數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題——離散型隨機(jī)變量分布列(新課標(biāo))

1、耗用子彈數(shù)的分布列例某射手有5 發(fā)子彈， 射擊一次命中概率為0.9 ，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列分析： 確定取哪些值以及各值所代表的隨機(jī)事件概率，分布列即獲得解：本題要求我們給出耗用子彈數(shù)的概率分布列 我們知道只有5 發(fā)子彈， 所以的取值只有 1， 2， 3， 4，5當(dāng)1 時(shí)，即 P(1)0.9 ；當(dāng)2時(shí)，要求第一次沒(méi)射中，第二次射中，故P(2)0.1 0.90.09 ；同理，3 時(shí)，要求前兩次沒(méi)有射中，第三次射中， P(3)0.120.90.009 ；類(lèi)似地， P(4)0.130.90.0009 ；第 5 次射擊不同，只要前四次射不中，都要射第5 發(fā)子彈，也

2、不考慮是否射中，所以P(5)0.14 ，所以耗用子彈數(shù)的分布列為：0123P0.90.090.0090.0001說(shuō)明： 搞清5 的含義，防止這步出錯(cuò)5 時(shí)，可分兩種情況：一是前4 發(fā)都沒(méi)射中，恰第5 發(fā)射中，概率為0.1 4 × 0.9 ；二是這 5發(fā)都沒(méi)射中，概率為0.1 5 ，所以，P(5)0.140.9 0.15當(dāng)然 ，5還有一種算法 ： 即P(5)1 (0.90.090.0090.0009)0.0001 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)呈录l(fā)生偶數(shù)次的概率例如果在一次試驗(yàn)中，某事件 A發(fā)生的概率為p，那么在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這件事A 發(fā)生偶數(shù)次的概率為_(kāi)分析：發(fā)生事件A的次數(shù) B n,

3、p，所以，p(k )C nk pk qn k , (q1p, k0,1,2,n) 其中的 k 取偶數(shù) 0， 2，4，時(shí)，為二項(xiàng)式( pq) n 展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的和，由此入手，可獲結(jié)論解 ： 由 題 ， 因 為 B n, p且取 不 同 值 時(shí) 事 件 互 斥 ， 所 以 ，。- 1 -歡迎下載PP( 0)P(2) P( 4)0 0qn2 2 n 24 4qn 41(qp)n(q p)n11(1 2 p)nCnpCn p qCn p22（因?yàn)?pq1，所以 q p12 p ）說(shuō)明：如何獲得二項(xiàng)展開(kāi)式中的偶數(shù)次的和？這需要抓住(qp)n 與 ( qp) n 展開(kāi)式的特點(diǎn)：聯(lián)系與區(qū)分，從而達(dá)到去除p

4、 奇次，留下 p 偶次的目的根據(jù)分布列求隨機(jī)變量組合的分布列例已知隨機(jī)變量的分布列為 2 10123P134121121212121212分別求出隨機(jī)變量11, 22 的分布列211 x ， 即解 ：由 于1對(duì)于不同的有 不 同 的 取 值 y22y11 x11, y 21 x 21 , y 31 x30, y 41 x41 , y51 x 5 1, y61 x63 ，222222222所以1 的分布列為1 110112223134121P12121212121222 對(duì)于的不同取值 2， 2及 1， 1，2 分別取相同的值4與1，即2取 4這個(gè)值的概率應(yīng)是取2 與 2 值的概率1 與2 合并

5、的結(jié)果，2 取 1 這個(gè)值的概率就是取 11212與 1 值的概率3 與1 合并的結(jié)果，故2的分布列為121220149P443112121212說(shuō)明：在得到的1 或2 的分布列中，1 或2 的取值行中無(wú)重復(fù)數(shù)，概率得中各項(xiàng)必須非負(fù)，且各項(xiàng)之和一定等于1成功咨詢(xún)?nèi)藬?shù)的分布列。- 2 -歡迎下載例某一中學(xué)生心理咨詢(xún)中心服務(wù)電話(huà)接通率為3 ，某班 3 名同學(xué)商定明天分別就同一4問(wèn)題詢(xún)問(wèn)該服務(wù)中心且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢(xún)的人數(shù)的分布列分析： 3 個(gè)人各做一次試驗(yàn)，看成三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，撥通這一電話(huà)的人數(shù)即為事件的發(fā)生次數(shù)，故符合二項(xiàng)分布3k3kB 3,P(k )k31,k 0,1,2,3解

6、：由題：4，所以C344，分布列為0123P19272764646464說(shuō)明： 關(guān)鍵是理解二項(xiàng)分布的特點(diǎn)：即某同一事件，在n 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，以事件發(fā)生的次數(shù)為隨機(jī)變量盒中球上標(biāo)數(shù)于5 關(guān)系的概率分布列例 盒中裝有大小相等的球 10 個(gè)，編號(hào)分別為 0，1，2， 9，從中任取 1 個(gè)，觀(guān)察號(hào)碼是“小于 5”“等于 5”“大于 5”三類(lèi)情況之一規(guī)定一個(gè)隨機(jī)變量，并求其概率分布列分析： 要求其概率的分布列可以先求個(gè)小球所對(duì)應(yīng)的概率解： 分別用 x1, x2 , x3 表示題設(shè)中的三類(lèi)情況的結(jié)果：x1 表示“小于5”的情況，x 2 表示“等于 5”的情況，x 3 表示“大于5”的情況設(shè)隨機(jī)變量為，

7、它可能取的值為x1, x 2 , x3 ,取每個(gè)值的概率為P (x1 )P （取出的球號(hào)碼小于5）5，10P (x2 )P （取出的球號(hào)碼等于5）1，10P (x3 )P （取出的球號(hào)碼大于5）4 10故 的分布列為Px1x 2x31122105小結(jié)： 分布列是我們進(jìn)一步解決隨機(jī)變量有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)，因此準(zhǔn)確寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列是很重要的，但是我們不能保證它的準(zhǔn)確性，這時(shí)我們要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性外，還可以。- 3 -歡迎下載n利用pi1 進(jìn)行檢驗(yàn)i1求隨機(jī)變量的分布列例一袋中裝有5 只球，編號(hào)為1， 2，3，4， 5，在袋中同時(shí)取 3 只，以表示取出的 3只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列分析

8、： 由于任取三個(gè)球，就不是任意排列，而要有固定的順序，其中球上的最大號(hào)碼只有可能是3， 4，5，可以利用組合的方法計(jì)算其概率解： 隨機(jī)變量的取值為 3， 4， 5當(dāng) 3 時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為3，則其他二球的編號(hào)只能是1， 2，故有P(3)C 321 ;C5310當(dāng) 4 時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為4，則其他二球只能在編號(hào)為1，2，3 的 3 球中取 2 個(gè)，故有P (4)C323;C 5310當(dāng) 5 時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為5，則其他二球只能在編號(hào)為1，2，3，4 的 4球中取 2 個(gè)，故有2P(5)C363.C35105因此，的分布列為345136P101010說(shuō)明：對(duì)于隨

9、機(jī)變量取值較多或無(wú)窮多時(shí)，應(yīng)由簡(jiǎn)單情況先導(dǎo)出一般的通式，從而簡(jiǎn)化過(guò)程取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)的分布列。- 4 -歡迎下載例 一批零件中有 9 個(gè)合格品與 3 個(gè)不合格品 安裝機(jī)器時(shí)， 從這批零件中任取一個(gè) 如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)的分布列分析 ：取出不合格品數(shù)的可能值是0， 1， 2， 3，從而確定確定隨機(jī)變量的可能值解：以表示在取得合格品以前取出的不合格品數(shù)，則是一個(gè)隨機(jī)變量，由題設(shè)可能取的數(shù)值是0， 1， 2， 3當(dāng) 0 時(shí)，即第一次就取到合格品，其概率為P(0)30.750;12當(dāng) 1 時(shí)，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得

10、合格品，其概率為39P( 1)0.204;12 11當(dāng) 2 時(shí)，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率為P (3292)0.041;12 11 11當(dāng) 3 時(shí)，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率為P(32193)0.005.12 11 109所以的分布列為0123P0.7500.2040.0410.005說(shuō)明： 一般分布列的求法分三步： （ 1）首先確定隨機(jī)變量的取值喲哪些； （ 2）求出每種取值下的隨機(jī)事件的概率；（ 3）列表對(duì)應(yīng)，即為分布列關(guān)于取球的隨機(jī)變量的值和概率例 袋中有 1 個(gè)紅球， 2 個(gè)白球， 3 個(gè)黑球，現(xiàn)從中任取一球觀(guān)察其顏色確定這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量，并指出在這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中隨機(jī)變量可能取的值及取每個(gè)值的概率分析： 隨機(jī)變量變量是表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量，隨機(jī)變量的可能取值是隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果組成解： 設(shè)集合 M x1 , x 2 , x3 ，其中 x1 為“取到的球?yàn)榧t色的球” ， x 2 為“取到的球?yàn)榘咨那颉保?x 3 為“取到的球?yàn)楹谏那颉蔽覀円?guī)定：(x i ) i (i1,2,3) ，即當(dāng) x x i 時(shí)， (x )i ，這樣，我們確定( x ) 就是一個(gè)隨機(jī)變