多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用6PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用6的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、二元函數(shù)極值的概念一、二元函數(shù)極值的概念第1頁(yè)/共25頁(yè)1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義第2頁(yè)/共25頁(yè)(1)(2)(3)1.1.處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz . .處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz . .處無(wú)極值處無(wú)極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 例如例如: :第3頁(yè)/共25頁(yè)定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(

2、00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),(000zyxP有極值的必要條有極值的必要條件為件為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.第4頁(yè)/共25頁(yè)例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)

3、為仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，第5頁(yè)/共25頁(yè)又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，第6頁(yè)/共25頁(yè)第7頁(yè)/共25頁(yè)第8頁(yè)/共25頁(yè)求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步

4、驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).第二步第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、B、C.第9頁(yè)/共25頁(yè)求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最

5、小值極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.二、二元函數(shù)的最值二、二元函數(shù)的最值第10頁(yè)/共25頁(yè)第11頁(yè)/共25頁(yè)第12頁(yè)/共25頁(yè)第13頁(yè)/共25頁(yè)第14頁(yè)/共25頁(yè)第15頁(yè)/共25頁(yè)第16頁(yè)/共25頁(yè)第17頁(yè)/共25頁(yè)第18頁(yè)/共25頁(yè)解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故最大值為故最大值為第19頁(yè)/共25頁(yè)第20頁(yè)/共25頁(yè)第21頁(yè)/共25頁(yè)多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值第22頁(yè)/共25頁(yè)思考題思考題 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點(diǎn)均取得點(diǎn)均取得極值， 則極值， 則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx是否也取得極值？是否也取得極值？第23頁(yè)/共25頁(yè)思考題解答思考題解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，2), 0(yyf 在在)0 ,