§13函數(shù)的極限PPT課件

1、1.3 1.3 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 燕列雅燕列雅 權(quán)豫西權(quán)豫西 王蘭芳王蘭芳 李琪李琪 第1章 一、函數(shù)極限的定義一、函數(shù)極限的定義 1. 自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限2. 自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量趨于有限值時函數(shù)的極限, )(xfy 對對于于0(4) xx0(5) xx0(6) xx(1) x (2) x (3) x 自變量的變化過程有六種形式自變量的變化過程有六種形式: :XXAAoxy)(xfy A1. 自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限 定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時有定義大于某一正數(shù)時有定義,若若,0X

2、,)(,AxfXx有時當(dāng)則稱常數(shù)則稱常數(shù)時的極限時的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當(dāng)或幾何解釋幾何解釋:AxfA)(XxXx或記作記作,0 xxf當(dāng))(A 為函數(shù)為函數(shù) 當(dāng)當(dāng)x X時，函數(shù)時，函數(shù)y=f ( (x) )的圖形完全落在以的圖形完全落在以直線直線y= =A為中心線，寬為為中心線，寬為2 2的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)例例1. 證明證明. 01limxx證證:01xx1取取,1X,時當(dāng)Xx 10,x因此因此1lim0.xx就有就有故故,0欲使欲使,01x只要只要1x.即即可可oxyxy1兩種特殊情況兩種特殊情況 :Axfx)(lim,0,0X當(dāng)當(dāng)Xx 時時, 有有 Axf)(A

3、xfx)(lim,0,0X當(dāng)當(dāng)Xx時時, 有有 Axf)(2. 自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量趨于有限值時函數(shù)的極限(1) 0 xx 時函數(shù)極限的定義時函數(shù)極限的定義引例引例. 測量正方形面積測量正方形面積.面積為面積為A )邊長為邊長為(真值真值:;0 x邊長邊長面積面積2x直接觀測值直接觀測值間接觀測值間接觀測值任給精度任給精度 , 要求要求 Ax2確定直接觀測值精度確定直接觀測值精度 :0 xx0 xAx點a的 鄰域鄰域.a ),(xaaxa xax)(aa我們稱集合我們稱集合定義定義2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點在點0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)當(dāng)00 x

4、x時時, 有有 Axf)(則稱常數(shù)則稱常數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時的時的極限極限,Axfxx)(lim0或或)()(0 xxAxf當(dāng)即即,0,0當(dāng)當(dāng)),(0 xx時時, 有有若若記作記作 Axf)(Axfxx)(lim0 ),(Uxaax0其中其中, a 稱為稱為鄰域中心鄰域中心 , 稱為稱為鄰域半徑鄰域半徑 .去心去心 鄰域鄰域.左左 鄰域鄰域 :, ),(aa右右 鄰域鄰域 :. ),(aa稱集合稱集合為點為點a的的1.1.函數(shù)極限與函數(shù)極限與f ( (x) )在點在點x0 0是否有定義無關(guān)是否有定義無關(guān)2.2.與任意給定的與任意給定的有關(guān)有關(guān)極限存在極限存在函數(shù)在局部有

5、界函數(shù)在局部有界這表明這表明: 注意注意: :幾何解釋幾何解釋:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 函數(shù)函數(shù)y=f ( (x) )的圖形完全落的圖形完全落在以直線在以直線y= =A為中心線為中心線, ,寬寬為為2 2的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)00 xx當(dāng)當(dāng)時時, 例例2. 證明證明0limxxcc211lim21xxx證證 Axf)(2112xx21 x故故,0取取,當(dāng)當(dāng)10 x時時 , 必有必有2112xx因此因此211lim21xxx1 x由極限的定義容易證明由極限的定義容易證明(c為常數(shù)為常數(shù)),),0000lim,limsin0 ,limcos1xxxxxxxx(2) 左極限與右極限

6、左極限與右極限左極限左極限 :0(0)f x Axfxx)(lim0,0,0當(dāng)當(dāng)),(00 xxx時時, 有有.)( Axf右極限右極限 :0(0)f x Axfxx)(lim0,0,0當(dāng)當(dāng)),(00 xxx時時, 有有.)( Axf由定義由定義2以及左右極限的定義容易得到以及左右極限的定義容易得到Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00例例3.3. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論討論 0 x時時)(xf的極限是否存在的極限是否存在 . . xyo11 xy11 xy解解因為因為)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx)

7、1(lim0 xx1顯然顯然(00)(00) ,ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 . .關(guān)于函數(shù)極限，也有類似于數(shù)列極限的重要結(jié)論關(guān)于函數(shù)極限，也有類似于數(shù)列極限的重要結(jié)論. .表示表示x的某個變化過程中函數(shù)的極限的某個變化過程中函數(shù)的極限定理定理2 2（有界性）（有界性）在一點收斂的函數(shù)必在該點附在一點收斂的函數(shù)必在該點附近有界近有界定理定理3 3（夾逼準(zhǔn)則）（夾逼準(zhǔn)則）且且( )( )( ) ,a xf xb xxI設(shè)在區(qū)間設(shè)在區(qū)間I I上上lim ( )lim ( )a xb xA則則lim( )fxAlim( )f x 定理定理1 1（唯一性）（唯一性）若函數(shù)的極限存在，則這極限是唯一的若函數(shù)的極限存在，則這極限是唯一的. .在自變量的某個變化過程中，在自變量的某個變化過程中，內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 函數(shù)極限的函數(shù)極限的或或X定義定義2. 2. 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì): : 唯一性、有界性、夾逼準(zhǔn)則唯一性、有界性、夾逼準(zhǔn)則與左右極限等價定理與左右極限等價定