時域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

1、 Down2021-12-13Main2021-12-13 Down UpMainReturn 5.1 引言引言 5.2 用信號流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)用信號流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.3 無限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)無限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.4 有限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.5 狀態(tài)變量分析法（略）狀態(tài)變量分析法（略）2021-12-13 Down UpMainReturn一、一、什么是濾波什么是濾波 狹義地說：濾波是把信號中的某些頻率分量分離出來或去狹義地說：濾波是把信號中的某些頻率分量分離出來或去掉，能完成這種功能的設(shè)備就稱為濾波器。掉，能完成這種功能的設(shè)備就稱為濾波器

2、。 廣義地說：濾波是指某種信號處理成為另一種信號的過程，廣義地說：濾波是指某種信號處理成為另一種信號的過程，因此濾波器就是一個系統(tǒng)。因此濾波器就是一個系統(tǒng)。二、二、數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 DF（Digital Filter） 所謂所謂數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器指的是對輸入數(shù)字信號指的是對輸入數(shù)字信號x(n)按一定要求進按一定要求進行運算，然后輸出數(shù)字信號行運算，然后輸出數(shù)字信號y(n)的過程。的過程。 它可以是一種算法，亦可是一種數(shù)字處理設(shè)備。它可以是一種算法，亦可是一種數(shù)字處理設(shè)備。 一般情況下，數(shù)字濾波器是一線性非移變系統(tǒng)，一般情況下，數(shù)字濾波器是一線性非移變系統(tǒng)， 2021-12-13 Down

3、 UpMainReturn1、處理信號不同：處理信號不同： 數(shù)字濾波器處理數(shù)字信號（以序列表示）數(shù)字濾波器處理數(shù)字信號（以序列表示） 模擬濾波器處理連續(xù)信號（以波形表示）模擬濾波器處理連續(xù)信號（以波形表示）2、實現(xiàn)的方式不同：實現(xiàn)的方式不同： 數(shù)字濾波器可用數(shù)字硬件結(jié)構(gòu)或軟件實現(xiàn)，或二者結(jié)數(shù)字濾波器可用數(shù)字硬件結(jié)構(gòu)或軟件實現(xiàn)，或二者結(jié)合使用。合使用。（數(shù)字硬件：加法器、乘法器、延時器）（數(shù)字硬件：加法器、乘法器、延時器） 模擬濾波器由分立元件組合電路網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)。模擬濾波器由分立元件組合電路網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)。（分立元件：電阻、電容、晶體管等。）（分立元件：電阻、電容、晶體管等。）2021-12-13 Do

4、wn UpMainReturn 數(shù)字濾波器是一類非常重要的線性非移變系統(tǒng)，對于一數(shù)字濾波器是一類非常重要的線性非移變系統(tǒng)，對于一個確定的數(shù)字濾波器，就有其確定的系統(tǒng)函數(shù)個確定的數(shù)字濾波器，就有其確定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)與單與單位沖激響應(yīng)位沖激響應(yīng)h(n)。 其性能不僅由其性能不僅由H(z)決定，還有其算法結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。決定，還有其算法結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。 信號流圖表示法是一種有效的系統(tǒng)算法結(jié)構(gòu)表示法，用信號流圖表示法是一種有效的系統(tǒng)算法結(jié)構(gòu)表示法，用它來表示數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)，一目了然。（運算步驟、它來表示數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)，一目了然。（運算步驟、乘法、加法次數(shù)、所用存儲單元）乘法、加法次數(shù)、所用存儲單元

5、）2021-12-13 Down UpMainReturn一、一、信號流圖及其表示法信號流圖及其表示法 信號流圖是由連接節(jié)點的有向分支構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，是表示信號流圖是由連接節(jié)點的有向分支構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，是表示信號流通的幾何圖形。信號流通的幾何圖形。數(shù)字網(wǎng)絡(luò)數(shù)字網(wǎng)絡(luò)信號流圖信號流圖x(n)z-1 y(n) ABa0b1a1x(n)z-1y(n)ABa0b1a1CYX2021-12-13 Down UpMainReturn1、節(jié)點節(jié)點。 2、支路支路（連接兩個節(jié)點的有向線段，系數(shù)叫做（連接兩個節(jié)點的有向線段，系數(shù)叫做支路傳輸。支路傳輸。 3、源節(jié)點源節(jié)點，只有輸出支路與之相連的節(jié)點稱為，只有輸出支路與之相

6、連的節(jié)點稱為源節(jié)點，或輸入節(jié)點。源節(jié)點，或輸入節(jié)點。 4、匯點匯點，只有輸入支路與之相連的，只有輸入支路與之相連的節(jié)點稱為匯點，或輸出節(jié)點。節(jié)點稱為匯點，或輸出節(jié)點。 5、混合節(jié)點混合節(jié)點。 6、開路徑開路徑或或通路通路（從某一節(jié)點出發(fā)，終止到另一節(jié)點，且每節(jié)點只通（從某一節(jié)點出發(fā)，終止到另一節(jié)點，且每節(jié)點只通過一次）。過一次）。 7、自環(huán)自環(huán)（從某一節(jié)點出發(fā)，終止在同一節(jié)點的（從某一節(jié)點出發(fā)，終止在同一節(jié)點的路徑且每節(jié)點只通過一次）。路徑且每節(jié)點只通過一次）。 8、節(jié)點變量值節(jié)點變量值（等于流入該（等于流入該節(jié)點的全部信號的疊加，流出信號不計）。節(jié)點的全部信號的疊加，流出信號不計）。 9、延

7、時器延時器 z-1相當(dāng)于延時器相當(dāng)于延時器b(n)=a(n-1)x(n)z-1y(n)ABa0b1a1CYX2021-12-13 Down UpMainReturnaX1bX2X1X2a+bX1X3abX1X3abX2X1X3abX2X4cX3abX1X4ac二二、信號流圖的簡化：、信號流圖的簡化：1、支路的合并、支路的合并相加：相加：相乘：相乘：2、節(jié)點的吸收：、節(jié)點的吸收：消去消去X22021-12-13 Down UpMainReturn3、自環(huán)消除、自環(huán)消除cX1X3abX2=X1X3bcab 1X1X3abbc)(3123cXaXbbXX 131XbcabX 三、三、根據(jù)信號流圖求系

8、統(tǒng)函數(shù)根據(jù)信號流圖求系統(tǒng)函數(shù) 匯點與源點之間的函數(shù)關(guān)系，即為系統(tǒng)函數(shù)。匯點與源點之間的函數(shù)關(guān)系，即為系統(tǒng)函數(shù)。 有三種方法求解有三種方法求解a.將將信號流圖信號流圖逐步逐步化簡化簡，得到系統(tǒng)函數(shù)，得到系統(tǒng)函數(shù)b.用信號流圖用信號流圖代數(shù)方程組代數(shù)方程組求解求解c. 用用Mason公式求系統(tǒng)函數(shù)公式求系統(tǒng)函數(shù)2021-12-13 Down UpMainReturnX3X1X2XX4X5YH1H2H3H4-G1-G2-G3-G41、信號流圖代數(shù)方程組法信號流圖代數(shù)方程組法 設(shè)設(shè)X為源點，為源點，Y為匯點，系統(tǒng)函數(shù)為為匯點，系統(tǒng)函數(shù)為H=Y/X由流程圖可得如下方程組由流程圖可得如下方程組 44554

9、3344323122512211XHXXGXHXXGXXXHXXGXGXHX 0000544544334332212151221XXHXGXXHXGXXXXHXHXGXGX變形變形2021-12-13 Down UpMainReturn 0000XXXXX 100010001100001001543214433211121XHGHGHHGHGH 0000000000000000154432154433215433215432121154321211XXHXXXXGXXHXXXXGXXXXXXXXHXHGXXXXHGXH用系數(shù)行列用系數(shù)行列式表示方程式表示方程方程方程1左右兩邊同除左右兩邊同除H

10、1方程組補齊變量方程組補齊變量2021-12-13 Down UpMainReturn543321215000001000110000100/1 XHHGHXHGH5 為為X的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 555XXY 5XYH4325HHH 44223322432144332243211HGHGHGHGHHHGHGHGHGHHHHH Y=X5 只需求只需求X5由克萊姆法則由克萊姆法則 X5= 5/ ； 是系數(shù)矩陣的行列式是系數(shù)矩陣的行列式2021-12-13 Down UpMainReturn iigH2、Mason 公式公式通路傳輸通路傳輸：通路邊界間（開始節(jié)點與終止節(jié)點之間）各支路傳輸之：通路

11、邊界間（開始節(jié)點與終止節(jié)點之間）各支路傳輸之積為通路傳輸；積為通路傳輸；環(huán)路傳輸環(huán)路傳輸：繞環(huán)路一周，各支路傳輸之積；：繞環(huán)路一周，各支路傳輸之積；不接觸不接觸：兩條通路間或兩個環(huán)路間或一條通路與一個環(huán)路之間，若：兩條通路間或兩個環(huán)路間或一條通路與一個環(huán)路之間，若無公共節(jié)點則稱它們互不接觸。無公共節(jié)點則稱它們互不接觸。Mason 公式：公式： 為流圖的行列式。為流圖的行列式。 =1-（所有環(huán)路傳輸之和所有環(huán)路傳輸之和）+（每兩個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之每兩個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和和）-（每三個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和每三個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）+gi 是從源點到匯點的第是從源點到匯

12、點的第i條通路傳輸。條通路傳輸。 i則是此通路流圖的余子式。則是此通路流圖的余子式。 i=1-（與此通路不接觸的各環(huán)路傳輸之和與此通路不接觸的各環(huán)路傳輸之和）+（與此通路不接觸的與此通路不接觸的每兩個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和每兩個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）-（與此通路不接觸的每三個與此通路不接觸的每三個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）+2021-12-13 Down UpMainReturn所有環(huán)路：所有環(huán)路： -G2H2 -G3H3 -G4H4 -G1H2H3H4 =1- (- G2H2 - G3H3 - G4H4 - G1H2H3H4)+(G2H2G3H3 + G

13、2H2G4H4) 11iiggH44223322432144332243211HGHGHGHGHHHGHGHGHGHHHHH 所有通路所有通路 g1= H1H2H3 H4 此通路流圖余子式此通路流圖余子式 1=1X3X1X2XX4X5YH1H2H3H4-G1-G2-G3-G4例：例：2021-12-13 Down UpMainReturnx(n)X(z)cY(z)y(n)az-1x(n)X(z)cY(z)y(n)az-1x(n)X(z)cY(z)y(n)az-1四、四、信號流圖的轉(zhuǎn)置信號流圖的轉(zhuǎn)置 轉(zhuǎn)置定理轉(zhuǎn)置定理：將信號流圖全部支路反向，且保持全部支路傳輸：將信號流圖全部支路反向，且保持全部

14、支路傳輸不變，并將源點和匯點交換位置，則當(dāng)信號流圖中只有一個不變，并將源點和匯點交換位置，則當(dāng)信號流圖中只有一個源點和一個匯點時，轉(zhuǎn)置后的流圖與原圖傳輸函數(shù)相同。源點和一個匯點時，轉(zhuǎn)置后的流圖與原圖傳輸函數(shù)相同。2021-12-13 Down UpMainReturn說明：說明： 對于對于同一傳輸函數(shù)同一傳輸函數(shù)，存在著，存在著多種不同多種不同的的算法結(jié)構(gòu)算法結(jié)構(gòu)，即對同，即對同一個系統(tǒng)有多種不同的實現(xiàn)方案。一個系統(tǒng)有多種不同的實現(xiàn)方案。 不同的方案，不同的方案，數(shù)學(xué)運算復(fù)雜度不同數(shù)學(xué)運算復(fù)雜度不同，所用加法器、乘法器、，所用加法器、乘法器、延遲延遲器件數(shù)目不同器件數(shù)目不同，系統(tǒng)特性對于乘法器

15、系數(shù)變化的，系統(tǒng)特性對于乘法器系數(shù)變化的靈敏靈敏度不同度不同。 應(yīng)選擇應(yīng)選擇乘法器少乘法器少的結(jié)構(gòu)，的結(jié)構(gòu)，提高速度提高速度 應(yīng)選擇應(yīng)選擇延遲器少延遲器少的結(jié)構(gòu)，的結(jié)構(gòu)，減少存儲減少存儲電路電路 應(yīng)選擇對應(yīng)選擇對乘法器系數(shù)變化靈敏度低乘法器系數(shù)變化靈敏度低的結(jié)構(gòu)，的結(jié)構(gòu)，提高系統(tǒng)穩(wěn)定提高系統(tǒng)穩(wěn)定性性算法結(jié)構(gòu)的選擇對于一個系統(tǒng)的實現(xiàn)非常重要。算法結(jié)構(gòu)的選擇對于一個系統(tǒng)的實現(xiàn)非常重要。2021-12-13 Down UpMainReturn 離散系統(tǒng)差分方程描述分為遞歸型和非遞歸型離散系統(tǒng)差分方程描述分為遞歸型和非遞歸型 數(shù)字濾波器可分為數(shù)字濾波器可分為:無限沖激響應(yīng)無限沖激響應(yīng) IIR（Infi

16、nite Impulse Response）有限沖激響應(yīng)有限沖激響應(yīng) FIR（Finite Impulse Response） IIR濾波器都是遞歸型的，濾波器都是遞歸型的， FIR濾波器一般都是非遞歸的濾波器一般都是非遞歸的 IIR濾波器特點：濾波器特點： h(n)無限長；無限長； H(z)在有限在有限z平面上存在極點，因果穩(wěn)定的系統(tǒng)其全部平面上存在極點，因果穩(wěn)定的系統(tǒng)其全部極點一定在單位圓內(nèi)；極點一定在單位圓內(nèi)； 結(jié)構(gòu)存在輸出到輸入的反饋，即遞歸型。結(jié)構(gòu)存在輸出到輸入的反饋，即遞歸型。2021-12-13 Down UpMainReturn NiiMiiinyb inxany10)()()

17、(x(n)z-1 y(n)a0b1a1z-1z-1z-1z-1z-1aMaM-1b2bN根據(jù)方程直接得到根據(jù)方程直接得到圖圖1 數(shù)字網(wǎng)絡(luò)數(shù)字網(wǎng)絡(luò)一、一、直接型直接型 遞歸差分方程：遞歸差分方程：2021-12-13 Down UpMainReturn NiiM-iizYzbzXzazY1i0i)( )()(圖圖2 直接直接型信號流圖型信號流圖x(n)y(n)z-1y1(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1a1b1a0a2aM-1aMb2bN-1bN將差分方程兩邊將差分方程兩邊Z變換變換 用用信號流圖信號流圖表示為表示為2021-12-13 Down UpMainReturn Niii

18、MiiizbzazXzY101)()(H(z)如如圖圖2所示，直接所示，直接I型可看型可看成兩個獨立網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)。成兩個獨立網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)。 Miinxany0i1)()( MiiizazXzY011)()(z)H Niinybnyny1i1)( )()( NiiizbzYzY11211)()(z)H故有故有故有故有得系統(tǒng)函數(shù)得系統(tǒng)函數(shù)是是N節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，不過它是對節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，不過它是對y(n)延時，因而是個延時，因而是個反饋反饋網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)；與；與H(z)分母對應(yīng)，實現(xiàn)濾波器極點。分母對應(yīng)，實現(xiàn)濾波器極點。第二個網(wǎng)絡(luò)第二個網(wǎng)絡(luò)是對輸入是對輸入x(n)的的M節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)，即每個延時抽頭后加權(quán)相

19、加，節(jié)延時鏈結(jié)構(gòu)，即每個延時抽頭后加權(quán)相加，即是一個即是一個橫向網(wǎng)絡(luò)橫向網(wǎng)絡(luò)；與；與H(z)分子對應(yīng)，實現(xiàn)濾波器零點。分子對應(yīng)，實現(xiàn)濾波器零點。第一個網(wǎng)絡(luò)第一個網(wǎng)絡(luò)2021-12-13 Down UpMainReturn圖圖3 直接直接型信號流圖型信號流圖x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1a1a0a2aM-1aMz-1z-1z-1z-1b1b2bN-1bN線性非移變級聯(lián)系統(tǒng)總輸入輸出關(guān)系和子系統(tǒng)級聯(lián)次序無關(guān)線性非移變級聯(lián)系統(tǒng)總輸入輸出關(guān)系和子系統(tǒng)級聯(lián)次序無關(guān)H(z) = H1(z) H2(z) = H2(z) H1(z)可將兩個子網(wǎng)絡(luò)交換，得可將兩個子網(wǎng)絡(luò)交換，得2021-12-13 D

20、own UpMainReturnx(n)y(n)a1a0a2aM-1aMz-1z-1z-1z-1b1b2bN-1bN圖圖4 正準(zhǔn)型正準(zhǔn)型直接型與正準(zhǔn)型共同缺直接型與正準(zhǔn)型共同缺點是系數(shù)點是系數(shù)ai與與bi對濾波對濾波器的性能控制作用不明器的性能控制作用不明顯，且系統(tǒng)頻率特性對顯，且系統(tǒng)頻率特性對于其零、極點位置變化于其零、極點位置變化靈敏度高。易出現(xiàn)不穩(wěn)靈敏度高。易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，尤其當(dāng)階次高定現(xiàn)象，尤其當(dāng)階次高時更明顯（時更明顯（N大）。大）。所以，直接型一般不用，所以，直接型一般不用，正準(zhǔn)型當(dāng)階次高時也不正準(zhǔn)型當(dāng)階次高時也不采用。采用。二、二、正準(zhǔn)型正準(zhǔn)型（典范型）（典范型） 由由圖圖3知

21、兩列傳輸為知兩列傳輸為 z-1的支路有的支路有相同的輸入可把它們合并。這樣相同的輸入可把它們合并。這樣可節(jié)省一半延時單元?？晒?jié)省一半延時單元。2021-12-13 Down UpMainReturn例例5-3-1已知某已知某IIR系統(tǒng)函數(shù)，畫出系統(tǒng)函數(shù)，畫出直接型直接型、正準(zhǔn)正準(zhǔn)型型的結(jié)構(gòu)流圖的結(jié)構(gòu)流圖)21)(41(21148)(223 zzzzzzzH解：解：為了得到直接為了得到直接型結(jié)構(gòu)，必須將型結(jié)構(gòu)，必須將H(z)代為代為z-1的有理式；的有理式；注意注意反饋反饋部分部分系數(shù)系數(shù)符號符號x(n)8-411z-1-2z-1z-1y(n)5/4-3/41/8z-1z-1z-1y(n)5/4

22、-3/41/8-411-28x(n)z-1z-1z-1814345211482323 zzzzzz321321814345121148 zzzzzz2021-12-13 Down UpMainReturn由于系數(shù)由于系數(shù)ai與與bi為實數(shù)，零點為實數(shù)，零點ci與極點與極點di只有兩種可能，只有兩種可能，或是實根，或是共軛復(fù)根?；蚴菍嵏?，或是共軛復(fù)根。 NiiMiizdzcA1111)1()1( NiiiMiiizbzazXzY101)()(H(z)(A=a0 / b0=a0 ) 21211111111111)1)(1()1()1)(1()1()(NiiiNiiMiiiMiizgzgzpzhzh

23、zqAzH212MMM 212NNN 三、三、級聯(lián)型級聯(lián)型 對對H(z)因式分解因式分解2021-12-13 Down UpMainReturn 212112211111221111)1()1()1()1()(NiiiNiiMiiiMiizzzpzzzqAzH把單實根因子看成把單實根因子看成 2i與與 2i為為0的二階因子的特例，并設(shè)的二階因子的特例，并設(shè)NM LiiLiiiiizHAzzzzAzH1122112211)(11)(L為為N/2到到N范圍內(nèi)的某一整數(shù)，當(dāng)范圍內(nèi)的某一整數(shù)，當(dāng)M=N時時21 NL（L對對(N+1)/2取整）取整）將共軛因子組合成實系數(shù)的二階因子。將共軛因子組合成實系

24、數(shù)的二階因子。2021-12-13 Down UpMainReturn2211221111)( zzzzzHiiiiixi(n)yi(n) 1iz-1z-1- 1i 2i- 2i二階二階基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)xi(n)yi(n) 1iz-1- 1i一階一階基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)圖圖5 級聯(lián)型級聯(lián)型H1(z)H2(z)HL(z)x(n)y(n)A級聯(lián)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)級聯(lián)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)2021-12-13 Down UpMainReturn例例5-3-2設(shè)設(shè)IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：)1)(1()1)(1(211211 zzzzzz11z-1z-111y(n)1z-11x(n)3132121

25、221)( zzzzzzH解：解：設(shè)將系統(tǒng)函數(shù)變形為設(shè)將系統(tǒng)函數(shù)變形為：2021-12-13 Down UpMainReturn級聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點：級聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點：n 1i與與 2i確定第確定第i對零點，對零點， 1i與與 2i確定第確定第i對極點，即子網(wǎng)對極點，即子網(wǎng)絡(luò)零、極點是系統(tǒng)的零極點；絡(luò)零、極點是系統(tǒng)的零極點；n調(diào)整任何一個子網(wǎng)絡(luò)的零極點都不影響其它零、極點，具調(diào)整任何一個子網(wǎng)絡(luò)的零極點都不影響其它零、極點，具有獨立性，便于較準(zhǔn)確的實現(xiàn)有獨立性，便于較準(zhǔn)確的實現(xiàn)H(z)特性，靈敏度特性好；特性，靈敏度特性好；n級聯(lián)次序可以互換，零、極點對的搭配為任意，不同的方級聯(lián)次序可以互換，零、極點對

26、的搭配為任意，不同的方案總的系統(tǒng)函數(shù)都相同，但系統(tǒng)特性對于零、極點位置變案總的系統(tǒng)函數(shù)都相同，但系統(tǒng)特性對于零、極點位置變化的靈敏度不同，涉及到最優(yōu)化問題?；撵`敏度不同，涉及到最優(yōu)化問題。2021-12-13 Down UpMainReturn NiiiMiiizbza101H(z)式中式中212NNN 若若M=N，第三項為，第三項為c0 ，若，若M0 處收斂，在處收斂，在 |z|0 處只有零點，而全處只有零點，而全部極點都在部極點都在 z=0 處（因果系統(tǒng)）；處（因果系統(tǒng)）； 結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣

27、結(jié)構(gòu)）也包含有饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。反饋的遞歸部分。2021-12-13 Down UpMainReturn )()(1-N0i inxanyi令令 x(n) = d d(n)，代入差分方程，代入差分方程 )1()1()(y(n)110 d d d d d d NnananaNy(n)即為單位沖激響應(yīng)即為單位沖激響應(yīng) h(n)，則有，則有110)1(,)1(,(0) NaNhahahh(n)在在 0N-1 區(qū)間外為區(qū)間外為0，即，即h(n)長度有限，因此這樣的長度有限，因此這樣的濾波器叫有限沖激響應(yīng)濾波器叫有限沖激響應(yīng)(FIR)濾波器。濾波器。非遞歸差分方

28、程：非遞歸差分方程： )()()(1-N0i n-ixihny 10)()()(H(z)NiizihzXzY110)1(,)1(,h(0) NaNhaha由由iaih )(2021-12-13 Down UpMainReturn121)1()2()1()0(H(z) NNNzNhzNhzhzhz=0 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的 N-1階極點，有階極點，有N-1個零點在有限個零點在有限z平面的任意位置平面的任意位置一、一、直接型直接型)()( )(i)(1-N0inxnhn-ixhny 根據(jù)上式可畫出根據(jù)上式可畫出FIR濾波器的濾波器的直接型直接型結(jié)構(gòu)；結(jié)構(gòu)； 因為是卷積和，又可稱為是因為是卷積和，又可稱

29、為是卷積型卷積型； 或者稱為或者稱為FIR濾波器的濾波器的橫截型橫截型結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)。將將H(z)展開，可得展開，可得h(0)h(1)h(2)h(N-1)z-1z-1z-1z-1x(n)y(n)h(N-2)2021-12-13 Down UpMainReturnx(n)y(n)z-1z-1h(0)z-1h(1)h(2)h(N-1)z-1圖圖7 橫截型（一）橫截型（一）根據(jù)根據(jù)轉(zhuǎn)置定理轉(zhuǎn)置定理圖圖8 橫截型（二橫截型（二）x(n)y(n)z-1z-1h(0)z-1h(1)h(N-1)z-1h(N-2)將上圖放倒，得到將上圖放倒，得到2021-12-13 Down UpMainReturn Kiiii

30、NnnzazaaznhzH12211010)()()(若系數(shù)若系數(shù) 2i=0，則為一階因式；，則為一階因式；K表示表示(N-1)/2到到(N-1)范圍內(nèi)的某一整數(shù)范圍內(nèi)的某一整數(shù)x(n)y(n) 11z-1z-1 01 21 12z-1z-1 02 22 1Kz-1z-1 0K 2K圖圖9 級聯(lián)型級聯(lián)型圖中每個網(wǎng)絡(luò)控制一對零點，即圖中每個網(wǎng)絡(luò)控制一對零點，即零點可單獨控制零點可單獨控制，且系統(tǒng)特性隨，且系統(tǒng)特性隨零點位置變化的靈敏度好；但此結(jié)構(gòu)所需的零點位置變化的靈敏度好；但此結(jié)構(gòu)所需的乘法次數(shù)乘法次數(shù)比橫截型比橫截型多多二、二、級聯(lián)型級聯(lián)型 將將H(z)分解成實系數(shù)二階因子的乘積形式分解成實

31、系數(shù)二階因子的乘積形式2021-12-13 Down UpMainReturn 10111)(1)(NkkNNzWzkHNzH 1011)(1NkkNNzWkHNzNezzH 1)(設(shè)設(shè)11)()( zWkHzHkNk 10)()(1)(NkkezHzHNzH則則(把系統(tǒng)分為兩部分級聯(lián)的形式把系統(tǒng)分為兩部分級聯(lián)的形式)1、第一個子網(wǎng)絡(luò)、第一個子網(wǎng)絡(luò)He(z) 梳狀濾波器梳狀濾波器，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖x(n)-z-Ny(n)三、三、頻率采樣型頻率采樣型 FIR濾波器也可以用遞歸算法來計算。濾波器也可以用遞歸算法來計算。 H(z)可由可由H(k)通過通過一個內(nèi)插式精確的恢復(fù)。一個內(nèi)插式精確

32、的恢復(fù)。2021-12-13 Down UpMainReturnNNNezzzzH11)( 在在z=0處有處有N階極點，零點是階極點，零點是1的的N次次方根，共方根，共N個均勻的分布在單位圓上個均勻的分布在單位圓上kNjkez 2 k = 0-1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1He(z)的頻率響應(yīng)為的頻率響應(yīng)為NjjeeeH 1)(|sincos1|1| )(| NjNeeHNjje故其幅度響應(yīng)為故其幅度響應(yīng)為 | )(| jeeH02 /N4 /N6 /N性質(zhì)：性質(zhì)： He(z)是一個是一個FIR子系統(tǒng)子系統(tǒng)| )2sin(|2 N2021-12-13 Down UpMainRetur

33、nx(n)y(n)z-1WN0z-1WN-1z-1WN-(N-1)H(0) H(1) H(N-1) 1010110)(1)()(NKkNNKkNNkkWzkHzzWkHzHIm(z)Re(z)0z0zN-1z1此外該網(wǎng)絡(luò)在此外該網(wǎng)絡(luò)在z=0處有一階零點，處有一階零點，在有限在有限z平面上有平面上有N-1個零點，此個零點，此網(wǎng)絡(luò)稱為網(wǎng)絡(luò)稱為無損耗并聯(lián)諧振器無損耗并聯(lián)諧振器。2、第二個子網(wǎng)絡(luò)、第二個子網(wǎng)絡(luò)Hk(z) 是是N個一階網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)結(jié)個一階網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)是一個構(gòu)是一個IIR子系統(tǒng)。子系統(tǒng)。 每個一階網(wǎng)絡(luò)都有一個每個一階網(wǎng)絡(luò)都有一個極點極點WN-k，此子網(wǎng)絡(luò)共有，此子網(wǎng)絡(luò)共有N個極點均勻分布在

34、單位個極點均勻分布在單位圓上。圓上。2021-12-13 Down UpMainReturnIm(z)Re(z)0z0zN-1z1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1梳狀濾波器在單位圓上的零點正是并聯(lián)諧振器在單位圓上的梳狀濾波器在單位圓上的零點正是并聯(lián)諧振器在單位圓上的極點，因此當(dāng)兩網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)時，相互抵消。極點，因此當(dāng)兩網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)時，相互抵消。另外在另外在z=0處的極點與一階零點也相互抵消，最后保留在處的極點與一階零點也相互抵消，最后保留在z=0處的處的N-1階極點階極點和和有限有限z平面上的平面上的N-1個零點個零點。兩系統(tǒng)級聯(lián)兩系統(tǒng)級聯(lián)2021-12-13 Down UpMainReturn

35、y(n)z-1WN0z-1WN-1z-1WN-(N-1)H(0) H(1) H(N-1) x(n)-z-N1/N圖圖10 頻率抽樣型結(jié)構(gòu)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)主要特點主要特點是在頻率采樣點是在頻率采樣點 k ，H(ej k)=H(k)因此只要調(diào)整因此只要調(diào)整H(k)就可以有效的調(diào)整系統(tǒng)的頻率特性。就可以有效的調(diào)整系統(tǒng)的頻率特性。缺點缺點：He(z)的零點由延時來實現(xiàn)，的零點由延時來實現(xiàn)， Hk(z)的極點由復(fù)數(shù)乘法的極點由復(fù)數(shù)乘法來實現(xiàn)，因此在實際上二者不能準(zhǔn)確的完全抵消，從而影響來實現(xiàn)，因此在實際上二者不能準(zhǔn)確的完全抵消，從而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果極點落在單位圓外，系統(tǒng)就

36、不穩(wěn)定了。系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果極點落在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。結(jié)構(gòu)如圖：結(jié)構(gòu)如圖： 10)()(1)(NkkezHzHNzH2021-12-13 Down UpMainReturnNNezrzH 1)(11)()( zrWkHzHkNk 1011)(1)(NkkNNNzrWkHNzrzHIm(z)Re(z)0z0zN-1z1r1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1r1這樣即使極點不能完全被零點抵消由于這樣即使極點不能完全被零點抵消由于是在單位圓內(nèi)，也不會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定是在單位圓內(nèi)，也不會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定但要但要注意注意H(k)未作修正。未作修正。)(| )(| )()(kHzHzHkHkNkN

37、WzrWzr 頻率采樣型的修正頻率采樣型的修正1、將單位圓上所有零、極點移到單位圓、將單位圓上所有零、極點移到單位圓內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為r的圓上，的圓上，r1，用，用rz-1來代替來代替He(z)和和Hk(z)中的中的z-12021-12-13 Down UpMainReturnRe(z)0z0zN-1z1r1kNjkrez 2 kkNzzkNkNNWW )()()(kNHkH 因此可將第因此可將第k個和第個和第N-k個諧振器合并成一個實系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)個諧振器合并成一個實系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)1)(11)(1)()()()( zrWkNHzrWkHzHzHzHkNNkNkNkiN為為偶數(shù)偶數(shù)2、將并聯(lián)諧振

38、器中的運算都化為實數(shù)運算、將并聯(lián)諧振器中的運算都化為實數(shù)運算 諧振器的各個根諧振器的各個根為使系數(shù)為實數(shù)，將共軛根合并。為使系數(shù)為實數(shù)，將共軛根合并。共軛根在半徑為共軛根在半徑為r的圓周上以的圓周上以實軸為軸成對稱分布，滿足實軸為軸成對稱分布，滿足利用利用即可導(dǎo)出即可導(dǎo)出)()(kNHkH 2021-12-13 Down UpMainReturn221110)/2cos(21)( zrzNirzzHiii)(Re2)(Re210kNiiWkHrkH N為為偶數(shù)偶數(shù)時總共合并了時總共合并了N-2個個（i=1N/2 -1）還剩還剩 k=0 和和 k=N/2 兩點兩點0z0zN-1z1r1zN/211001)0(1)0()( rzHzrWHzHN12/2/1)2/()( zrWNHzHNNN當(dāng)當(dāng) k=N/2 時時0z0zN-1z1r1N為為奇數(shù)奇數(shù)時總共合并了時總共合并了N-1個個（i=1(N-1)/2）還剩）還剩 k=0點點 11)2/( rzNH當(dāng)當(dāng) k=0 時時2021-12-13 Down UpMainReturnz-1-rH(N/2) z-1rH(0) z-1z-1 1i- r2 0i2rcos(2 i/N)圖圖11 頻率抽樣型修正結(jié)構(gòu)頻率抽樣型修正結(jié)構(gòu)N為為奇數(shù)奇數(shù)時無此項時無此項H1(z)H2(z)HN/2(z)y(n)H0(z)x(n)-