復(fù)變函數(shù)與積分變換全集15北工大PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1復(fù)變函數(shù)與積分變換全集復(fù)變函數(shù)與積分變換全集15北工大北工大第1頁/共40頁, 2, 1, 0,)62keezikz第2頁/共40頁證明性質(zhì)證明性質(zhì)4）)exp(expexp2121zzzz 證明：證明： , , 222111iyxziyxz 設(shè)設(shè)21expexpzz 左端左端)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121yyiyyexx .)exp(21右端右端 zz第3頁/共40頁 , exp ,的周期性的周期性可以推出可以推出根

2、據(jù)加法定理根據(jù)加法定理z,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(為任何整數(shù)為任何整數(shù)其中其中k . 所沒有的所沒有的該性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)該性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)xe例例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設(shè)設(shè)解：解：)sin(cos yiyeeexiyxz 因為因為 .cos)Re( , yeeeexzxz 實部實部所以其模所以其模第4頁/共40頁zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222y

3、xyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 第5頁/共40頁例例2 的周期的周期求函數(shù)求函數(shù). )( 5zezf 解解,2ikez 的周期是的周期是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函數(shù)故函數(shù).10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 第6頁/共40頁第7頁/共40頁第8頁/共40頁.sin)(cos,cos)(sinzzzz第9頁/共40頁第10頁/共40頁第11頁/共40頁第12頁/共40頁第13頁/共40頁第14頁/共40頁第15頁/共40頁第16頁/共40頁例例2 2解解 , iyxz 設(shè)設(shè) . 1sinhsin iz 解方程解方程

4、)sin(sinyixz yxiyxsinhcoscoshsin , 1sinhi 0,coshsin yx故有故有1sinsinhcos yx, 0cosh y因為因為, 0sin x所以所以, kx 代入代入將將 kx 1sinsinhcos yx, 1sinh)1(sinhky , 3, 1, 1, 4, 2, 0, 1kky, 2, 1, 0,)12(,2 nininz 即即第17頁/共40頁第18頁/共40頁第19頁/共40頁例例1 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及與它們相應(yīng)的主值以及與它們相應(yīng)的主值求求 ,22ln2Ln ik 因為因為 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是

5、所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因為因為 )()12(為整數(shù)為整數(shù)kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以 注意注意: 在實變函數(shù)中在實變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)無對數(shù)負(fù)數(shù)無對數(shù), 而復(fù)變數(shù)對而復(fù)變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.第20頁/共40頁例例2解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因為因為)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k第21頁/共40頁例例3解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Ar

6、g32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k第22頁/共40頁.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln第23頁/共40頁其它其它性質(zhì)：性質(zhì)：,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)和其它各分支處處連續(xù)和其它各分支處處連續(xù)主值支主值支的復(fù)平面內(nèi)的復(fù)平面內(nèi)包括原點包括原點在除去負(fù)實軸在除去負(fù)實軸 , , ,)( )3(.1)Ln

7、(,1)(lnzzzz 第24頁/共40頁證證 (3) , iyxz 設(shè)設(shè),0時時當(dāng)當(dāng) x,arglim0 zy,arglim0 zy. ln , ,處處連續(xù)處處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)其它點在復(fù)平面內(nèi)其它點除原點與負(fù)實軸除原點與負(fù)實軸所以所以z , ln arg是單值的是單值的內(nèi)的反函數(shù)內(nèi)的反函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域zwzezw wezzwdd1dlnd 證畢證畢.1z 第25頁/共40頁ba1） 乘冪的定義乘冪的定義 , , , Lnabbeaba定義為定義為乘冪乘冪復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)為任意一個為任意一個為不等于零的一個復(fù)數(shù)為不等于零的一個復(fù)數(shù)設(shè)設(shè) . Lnabbea 即即注意注意: :. , )2arg(lnLn

8、也是多值的也是多值的因而因而是多值的是多值的由于由于bakaiaa , )1(為整數(shù)時為整數(shù)時當(dāng)當(dāng)b Lnabbea )2arg(ln kaiabe 第26頁/共40頁ikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具有單一的值具有單一的值ba ,0) ,( )2(時時為互質(zhì)的整數(shù)為互質(zhì)的整數(shù)與與當(dāng)當(dāng) qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea )2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 個值個值具有具有 qab .)1( , 2 , 1 , 0 時相應(yīng)的值時相應(yīng)的值即取即取 qk第27頁/共40頁特殊情況特殊情況:

9、 ,)( )1時時正整數(shù)正整數(shù)當(dāng)當(dāng)nb Lnannea LnLnLnaaae ) (項項指數(shù)指數(shù) n LnLnLnaaaeee ) (個個因子因子 n. aaa ) (個個因子因子 n ,)( 1 )2時時分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)當(dāng)當(dāng)nb Ln11annea nkainkaean2argsin2argcos ln1第28頁/共40頁 nkainkaan2argsin2argcos 1,na . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中; , bzwza 就得到一般的冪函數(shù)就得到一般的冪函數(shù)為一復(fù)變數(shù)為一復(fù)變數(shù)如果如果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的反函數(shù)的反函數(shù)及及數(shù)數(shù)就分別得到通常的冪函就

10、分別得到通常的冪函時時與與當(dāng)當(dāng)?shù)?9頁/共40頁例例1 1 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案課堂練習(xí)課堂練習(xí).3)( 5 計算計算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik第30頁/共40頁例例2 2 . )(1 的輻角的主值的輻角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln212

11、4 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的輻角的主值為的輻角的主值為故故ii 第31頁/共40頁2).冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性 , )1(的的在復(fù)平面內(nèi)是單值解析在復(fù)平面內(nèi)是單值解析冪函數(shù)冪函數(shù)nz .)(1 nnnzz . , )2(1個分支個分支具有具有是多值函數(shù)是多值函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)nzn它的它的 各個分支在除去原點和負(fù)實軸的復(fù)平面各個分支在除去原點和負(fù)實軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn第32頁/共40頁它的它的 各個分支在除去原點和負(fù)實軸的復(fù)平面各個分支在除去原點和負(fù)實軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的,

12、 ,) 1 ( (3)也是一個多值函數(shù)也是一個多值函數(shù)兩種情況外兩種情況外與與除去除去冪函數(shù)冪函數(shù)nnbzwb .)(1 bbbzz ., 是無窮多值的是無窮多值的為無理數(shù)或負(fù)數(shù)時為無理數(shù)或負(fù)數(shù)時當(dāng)當(dāng)b第33頁/共40頁次方的區(qū)別。的與討論指數(shù)函數(shù)zeez).2exp()21 (exp)lnexp(zkiekizezzez次方的. 1)2exp() 1zkiz是整數(shù)時，例7解:. 1, 2 , 1 , 0).2exp()2mkmnkiemnemnzmn次方的時，.0mnemnek次方的時，只有第34頁/共40頁.0.)2exp()3zezekzkiz次方的時，只有有無窮多值是無理數(shù)時，.0.)

13、2exp(0)42ibbkeibekeibkiabibz次方的時，只有）時，（是純虛數(shù).0).2exp()(2exp0)52ibabkeibekakieibakiabibaz次方的時，只有）時，（第35頁/共40頁作業(yè):P55: 241); 3), 261); 3), 271); 3), 第36頁/共40頁第一章第一章 復(fù)習(xí)提綱復(fù)習(xí)提綱1. 熟悉復(fù)數(shù)的定義熟悉復(fù)數(shù)的定義,模模,幅角幅角, 復(fù)數(shù)的指數(shù)表復(fù)數(shù)的指數(shù)表示示 和三角表示和三角表示.2. 掌握復(fù)數(shù)的運算: 四則運算, 乘方和開方.3. 熟悉實變和復(fù)變復(fù)值函數(shù)的極限, 連續(xù), 可導(dǎo)等概念及性質(zhì)和運算法則.第37頁/共40頁第一章第一章 復(fù)習(xí)提綱復(fù)習(xí)提綱4. 掌握函數(shù)在一點解析的定義掌握函數(shù)在一點解析的定義,熟悉函數(shù)在熟悉函數(shù)在一點解析與可導(dǎo)的區(qū)別一點解析與可導(dǎo)的區(qū)別.5. 掌握函數(shù)在一點可導(dǎo)的充要條件掌握函數(shù)在一點可導(dǎo)的充要條件.掌