數(shù)理統(tǒng)計試題及答案

1、一、填空題（本題 15 分，每題3 分）1、總體 X N (20,3)的容量分別為10， 15 的兩獨立樣本均值差 X Y _；2、設(shè) X1, X 2,., X16為取自總體X N (0,0.52 ) 的一個樣本，若已知0.201 (16)32.0 , 則16PX i28 =_ ；i13、設(shè)總體 X N(, 2)，若和2均未知， n 為樣本容量，總體均值的置信水平為1的置信區(qū)間為 ( X, X) ，則的值為 _；4、設(shè) X1 , X 2 ,., X n 為取自總體 X N (,2 ) 的一個樣本， 對于給定的顯著性水平，已知關(guān)于222(n1) ，則相應(yīng)的備擇假設(shè) H 1 為_；檢驗的拒絕域為1

2、5、設(shè)總體 X N( ,2 ) ，2 已知，在顯著性水平0.05 下，檢驗假設(shè) H 0 :0,H1:0 ，拒絕域是 _。13、 t( n1)S；4、22z0.05 。1、 N (0， ) ； 2、 0.01；n0 ； 5、 z22二、選擇題（本題15 分，每題3 分）1、設(shè) X1,X2,X3是取自總體 X 的一個樣本，是未知參數(shù)，以下函數(shù)是統(tǒng)計量的為（）。（A） (X1X 2X 3 )（B） X1X 2X 31X2 X313)2（C） X1（ D）(X i3 i12、設(shè) X 1, X 2,.,X n 為取自總體 X N (,2 ) 的樣本， X 為樣本均值， Sn21 n(X iX)2，n i

3、 1則服從自由度為n1 的 t 分布的統(tǒng)計量為（）。（A ）n ( X）n ( X)n 1( X）n 1( X)（ B ）（C）（ D）SnSn3、設(shè) X1, X2, X n 是來自總體的樣本，D(X)2 存在，S21n(X iX)2,n1 i 1則（）。（A） S2是2 的矩估計（B） S2 是2的極大似然估計（C） S2是2 的無偏估計和相合估計（D）S2 作為2 的估計其優(yōu)良性與分布有關(guān)、設(shè)總體 X N(1,2),Y N(2,2 )相互獨立，樣本容量分別為n ,n，樣本方差分別4121222下，檢驗 H 0:2222）。為 S1, S2 ，在顯著性水平12,H1:12 的拒絕域為（精品文

4、庫（ A ）s22F(n21, n11)s22F( n21, n11)2（ B）21s1s12（ C）s22F(n11,n21)s22F( n11, n21)2（ D）21s1s12、設(shè)總體 X N(,2 ) ，2已知，未知，x , x, xn是來自總體的樣本觀察值，已512知 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間為（4.71， 5.69），則取顯著性水平0.05 時，檢驗假設(shè)H0:5.0, H1 :5.0 的結(jié)果是（）。（ A ）不能確定（B）接受 H0（C）拒絕 H0（D ）條件不足無法檢驗1、B； 2 、D； 3 、C； 4 、A； 5 、B.三、（本題14 分）設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為

5、：f ( x)2x, 0x，其中未知2其他0,參數(shù)0， X1, X n 是來自 X 的樣本，求（1）的矩估計；（ 2）的極大似然估計。解： (1)E(X )x f ( x)d x2x 2202d x，3?X2，得?3的矩估計量。令 E(X)3X 為參數(shù)2(2)似然函數(shù)為： L (xi , )n2 xi2 nnxi, (i1,2, , n) ，i 122 nxi ，0i 1而 L() 是的單調(diào)減少函數(shù)，所以的極大似然估計量為?max X 1 , X 2 , X n 。四、（本題14 分）設(shè)總體 X N (0,2 ) ，且 x1 , x2x10 是樣本觀察值，樣本方差s22 ，2 的置信水平為 0

6、.95 的置信區(qū)間；（2）已知 YX22 (1)，求D X2（1）求23的置信水平為0.95 的置信區(qū)間； （22.70 ，219.023）。0.975 (9)0.025 (9)解：（1）2 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間為18,18，即為（ 0.9462， 6.6667）；220.025 (9)0.975 (9)X 2=1DX 21D2 (1)2；（2） D32222歡迎下載2精品文庫由于 DX 2222,2，32 是的單調(diào)減少函數(shù)，置信區(qū)間為22即為（ 0.3000，2.1137）。五、（本題 10 分）設(shè)總體 X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布， 其中0未知， X1, X n 為取自總體 X 的

7、樣本，若已知 U2 nX i 2 (2n) ，求：i 1（ 1） 的置信水平為 1的單側(cè)置信下限；（2）某種元件的壽命（單位：h）服從上述指數(shù)分布，現(xiàn)從中抽得容量為16 的樣本，測得樣本均值為5010 （ h ），試求元件的平均壽命的置信水平為0.90的單側(cè)置信下限。( 02.05 ( 31)44.985, 02. 10 (32)42.585)。解： (1)P 2nX2 ( 2n)1,P2nX1,2 (2n)即 的單側(cè)置信下限為2nX；（ 2）2 16 50103764.706 。242.585( 2n)六、（本題14 分）某工廠正常生產(chǎn)時，排出的污水中動植物油的濃度X N (10,1)，今階

8、段性抽取 10個水樣，測得平均濃度為10.8（ mg/L ），標(biāo)準(zhǔn)差為1.2（ mg/L ），問該工廠生產(chǎn)是否正常？（0.05, t0.025 (9)2.2622,0.2025 (9)19.023,0.2975 (9)2.700 ）解：（ 1）檢驗假設(shè)H 0：2=1， H1：22(n1)s 2 1； 取統(tǒng)計量：2；022( n1)2=2.70 或22(n1)2拒絕域為：10.975 (9)0.025 =19.023，22經(jīng)計算：2( n1)s291.2 212.96，由于212.96(2.700,19.023)221，0故接受 H 0，即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油濃度的方差為2=1。（2）檢

9、驗假設(shè) H 0：10， H 1：10；X10(9) ；取統(tǒng)計量： t tS /102拒絕域為 t t0 .025 ( 9)2.2622 ；10.8102.1028 <2.2622，所以接受 H 0 ，t101.2 /即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油的平均濃度是10（ mg/L ）。綜上，認(rèn)為工廠生產(chǎn)正常。七、（本題 10 分）設(shè) X 1, X 2 , X 3, X 4 為取自總體X N ( ,4 2 ) 的樣本，對假設(shè)檢驗問題歡迎下載3精品文庫H 0 :5, H 1 :5 ，（ 1）在顯著性水平0.05 下求拒絕域；（ 2）若=6 ，求上述檢驗所犯的第二類錯誤的概率。(1) 拒絕域為zx5x51.96 ;解：4 /42z0. 025（2）由 (1) 解得接受域為（1.08， 8.92），當(dāng)=6 時，接受 H 0 的概率為P1.08X8.928.9261.086220.921。八、（本題 8 分）設(shè)隨機(jī)變量X 服從自由度為 ( m, n) 的 F 分布， (1)證明：隨機(jī)變量1 服從X自由度為 (n, m) 的 F 分布； (2) 若 mn，且 P X 0.05 ，求 P X1 的值。證明：因為 X F ( m,n) , 由 F 分布的定義可