2015年高中數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義(文科)第2講相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

1、第 2 講相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例一、選擇題1 在一組樣本數(shù)據(jù)（X1,yi）,（X2,y2），（xn, yn）（ n 2, X1,X2,，xn不全相1等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi, yi）（i = 1,2,，n）都在直線 y=十+ 1 上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）1A1B. 0C.2D. 1答案 D2 .已知 x, y 取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3從所得的散點(diǎn)圖分析可知：y 與 x 線性相關(guān)，且 y= 0.95x+ a,則().A.1.30B . 1.45C . 1.65D . 1.801 1解析 依題意得，x = 6X(0+ 1+ 4

2、+ 5+ 6+ 8) = 4, y = X(1.3+ 1.8 + 5.6+6.1+ 7.4+ 9.3)= 5.25.又直線 y= 0.95x + a 必過樣本中心點(diǎn)(x , y )，即點(diǎn)(4,5.25)，于是有 5.25= 0.95X4+ a,由此解得 a= 1.45,選 B.答案 B3.設(shè)(X1, y1), (x2, y2)，,(xn, yn)是變量 x 和 y 的 n|個(gè)樣本點(diǎn)，直線 I 是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論正確的是().-，A.直線 l 過點(diǎn)（x , y）B.x 和 y 的相關(guān)系數(shù)為直線 I 的斜率C. x 和 y 的相關(guān)系數(shù)在 0 到 1 之

3、間D. 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，分布在 I 兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同解析 由樣本的中心（x, y ）落在回歸直線上可知 A 正確；x 和 y 的相關(guān)系數(shù)表示為 x 與 y 之間的線性相關(guān)程度，不表示直線 I 的斜率，故 B 錯(cuò)；x 和 y 的 相關(guān)系數(shù)應(yīng)在一 1 到 1 之間，故 C 錯(cuò)；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)并不絕對(duì)平均，即無論樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故 D 錯(cuò). 答案 AA. 63.6 萬元B . 65.5 萬元C. 67.7 萬元D . 72.0 萬元3.5（萬元），49 + 26+ 39+ 54y 二4二 42(萬元)，a=yb x=429.4X3.5=9.1，回歸方程為 y=

4、 9.4x+ 9.1，當(dāng) x= 6（萬元）時(shí)，y= 9.4X6+ 9.1 = 65.5（萬元）.答案 B5.為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5 對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下:父親身咼 x/cm174176176176178兒子身高 y/cm175175176177177解析A. y=x 11C. y= 88+解析由題意得 x =B. y=x+1D. y= 176174+ 176+ 176+ 176+ 178=176(cm)，4 某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用 x 與銷售額 y 的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:則 y 對(duì) x 的線性回歸方程為（）.=176（cm）,由于（x , y ）一定滿足線性回歸方程，經(jīng)驗(yàn)證知選 C

5、.答案 C6 下列說法：1將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變；2設(shè)有一個(gè)回歸方程 y= 3-5x,變量 x 增加一個(gè)單位時(shí)，y 平均增加 5 個(gè)單位;3線性回歸方程 y= bx+ a 必過（x , y ）;4在一個(gè) 2X2 列聯(lián)表中，由計(jì)算得X= 13.079,則有 99%以上的把握認(rèn)為這 兩個(gè)變量間有關(guān)系.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）.A. 0B . 1C . 2D. 3解析 只有錯(cuò)誤，應(yīng)該是 y 平均減少 5 個(gè)單位.答案 B二、填空題7._ 已知施化肥量 x 與水稻產(chǎn)量 y 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表，則變量 x 與變量 y 是_相關(guān)（填“正”或“負(fù)”）.施化肥量 x1520253

6、0354045水稻產(chǎn)量 y330345365405445450455解析 因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖能直觀地反映兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，所以畫出散點(diǎn)圖175+ 175+ 176+ 177+ 177如圖所示:通過觀察圖象可知變量 x 與變量 y 是正相關(guān).答案正8.考古學(xué)家通過始祖鳥化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn)：其股骨長(zhǎng)度x(cm)與肱骨長(zhǎng)度 y(cm)的線性回歸方程為 y= 1.197X 3.660,由此估計(jì)，當(dāng)股骨長(zhǎng)度為 50 cm 時(shí)，肱骨長(zhǎng) 度的估計(jì)值為_cm.解析 根據(jù)線性回歸方程 y= 1.197X 3.660,將 x= 50 代入得 y= 56.19,貝 U 肱骨長(zhǎng)度的估計(jì)值為 56.19 cm.答案 56.1

7、99.為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取 50 名學(xué)生，得到如下 2X2 列聯(lián)表：理科文科男1310女720250X(13X2010X7)2x23X27X20X30 心4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系的可能性約為 _ .解析TX-4.844,這表明小概率事件發(fā)生.根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該 斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷正確的可能性約 為 95%.答案 95%10. 某數(shù)學(xué)老師身高 176 cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是 173 cm、170 cm和 182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù) 測(cè)他孫子

8、的身高為_ cm.解析 由題意父親身高 x cm 與兒子身高 y cm 對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：x173170176y170176182173+ 170+ 176170+ 176+ 182=176,(xix)(yiy )=(173-173)X(170-176)+(170-173)X(176-176)+i=1(176- 173)(182- 176)= 18,y - b x = 176- 173= 3.線性回歸直線方程 y = bx+ a= x+ 3.可估計(jì)孫子身咼為 182+ 3= 185(cm).答案 185三、解答題11.某班主任對(duì)全班 50 名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查.數(shù)據(jù)如下表:認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為

9、作業(yè)不多合計(jì)喜歡玩游戲189不喜歡玩游戲815合計(jì)(1)請(qǐng)完善上表中所缺的有關(guān)數(shù)據(jù);(2)試通過計(jì)算說明有多大把握認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系?解(1)認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多合計(jì)喜歡玩游戲18927不喜歡玩游戲81523合計(jì)2624502n ad - bc(2)將表中的數(shù)據(jù)代入公式xa+ b c+d a+c b+ d即說明有 95%以上的把握認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系.(xi- x )2= (173 - 173)2+ (170 - 173)2+ (176 - 173)2=1818.b8 =1. a=50X18X15-8X926X24X27X235.0593.8412.下表提供了某

10、廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5(1) 請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2) 請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y= bx+ a；(3) 已知該廠技改前生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為 90 噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)求 出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo) 準(zhǔn)煤？（參考數(shù)值：3X2.5+ 4X3+ 5X4+ 6X4.5 = 66.5）解(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示.4(2)由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：x2= 86,i = 14已知 x

11、iyi_ 66.5,i _ 1所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為:4_xiyi 4 xi_166.54X4.5X3.5 一b _2_ 0 74864X4.52.2 2xi 4 xi _ 13+4+5+644.5（噸），y2.5+ 3 + 4 + 4.5 _43.5（噸）.y( (能耗：噸標(biāo)準(zhǔn)煤能耗：噸標(biāo)準(zhǔn)煤) )a_yb x_3.50.7X4.5_0.35.因此，所求的線性回歸方程為 尸 0.7x+ 0.35.由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能 耗為：90- (0.7X100+ 0.35)= 19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).13. 某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大

12、小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn) 行分析研究，他們分別記錄了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室 每天每100 顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期12 月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12 月 4 日12 月 5 日溫差 x/C101113128發(fā)芽數(shù) y/顆2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取 2 組，用剩下的 3 組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的 2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).(1) 求選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2 天數(shù)據(jù)的概率；若選取的是 12 月 1 日與 12 月 5 日的兩組數(shù)據(jù)， 請(qǐng)根據(jù) 12 月 2 日至

13、 12 月 4 日的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y= bx+ a.解(1)設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件 A,因?yàn)閺?5 組數(shù)據(jù)中選取 2 組數(shù)據(jù)共 有 10 種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4 種，43所以 P(A)= 1-=(2) 由數(shù)據(jù)，求得 x= 12, y= 27.11X25+13X30+12X26=977，112+132+122=434，5-由公式，求得 b = 2， a= y b x=- 3.5所以 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 y=十一 3.14.有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85 分為優(yōu)秀，85 分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的列聯(lián)表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10乙班30合計(jì) 1052已知從全部 105 人中隨機(jī)抽取 1 人為優(yōu)秀的概率為.(1) 請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表；(2) 根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按 95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān) 系”；(3) 若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10 名學(xué)生從2 到 11 進(jìn)行編號(hào)，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào)試求抽到 6 號(hào)或 10 號(hào)的概率.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班104555乙班203050合計(jì)3075105(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到105X10X30-