數(shù)字信號處理第七

1、 掌握線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點 掌握窗函數(shù)設計法 理解頻率抽樣設計法 了解設計FIR濾波器的最優(yōu)化方法 理解IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較第七章第七章 FIR數(shù)字濾波器的設計方法數(shù)字濾波器的設計方法IIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：可以利用模擬濾波器設計但相位非線性FIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器： 可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性因果穩(wěn)定系統(tǒng)可用FFT計算但階次比IIR濾波器要高得多一、線性相位FIR濾波器的特點 FIR濾波器的單位沖激響應：( )01h nnN10( )( )NnnH zh n z系統(tǒng)函數(shù)：在 z 平面有N 1 個零點在 z = 0 處是N 1 階極點 h(n)為實序列時，

2、其頻率響應：1、線性相位條件()()jjH ee 即群延時 是常數(shù)( )dd 0( ) 第二類線性相位：( ) 第一類線性相位：10()( )Njj nnH eh n e()( )jHe 線性相位是指 是 的線性函數(shù) ()()jjH ee 10()( )Njj nnH eh n e( ) 第一類線性相位()jjH ee 10() coscosNjnH eh nn 10() sinsinNjnH eh nn 1010sinsincoscosNnNnh nntgh nn 1100sincoscossin0NNnnh nnh nn 10sin0Nnh nnn第一類線性相位 的充要條件：( ) ( )

3、(1)01h nh NnnN 12Nn = (N 1) /2 為h(n)的偶對稱中心 10sin0Nnh nnn第二類線性相位 的充要條件：0( ) ( )(1)01h nh NnnN 12N0/2 n = (N 1) /2 為h(n)的奇對稱中心2、線性相位FIR濾波器頻率響應的特點1100( )( )(1)NNnnnnH zh n zh Nn z 1(1)0( )NNmmh m z (1)1()NzH z 1mNn 令系統(tǒng)函數(shù)：( )(1)01h nh NnnN 由1(1)0( )NNmmzh m z (1)11 ( )( )()2NH zH zzH z得11(1)001( )( )2NN

4、nNnnnh n zzh n z1(1)01( )2NnNnnh nzzz11122120( )2NNnnNNnzzzh n (1)1 ()NH zzH z 由11221cos 221sin 2jNNnnz eNnzzNjn 11122120( )2NNnnNNnzzH zzh n112011201( )cos2()( )1( )sin2jNNjnjz eNNjnNeh nnH eH zNjeh nn cos2jxjxeex 頻率響應：( )(1)h nh Nn 11201()( )( )cos2jNNjjz enNH eH zeh nn12N1）h(n)偶對稱為第一類線性相位1( )2N 相

5、位函數(shù)： 頻率響應：( )(1)h nh Nn 11201()( )( )sin2jNNjjz enNH eH zjeh nn12N112201( )sin2NNjjnNeh nn0/22）h(n)奇對稱1( )22N 相位函數(shù)：為第二類線性相位3、幅度函數(shù)的特點1）h(n)偶對稱，N為奇數(shù)11cos(1)cos22NNNnn 11cos22NNn對呈偶對稱101( )( )cos2NnNHh nn幅度函數(shù)：1cos2Nn-32011( )2 ( )cos22NnNNHhh nn121112cos()22NmNNhhmm12Nnm令120( )( )cos()NnHa nn1(0)2Nah其中

6、：11,.,2Nn1( )22Na nhn( )0, , 2 H對呈偶對稱cos()0, 2 n對，呈偶對稱120( )( )cos()NnHa nn2）h(n)偶對稱，N為偶數(shù)12012 ( )cos2NnNh nn101( )( )cos2NnNHh nn幅度函數(shù)：2112cos22NmNhmm2Nnm令/211( )( )cos2NnHb nn( )22Nb nhn1,.,2Nn 其中：1201( )2 ( )cos2NnNHh nn( )H對呈奇對稱( )01Hz 則是零點1 cos02n時1z 為零點故不能設計成高通、帶阻濾波器 ( )0, 2H對呈偶對稱/211( )( )cos2

7、NnHb nn3）h(n)奇對稱，N為奇數(shù)11sin(1)sin22NNNnn 11sin22NNn對呈奇對稱101( )( )sin2NnNHh nn幅度函數(shù)：1sin2Nn -3201( )2 ( )sin2NnNHh nn12112sin()2NmNhmm12Nnm令121( )( )sin()NnHc nn1( )22Nc nhn11,.,2Nn其中：1( )02Nh nNh奇對稱且 為奇數(shù)( )0, 2H故對， 呈奇對稱( )01Hz 則是零點0, , 2 sin()0n時121( )( )sin()NnHc nnsin()0, 2 n因?qū)?，呈奇對稱4）h(n)奇對稱，N為偶數(shù)101

8、( )( )sin2NnNHh nn幅度函數(shù)：12012 ( )sin2NnNh nn1201( )2 ( )sin2NnNHh nn2112sin22NmNhmm2Nnm令/211( )( )sin2NnHd nn( )22Nd nhn1,.,2Nn 其中：( )01Hz 則是零點10, 2 sin02n時n ( )0, 2H對呈奇對稱n nh(n)為奇對稱時，有900相移，適用于微分器和900移相器，而選頻濾波器采用h(n)為偶對稱時( )H對呈偶對稱/211( )( )sin2NnHd nn4、零點位置( )0iH z*, 1/iizz即 也是零點(1)1( )()NH zzH z 得：

9、由1）若 z = zi 是H(z)的零點，則 z = zi-1 也是零點2）h(n)為實數(shù)，則零點共軛成對線性相位濾波器的零點是互為倒數(shù)的共軛對 即共軛成對且鏡像成對(1)1()( )0NiiiH zzH z 1 已知FIR濾波器的單位脈沖響應為： （1） h(n)長度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3（2） h(n)長度N=7 h(0)= h(6)=3 h(1)= h(5)= 2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0試分別說明它們的幅度特性和相位特性各有什么特點。 解解： （1） 由所給h(n)的取值可知，h(n)滿足h(n)=h(N1n)，

10、所以FIR濾波器具有A類線性相位特性： 5 . 221)(N由于N=6為偶數(shù)(情況2)， 所以幅度特性關于=點奇對稱。 （2） 由題中h(n)值可知， h(n)滿足h(n)=h(N1n)， 所以FIR濾波器具有B類線性相位特性： 32212)(N由于7為奇數(shù)(情況3)， 所以幅度特性關于=0, , 2三點奇對稱。2 已知第一類線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應長度為16， 其16個頻域幅度采樣值中的前9個為： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)Hg(8)=0 根據(jù)第一類線性相位FIR濾波器幅度特性Hg()的特點， 求其余7個頻域幅度采樣值。 解解：

11、因為N=16是偶數(shù)（情況2）， 所以FIR濾波器幅度特性Hg()關于=點奇對稱， 即Hg(2)=Hg()。 其N點采樣關于k=N/2點奇對稱， 即Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15綜上所述, 可知其余7個頻域幅度采樣值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)Hg(9)=0二、窗函數(shù)設計法 1、設計方法10()( )()Njj njdnH eh n eHe1( )2jj nddh nHeed( )( )( )dh nw n h nw(n)：窗函數(shù)序列要選擇合適的形狀和長度以低通濾波器為例討論：線性相位理想低通濾波器的頻率響應：(

12、)0,jjccdcceHe 1sin()( )2()ccjj nccdcnh needn其理想單位抽樣響應：中心點為 的偶對稱無限長非因果序列 取矩形窗：( )( )Nw nRn 1sin201 120cccNnnNh nNnn其它( )01( )( ) ( )0ddh nnNh nh n w nn其它則FIR濾波器的單位抽樣響應：12N按第一類線性相位條件，得sin()( )()ccdcnh nn 加窗處理后對頻率響應的影響：時域乘積相當于頻域卷積1()2jjjdH eHeW ed 1120sin2()( )sin2NNjjj nRnNW ew n ee而矩形窗的頻率響應：( )( ) (

13、)dh nh n w nsin2 ( )sin2RNW其幅度函數(shù)： 理想濾波器的頻率響應：12()( )NjjddHeHe11()221()( )()2NNjjjdRH eHeWed 121( )()2NjdReHWd1( )0cdcH其幅度函數(shù)：則FIR濾波器的頻率響應： 1( )()2dRHHWd其幅度函數(shù)： (0)( )RHW近似于的全部積分面積()0.5(0)cHH2cHN為最大值，正肩峰2cHN為最小值，負肩峰( )H隨，繞零值波動( )(0)HH隨，繞波動0c2cN2cN2cN2cN1( )( )()2dRHHWd幅度函數(shù)：加窗函數(shù)的影響： 不連續(xù)點處邊沿加寬形成過渡帶，其寬度（兩

14、肩峰之間的寬度）等于窗函數(shù)頻率響應的主瓣寬度。n在 處出現(xiàn)肩峰值，兩側(cè)形成起伏振 蕩，振蕩的幅度和多少取決于旁瓣的幅度和多少2cNn改變N只能改變窗譜的主瓣寬度，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例。其相對比例由窗函數(shù)形狀決定，稱為Gibbs效應sinsinsin22 ( )sin22RNNxWNNxN幅度函數(shù)：2、各種窗函數(shù) 窗函數(shù)的要求：u窗譜主瓣盡可能窄以獲得較陡的過渡帶u盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度以減小肩峰和波紋( )( )Nw nRnn矩形窗4N主瓣寬度最窄：旁瓣幅度大 1120()( )NNjjj nRRnWew n eWe窗譜：sin2( )sin2RNW幅度函數(shù)： 三角形（Bar

15、tlett）窗21012( )212112nNnNw nnNnNN8N主瓣寬度寬：旁瓣幅度較小 12()NjjW eWe窗譜：2sin24( )sin2NWN幅度函數(shù)： 1N 12( )1cos( )21Nnw nRnN8N22( )0.5( )0.25RRRWWWWNN1N 2( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN8N22( )0.54( )0.23RRRWWWWNN1N 24( )0.420.5cos0.08cos( )11Nnnw nRnNN12N22( )0.42( )0.25RRRWWWWNN440.04RRWWNN1N 凱澤（Kaiser）窗 ：第一類變形零階 貝塞爾

16、函數(shù)0( )I 2002111( )( )nINw nI01nN改變 可同時調(diào)整主瓣 寬度和旁瓣幅度 旁瓣幅度 但主瓣寬度窗函數(shù)窗譜性能指標加窗后濾波器性能指標旁瓣峰值/dB主瓣寬度過渡帶寬阻帶最小衰減/dB矩形窗三角形窗漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗-13-25-31-41-57-5724443.35.55-21-25-44-53-74-80/ 2 / N/ 2 / N7.865阻帶最小衰減只由窗形狀決定過渡帶寬則與窗形狀和窗寬N都有關 下面介紹用窗函數(shù)設計FIR濾波器的步驟。 (1)根據(jù)技術要求確定待求濾波器的單位取樣響應hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ej)

17、，那么單位取樣響應用下式求出：1( )()2jjddh nHee d22101( )()MjkjknMMMdkhnHeeM(7.2.17) (7.2.18) 根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與hd(n)應滿足如下關系：( )()( )MdMrhnh nrM Rn如果hd(n)很難直接求解，就采用頻率域采樣方法求其近似,取M個點： 例如，理想低通濾波器如(7.2.1)式所示，求出單位取樣響應hd(n)如(7.2.2)式，重寫如下： (2)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計窗口長度N。設待求濾波器的過渡帶用表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。 (3) 計算濾波器的單位取樣響應h(n)，

18、 h(n)=hd(n)w(n)sin()1( ),()2cdnNh nn (4)驗算技術指標是否滿足要求。設計出的濾波器頻率響應用下式計算：10()( )Njj nnH eh n e 例7.2.1 用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設計FIR低通濾波器，設N=11,c=0.2rad。 解 用理想低通作為逼近濾波器，按照(7.2.2)式，有sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn 用漢寧窗設計：( )( )( ),0102w( )0.5(1 cos)10dHnHnh nh nnnnn用布萊克曼窗設計： 11( )( )w ( )

19、22w ( )(0.420.5cos0.08cos)( )1010dBlBlh nh nnnnnRn圖7.2.7 例7.2.1的低通幅度特性3、窗函數(shù)法的設計步驟n給定理想的頻率響應函數(shù)及技術指標()jdHe2,n求出理想的單位抽樣響應( )dh nn根據(jù)阻帶衰減選擇窗函數(shù)( )w nn計算頻率響應 ，驗算指標是否滿足要求()jH e/NAn根據(jù)過渡帶寬度確定N值( )( )( )dh nh nw nn求所設計的FIR濾波器的單位抽樣響應公式法：()jdHe( )dh n, ( )( )dMMNh nhn當時IFFT法：1( )2jj nddh nHeed( )()Mdrhnh nrM計算其I

20、FFT，得：對 M點等間隔抽樣：()jdHe2()jkMdHe4、線性相位FIR低通濾波器的設計/2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 250dB解：1）求數(shù)字頻率例：設計一個線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為 ，421.5 10 (/sec)srad 321.5 10 (/sec)prad 通帶截止頻率為 ，323 10 (/sec)strad 阻帶起始頻率為 ，阻帶衰減不小于-50dB，幅度特性如圖所示2）求hd(n)()0,jjccdcceHe ccsf()11( )22ccjj njndh needed1sin()()ccnnnn12N1/220.3psts 2

21、( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN20.2stps 6.6330.2AN1162N4）確定N 值250dB3）選擇窗函數(shù)：由 確定海明窗（-53dB）6.6N海明窗帶寬：5）確定FIR濾波器的h(n)( )( ) ( )dh nh n w n33sin 0.3160.540.46cos( )1616nnRnn6）求 ，驗證()jH e若不滿足，則改變N或窗形狀重新設計4 用矩形窗設計線性相位低通FIR濾波器， 要求過渡帶寬度不超過/8 rad。 希望逼近的理想低通濾波器頻率響應函數(shù)Hd(ej)為（1） 求出理想低通濾波器的單位脈沖響應hd(n)；（2） 求出加矩形窗設計的低通

22、FIR濾波器的單位脈沖響應h(n)表達式， 確定與N之間的關系； （3） 簡述N取奇數(shù)或偶數(shù)對濾波特性的影響。 |0 | 0e)e (cjjdcaHccjjjjddc11( )(e)edeed22sin() ()nnh nHnn（2） 為了滿足線性相位條件， 要求， N為矩形窗函數(shù)長度。 因為要求過渡帶寬度 rad, 所以要求, 求解得到N32。 加矩形窗函數(shù), 得到h(n)： 21Na8N48)()()(sin)()()(cdnRanannRnhnhNNnNaNnanan其它021, 1 0)()(sinc（1） （3） N取奇數(shù)時， 幅度特性函數(shù)Hg()關于=0, , 2三點偶對稱， 可實

23、現(xiàn)各類幅頻特性； N取偶數(shù)時， Hg()關于=奇對稱， 即Hg()=0， 所以不能實現(xiàn)高通、 帶阻和點阻濾波特性。 5、線性相位FIR高通濾波器的設計()()1( )2ccjnjndh neded1sinsin()1()ccnnnnn()=()cc高通濾波器全通濾波器低通濾波器其單位抽樣響應：12N()0jjcdeHe其它理想高通的頻響：5 用矩形窗設計一線性相位高通濾波器， 要求過渡帶寬度不超過/10 rad。 希望逼近的理想高通濾波器頻率響應函數(shù)Hd(ej)為其它0 | e)e (jjdcaH（1） 求出該理想高通的單位脈沖響應hd(n)； （2） 求出加矩形窗設計的高通FIR濾波器的單位

24、脈 沖響應h(n)表達式， 確定與N的關系； （3） N的取值有什么限制？為什么？)(sin)(sin)(1cnananjjdd1( )(e ) ed2nh nH)()(sin)(cananan（1） 直接用IFTHd(ej)計算： h(n)=hd(n)RN(n)=)()()(sin)(cnRnnnN（2） 為了滿足線性相位條件： h(n)=h(N1n)要求滿足12N（3） N必須取奇數(shù)。 因為N為偶數(shù)時（情況2）， H(ej)=0， 不能實現(xiàn)高通。 根據(jù)題中對過渡帶寬度的要求， N應滿足：, 即N40。 取N=41。N4106、線性相位FIR帶通濾波器的設計1221()()1( )2jnjn

25、dh neded21211sinsin1nnnnn1221(,)=()() 帶通濾波器低通濾波器低通濾波器其單位抽樣響應：120()0jjdeHe其它理想帶通的頻響：12N6 理想帶通特性為 | |0 | e)e (cccjjdBBHa（1） 求出該理想帶通的單位脈沖響應hd(n)； （2） 寫出用升余弦窗設計的濾波器的h(n)表達式， 確定N與之間的關系； （3） 要求過渡帶寬度不超過/16 rad。 N的取值是否有限制？為什么？7、線性相位FIR帶阻濾波器的設計2112()()()1( )2jnjnjndh nededed12121sinsinsin1nnnnnn1221()=()()帶阻

26、濾波器，高通濾波器+低通濾波器其單位抽樣響應：12N120,()0jjdeHe 其它理想帶阻的頻響：三、頻率抽樣設計法 1、設計方法 對理想頻率響應等間隔抽樣 作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值2( )( )()jddkNH kHkHe0,1,.,1kN( )h n( )H z()jH e10()( )()Njj njdnH eh n eHe1( )()2jj nddh nHeed( )( )( )dh nw n h n窗函數(shù)設計法：1101( )( )1NNkkNzH kH zNWz 102NjkH eH kkN12sin12( )sin2NjNeN 11(1)20sin21sin2

27、kNNjNjjNkkNNH eeH kekNN內(nèi)插公式： 抽樣點上，頻率響應嚴格相等n抽樣點之間，加權內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加 n變化越平緩，內(nèi)插越接近理想值，逼近誤差較小1、線性相位的約束1）h(n)偶對稱，N為奇數(shù) 12NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH幅度偶對稱：1 2112kNkkNN 相位函數(shù)：2kN 設用理想低通作為希望設計的濾波器，截止頻率為c，采樣點數(shù)N，Hg(k)和(k)用下面公式計算： N=奇數(shù)時，( )()1,0,1,2,( )0,1,2,11( ),0,1,2,1ggcgcccHkHNkkkHkkkkNkNkk kNN (7.3.1

28、3)2）h(n)偶對稱，N為偶數(shù)12()( )NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH 幅度奇對稱：11kkN 相位函數(shù)：2kN N=偶數(shù)時， ( )1,0,1,2,( )0,1,2,1()1,0,1,2,1( ),0,1,2,1gcgcccgcHkkkHkkkkNkHNkkkNkk kNN (7.3.14) 2. 逼近誤差及其改進措施 如果待設計的濾波器為Hd(ej),對應的單位取樣響應為hd(n)，1( )()2jj nddh nHeed 則由頻率域采樣定理知道，在頻域02之間等間隔采樣N點，利用IDFT得到的h(n)應是hd(n)以N為周期，周期性延

29、拓乘以RN()，即( )()( )dNrh nh nrN Rn 由采樣定理表明，頻率域等間隔采樣H(k)，經(jīng)過IDFT得到h(n)，其Z變換H(z)和H(k)的關系為120110121( )( )12()( )()1 sin(/2)( )sin(/2)N NjkNNjkNjzH kH zNezH eH kkNNeN 圖7.3.1 理想低通濾波器增加過渡點 頻率響應：12(0) sin2sin2NjjNHH eeN 1sinsin22sinsin22MkkkNNH kNNkkNNN 12NM當N為奇數(shù)時：12NM 當N為偶數(shù)時： 增加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減，但導致過渡帶變寬n增加N，使抽樣點變密，減小過渡帶寬度，但增加了計算量n優(yōu)點：頻域直接設計n缺點：抽樣頻率只能是 或 的整數(shù)倍， 截止頻率 不能任意取值2 /