函數(shù)單調(diào)性教案

1、函數(shù)的單調(diào)性一、教學背景：“函數(shù)的單調(diào)性”是新課標人教版數(shù)學1第一章第三節(jié)的教學內(nèi)容。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要的性質(zhì)，從知識的結構上看，函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容的基礎，在研究各種具體函數(shù)的性質(zhì)，解決各種問題中都有著廣泛的應用。二、教學目標：（1） 知識與技能：理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象的關系。初步掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。（2） 過程與方法：通過觀察、歸納、抽象、概括等形成概念領會數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，提高發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力。（3） 情感態(tài)度與價值觀：在研究的過程中，激發(fā)學生的興趣，調(diào)動學生的積極性，

2、使學生勇于提出問題，樂于探索問題，最終解決問題，感受數(shù)學的魅力。三、教學重點和難點：（1）教學重點：函數(shù)單調(diào)性的概念。（2）教學難點：根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性。四、教學方法和教學手段的選擇：本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)講授，學生探究學習的教學方法，通過創(chuàng)設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法本節(jié)課使用多媒體輔助教學，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識五、教學過程：1.創(chuàng)設情境，導入課題圖示是某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖，觀察這個氣溫變化圖，問題1：（1）請同學們指出該天的氣溫在如何變化？怎樣用數(shù)學語言來描述“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？（2

3、）同學們還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？預案：水位高低、燃油價格、股票價格等學生活動：獨立思考教師行為：提問、引導學生作答設計意圖：要想認識和理解函數(shù)單調(diào)性這一抽象的定義，必須從幾何直觀入手，即從函數(shù)圖象入手。這個問題的設置就是想通過實際生活中的一個例子，讓學生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認識，為下一步對概念的理性認識做好鋪墊。同時通過這個實例，讓學生感受到函數(shù)的單調(diào)性和我們的生活密切相關，進而激發(fā)學生的興趣，引發(fā)學生進一步學習的好奇心。2抽象思維，概念的形成過程問題2：給同學們一分鐘的時間畫出函數(shù)和= 的圖象，回答下面兩個問題：（1）分別指出上面兩個函數(shù)的圖象在哪個區(qū)間是上升的，在

4、哪個區(qū)間是下降的？學生活動：小組合作探求問題的答案教師行為：在問題1的基礎之上，通過學生們熟悉的兩個圖象，進一步強化他們對圖象的感性認識，引導學生能用自然語言描述出圖象的變化規(guī)律，讓學生大膽去說，教師逐步修正、完善學生的說法，最后給出正確答案。設計意圖：從數(shù)學學科這個整體來看，數(shù)學的高度抽象性造就了數(shù)學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規(guī)律，在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象。以同學們熟悉的一次函數(shù)和二次函數(shù)為切入點，順應了同學們的認知規(guī)律，做到了直觀和具體。（2）同學們能根據(jù)初中學過的知識，用數(shù)學語言來描述一下“上升”和“下降”的含義嗎？

5、學生活動：小組合作探求問題的答案教師行為：在知識過渡的關鍵點處，教師引導學生從函數(shù)變量的角度去分析問題，給學生一定的時間，讓他們通過觀察、思考、探究對問題做出答案。有條件的情況下，教師可通過“幾何畫板”展示圖象上A點的運動情況，讓學生觀察和值的變化。運用初中所學知識就能得到結論：函數(shù)在上隨著的增大，也增大。我們稱這樣的函數(shù)為增函數(shù)。同理我們把隨著的增大而減小的函數(shù)稱為減函數(shù)。 用類比的方法，我們得到：函數(shù)=在區(qū)間上，隨著的增大，相應的減少。在區(qū)間上，隨著的增大，相應的增大。設計意圖：學生對圖象的認識由感性上升到理性，這是一個難點。如果能運用幾何畫板，就會使問題變得直觀，讓學生更好的體會數(shù)與形的

6、完美結合。問題3：你能推斷圖象的升降趨勢嗎？學生活動：小組合作、交流教師行為：就學生目前的認知水平，無法得知函數(shù)的圖象，學生陷入了困境，在不知圖象的前提下，我們能得知圖象的升降趨勢嗎？教師把問題拋給學生，讓學生大膽猜想?？梢酝葡?，同學們在沒有圖象的前提之下，會想通過給函數(shù)的自變量取特殊值來說明函數(shù)的增減性，對學生的思考的預想： 預想1：如當時，；當時，顯然，由此推斷：當增大時，隨著減小，會得出結論函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)。預想2：如當=時，；當=時，顯然，此推斷：當增大時，隨著增大，會得出結論函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)。同學們的猜想對嗎？用“幾何畫板”做出圖象，并及時提問，為什么會出錯？因為不能用特殊的

7、兩個值來判斷。我們以前學的概念是描述性定義，怎樣用精確的數(shù)學語言來定義呢？3.給出定義，剖析概念教師提問：1.請大家說說上述定義的“增大”是什么意思？（比較） 2.比較至少是幾個量之間？（兩個） 3.怎樣取這兩個量？取特殊值可以嗎？（不可以，必需取遍整個區(qū)間的所有值） 4.能做到一一全部都取出來嗎？（不能，任意取和）引導學生寫出單調(diào)性的嚴格定義：設函數(shù)的定義域為，如果對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值和，當時，都有,那么就說函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù), 稱為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。如果對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值和，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù), 稱為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)

8、間。圖象的變化趨勢為：對定義的分析：（1）區(qū)間：函數(shù)單調(diào)性是針對某一個區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)（2）任意： 和具有任意性，不能用特殊值代替。（3）函數(shù)的單調(diào)性與的誰大誰小無關，表現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量的變化而變化的一種趨勢設計意圖：函數(shù)的單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖識數(shù)的過程，在這個過程中，留給學生思維的時間和空間，在課堂上隨學生的思路的變化而變化，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，提高學生的探究能力。4.范例講解，運用概念 例1如圖，是定義在閉區(qū)間-5，5上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是是函數(shù)還是減函數(shù)？學生活動：獨立思考教師行為：直接提問設計意圖

9、：心理學認為概念一旦形成，必須及時加以鞏固.設計例1，通過直觀的的圖象加深學生對函數(shù)單調(diào)性等概念的理解.注意：函數(shù)的單調(diào)性是對某一個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題，同時，在區(qū)間的端點處若有定義，可開可閉，但在整個定義域內(nèi)要完整。例2判斷函數(shù)=在上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明結論.學生活動：獨立思考教師行為：直接提問證明：設任意的且，則由，得0，0于是 0即所以，=在上是增函數(shù)。設計意圖：使學生從簡單的函數(shù)入手，體會用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，有助于學生的理解。例3物理學中的玻意耳定律（是正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當體積

10、減小時壓強將增大試用函數(shù)單調(diào)性證明之學生活動：獨立思考教師行為：提問：1.是函數(shù)嗎？ 2.你能畫出的圖像嗎？ 3.是否具有單調(diào)性，請猜想.4.證明你的猜想.證明：設任意的且 因為，則0又因為，則0因為0所以0即，所以體積減小，壓強將增大設計意圖：用數(shù)學方法證明物理學中的一個定理，體現(xiàn)了學科之間的整合，突出了函數(shù)單調(diào)性的重要性。沒有按照傳統(tǒng)的證明函數(shù)單調(diào)性的“四步曲”，而是設置了四個問題，盡可能的讓學生去思考，這樣不僅可以提高學生探究問題的能力，還可以加深學生對定義的理解.總結：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟： 任意取值：即設該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值和，且  作差變形：作差（因式分解、配方、

11、有理式等）判斷定號：確定的符號得出結論：根據(jù)定義作出結論5. 歸納小結，鞏固新知歸納小結是鞏固新知不可或缺的環(huán)節(jié)之一，這個環(huán)節(jié)對培養(yǎng)學生的歸納概括能力、自我獲取知識的能力是十分重要的。本節(jié)課我們采用了探究的方法來研究函數(shù)單調(diào)性的概念，從幾何直觀入手，最終抽象出概念，希望同學們能夠學會這種探究問題的方式。對于函數(shù)單調(diào)性的應用，學習中要注意證明單調(diào)性的過程、步驟和格式。感受數(shù)學與實際相結合，體會數(shù)學的魅力，注重數(shù)與形的和諧美。6.布置作業(yè)，提高升華必做題：1.舉一個實際生活中的例子，說明函數(shù)在定義域上是減函數(shù). 2.書后32頁第4題，39頁第1、2題選作題：探究函數(shù) 的單調(diào)性；探究一次函數(shù)和二次函

12、數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性。 設計意圖：基于函數(shù)單調(diào)性內(nèi)容的特點及學生實際，對課后書面作業(yè)實施分層設置，安排基本練習題和深化探究題.學生完成作業(yè)的形式為必做、選做兩種.設置必做題的目的是鞏固本節(jié)課應知應會的內(nèi)容，面向全體學生，人人必須完成。設置選做題的目的是為了提升能力，發(fā)展智力，選做題難度稍大一些，要求學生根據(jù)個人的實際情況盡力完成，對學有余力的尖子生要求他們要完成，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學生飽滿的學習興趣. 六、教學評價  學生學習的結果評價當然重要，但是更重要的是學生學習的過程評價教師應當高度重視學生學習過程中的自信心、團隊精神、合作意