有界點(diǎn)集有界點(diǎn)集，41| ),(22 yxyx無無否則稱為否則稱為界點(diǎn)集界點(diǎn)集第5頁/共27頁-

4、 7 -（3 3）聚點(diǎn)聚點(diǎn) 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明說明邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例例(0,0)(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)第6頁/共27頁- 8 -點(diǎn)集點(diǎn)集E E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E E，也可以不屬于，也可以不屬于E E10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0,0) (0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如, ,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合第7頁/共27頁- 9 -2 2 n n維空間維空間n n維空間的記號為維空間的記號為說明說明：;

5、nRn n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 n),(21nxxx元數(shù)元數(shù)稱為稱為維空間中的一個(gè)維空間中的一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，而每個(gè)而每個(gè)組組nnn),(21nxxxn設(shè)設(shè)為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱數(shù)組數(shù)組的全體為的全體為維空間維空間，元元ixi為該點(diǎn)的第為該點(diǎn)的第個(gè)個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo). .數(shù)數(shù)稱稱.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ ),(21nxxxP),(21nyyyQ設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為定義定義第8頁/共27頁- 10 -n n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng)3, 2, 1 n內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、

6、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義鄰域：鄰域：時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)間的距離第9頁/共27頁- 11 -D,),(DyxP 設(shè)設(shè)是是 平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對于每個(gè)平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對于每個(gè)點(diǎn)點(diǎn)3 3 多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義n元函數(shù)元函數(shù)的定義，的定義，Dyxyxfz ),(),(記為記為定義定義(1) 二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義z是是的的二元函數(shù)二元函數(shù)，則稱則稱yx、或或DPPfz ),(變量變量z按照一定的法則按照一定的法則值和它對應(yīng)，值和它對應(yīng)，f總有唯一確定的總有唯一確定的其中其中D稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的

7、定義域定義域，yx、稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的自變量自變量，z稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的因變量因變量。說明說明如果將如果將D換成換成)2( nRn中的點(diǎn)集，中的點(diǎn)集， 相應(yīng)的相應(yīng)的可可得出得出n元函數(shù)統(tǒng)稱為元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)多元函數(shù). .第10頁/共27頁- 12 -例例1 1 求求222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 的定義域的定義域xyo1322 yx02 yx4222 yx2yx 第11頁/共27頁- 13 -(2)(2) 二元函數(shù)二元函數(shù)),(yxfz 的圖形的圖形),(yxfz ,D 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域

8、為),(yxfz 對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形. .,),(DyxP 對于任意取定對于任意取定的的),(yxfz xyzo),(yxP ),(,(yxfyxMDyz),(zyxM為縱坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)、為豎坐標(biāo)在空間就為豎坐標(biāo)在空間就確確x這樣以這樣以為橫坐標(biāo)、為橫坐標(biāo)、定一點(diǎn)定一點(diǎn)),(yxD,),(),(|),(Dyxyxfzzyx 當(dāng)當(dāng)取遍取遍個(gè)個(gè)空間點(diǎn)集空間點(diǎn)集 時(shí)，得一時(shí)，得一二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面. .第12頁/共27頁- 14 -xyzxyzsin 例如例如, ,224yxz o第13頁/共27頁- 1

9、5 -例如例如, ,2222azyx 222yxaz (3)(3) 多值函數(shù)多值函數(shù)xyzo在函數(shù)的定義中要求對每個(gè)在函數(shù)的定義中要求對每個(gè),),(Dyx 按照一確定按照一確定z法則有法則有唯一的唯一的一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)與與),(yx對應(yīng)，對應(yīng)，但在實(shí)際問題中但在實(shí)際問題中經(jīng)常存在多個(gè)數(shù)經(jīng)常存在多個(gè)數(shù)z與與),(yx對應(yīng)，對應(yīng)，這樣的對應(yīng)關(guān)系稱為這樣的對應(yīng)關(guān)系稱為多值函數(shù)多值函數(shù)，因此因此我們說由我們說由2222azyx 確定確定了一個(gè)多值函數(shù)。了一個(gè)多值函數(shù)。對于多值函數(shù)可分成幾個(gè)對于多值函數(shù)可分成幾個(gè)(單值單值)函數(shù)來討論，函數(shù)來討論， 例如例如, ,2222azyx 可分成可分成222yxaz

10、 對于每個(gè)點(diǎn)對于每個(gè)點(diǎn)),(yx)(222ayx 有兩個(gè)確定的數(shù)有兩個(gè)確定的數(shù)和和與之對應(yīng)，與之對應(yīng)，222yxaz 和和222yxaz 討論。討論。),(yx 第14頁/共27頁- 16 -1 1 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限, 20200)()(|0yyxxPP,PD |),(|Ayxf),(yxfz ,0 xx 0yy Ayxfyyxx ),(lim00)0(),( Ayxf|0PP 定義定義),(000yxP是其聚點(diǎn)，是其聚點(diǎn)，總存在正數(shù)總存在正數(shù)使得對于適合不等式使得對于適合不等式的一切點(diǎn)，且的一切點(diǎn)，且都有都有成立，成立，在在時(shí)的時(shí)的極限極限，或或這里這里, 如果對于任意給定的正如

11、果對于任意給定的正數(shù)數(shù)為函數(shù)為函數(shù)稱稱A記為記為則則),(yxfz ,D的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)第15頁/共27頁- 17 -說明說明：（1 1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2 2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3 3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似確定極限不存在可以找多種確定極限不存在可以找多種),(yxP趨向于趨向于),(000yxP的路徑，的路徑，且且),(yxf的極限不相等。的極限不相等。（4）求二元函數(shù)可以通過轉(zhuǎn)變，化為一元函數(shù)的極限）求二元函數(shù)

12、可以通過轉(zhuǎn)變，化為一元函數(shù)的極限第16頁/共27頁- 18 -例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立第17頁/共27頁- 19 -例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx yxyx22)sin( 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim

13、22200 yxyxyxyxu2 0,222yxyx 00limyx第18頁/共27頁- 20 -例例4 4 證明證明證證2200limyxxyyx 取取kxy 220limyxxykxyx 2220limxkxkxxx ,12kk 其值隨其值隨k k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在 不存在不存在第19頁/共27頁- 21 -類似可以定義類似可以定義n元函數(shù)的極限元函數(shù)的極限n)(Pf0, PD, , |00PPDP |)(|APfn)(Pf0PP APfPP )(lim0定義定義 設(shè)設(shè)元函數(shù)元函數(shù)的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集是其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對

14、于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)總存在正數(shù)使得對于適合不等式使得對于適合不等式的一切點(diǎn)的一切點(diǎn)都有都有成立，則稱成立，則稱元函數(shù)元函數(shù)在在時(shí)的時(shí)的極限極限，為為A記為記為 第20頁/共27頁- 22 -2 2 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義)()(lim00PfPfPP n)(Pf0Pn)(Pf,D設(shè)設(shè)元函數(shù)元函數(shù)的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集如果如果則稱則稱元函數(shù)元函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處處連續(xù)連續(xù). .0P)(Pf設(shè)設(shè)是函數(shù)是函數(shù)的定義域的聚點(diǎn)，的定義域的聚點(diǎn)，)(Pf0P在點(diǎn)在點(diǎn)處不連續(xù)，處不連續(xù)，如果如果0P)(Pf是函數(shù)是函數(shù)的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn). .則稱則稱如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上上各點(diǎn)處

15、各點(diǎn)處都連續(xù)都連續(xù), 則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在 D上上連續(xù)連續(xù).,0DP 是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且0P第21頁/共27頁- 23 -例例5 5 討論函討論函數(shù)數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解),(yxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)(0,0)處連續(xù)處連續(xù)0)0 . 0( f|222xyxx |222yyxy |yx 0000yx第22頁/共27頁- 24 - 函數(shù)函數(shù) 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)在點(diǎn)(0 , 0)

16、(0 , 0) 極限不存在極限不存在, , 函數(shù)函數(shù)11),(22 yxyxf上間斷上間斷. .122 yx 故故 ( 0, 0 )( 0, 0 )為其間斷點(diǎn)為其間斷點(diǎn). .在圓周在圓周第23頁/共27頁- 25 - 多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域00000lim()()()()lim()().PPPPf Pf PPf Pf PPf Pf P 一般地，求時(shí)，如果是初等函數(shù)，一般地，求時(shí)，如果是初等函數(shù)，且是的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則在點(diǎn)處連續(xù)，且是的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則在點(diǎn)處連續(xù)，于是于是第24頁/共27頁- 26 -例例6 60011lim.xyxyxy求求解解0011lim(11)xyxyxyxy 原式原式111lim00 xyyx.21 222)3arcsin(),(yxyxyxf 例例7 求函求函數(shù)數(shù)的連續(xù)域的連續(xù)域.1322 yx4222 yx解解:02 yx2yx 第