因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)精品資料

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數(shù)學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學數(shù)學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹一、提公因式法 .： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運用公式法 .在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，

2、例如：（1）(a+b)(a-b) = a2 -b2 -a2 -b2=(a+b)(a-b) ；(2)(a±b) 2= a 2 ±2ab+b2 a 2±2ab+b2=(a ±b) 2 ；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a 3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4)(a-b)(a22333322+ab+b ) = a-b -a-b =(a -b)(a+ab+b ) 下面再補充兩個常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2

3、 -ab-bc-ca) ；三、分組分解法 .（一）分組后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有 a，后兩項都含有 b，因此可以考慮將前兩項分為一組， 后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式 = (aman)(bmbn)= a(mn)b(mn)每組之間還有公因式！= (m n)( a b)例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第二、三項為一組。解：原式 = (2ax10

4、ay)(5by bx)原式 = (2ax bx)( 10ay 5by)= 2a( x5 y)b( x5 y)= x(2ab)5y(2a b)= ( x 5 y)(2ab)= (2ab)( x5 y)練習：分解因式1、a 2abac bc、2 xy xy1（二）分組后能直接運用公式例 3、分解因式： x 2 y 2 ax ay分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。例 4、分解因式： a 22abb 2c 2解：原式 = (x 2y 2 )( axay)解：原式 = ( a22abb 2 )c 2= (xy)( xy)a( x

5、y)= (ab)2c 2= (xy)( xya)= (ab c)(a bc)練習：分解因式3、x2x 9 y23y、x2y2z22 yz4綜合練習：（1）x32y xy2y3（ ） ax 2bx 2bx ax a bx2（3）x26xy9y21628a1（ ） a 26ab 12b 9b 24aa4（5） a42a3a29（ ）4a2x4a2y2x2y6bb（7）x22xy xz yz y2（ ） a 22a b 22b 2ab 18（9） y( y2)(m1)(m1)（ 10） ( ac)(ac)b(b2a)四、十字相乘法 .（一）二次項系數(shù)為1 的二次三項式直接利用公式x2( pq) xp

6、q(xp)( xq) 進行分解。（2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例. 已知 0 a 5，且 a 為整數(shù)，若 2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合條件的 a .解析：凡是能十字相乘的二次三項式 ax2，都要求b24ac>0而且是一個完全平方數(shù)。9 8a為完全平方數(shù)， a1+bx+c于是例 5、分解因式： x 25x6分析：將 6 分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于 5。由于 6=2× 3=(-2)× (-3)=1× 6=(-1) × (-6) ，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×

7、3 的分解適合，即 2+3=5。12解： x25x6 = x2( 2 3) x 2 313= (x 2)( x 3)1× 2+1×3=5用此方法進行分解的關鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例 6、分解因式： x 27x6解：原式 = x2(1)( 6) x( 1)(6)1-1= (x 1)( x6)1-6（ -1）+（-6）= -7練習 5、分解因式 (1) x214 x 24(2) a215a 36(3) x24x 5練習 6、分解因式 (1) x2x 2(2) y 22y 15(3) x 210 x 24（二）二次項系數(shù)不為1 的

8、二次三項式 ax 2bx c條件：（1） aa1 a2a1c1（2） cc1c2a2c2（3） ba1c2a2 c1b a1c2a2 c1分解結果： ax2bxc = (a1 xc1 )(a2 x c2 )例 7、分解因式： 3x 2 11x 10分析：1-23 -5（ -6） +（-5） = -11解： 3x21110= ( x2)(3x5)x7x 2練習 7、分解因式：（1） 5x27 x 6（ ） 3x 22（ 3） 10x 217 x3（4）6y 211y10（三）二次項系數(shù)為1 的齊次多項式例 8、分解因式： a 2 8ab 128b2分析：將 b 看成常數(shù)，把原多項式看成關于a 的

9、二次三項式，利用十字相乘法進行分解。1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解： a28ab1 2 b82 = a28b( 16b)a8b( 16b)= ( a 8b)( a 16b)練習 8、分解因式 (1) x23xy2 y 2 (2) m26mn8n2 (3) a 2ab6b2（四）二次項系數(shù)不為1 的齊次多項式例 9、2 x27xy6y2例、2y23xy 210x1-2y把xy 看作一個整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2 y)( 2x3y)解：原式 = ( xy1)( xy2)練習 9、分解因式：（1）15

10、x27xy 4 y2（ ） a 2 x26ax82867x31（）22綜合練習 10、（ 1） x12x11xy15y2（3） (x y) 23(x y) 10（ ）24a 4b 34 ( a b)（5）2y25x2y6x2（ ） m24mn 4n 23m 6n 2x6（7）x24xy4y22x4y3（ ）223(a22) 10(ab)28 5(a b)b（9） 4x24xy6x3yy 210（10） 12( xy)211(x 2y 2 )2(xy)2五、換元法。例 13、分解因式（ 1） 2005x 2(200521) x2005（2） ( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) x

11、2解：（1）設 2005= a，則原式 = ax2(a 21) xa= (ax1)( xa)= (2005 x 1)( x2005)（ 2）型如 abcde的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式 = ( x 27x 6)( x25x 6)x 2設 x25x6 A ，則 x27x 6 A 2x原式 = (A2x) Ax 2 = A22 Axx2= (Ax)2 = ( x26x6) 2練習 13、分解因式（ 1） (2xyy2 ) 24(2y2 )（ ）23x2)(4x28x 3) 90xxy x2 (x六、添項、拆項、配方法。例 15、分解因式（ 1） x 33x 24解法 1拆項。解法 2添項。原式 = x31 3x 23原式 = x33x24x 4x 4=(x 1)( x2x 1)3( x1)( x 1)=x(