數(shù)的整除知識(shí)點(diǎn)總結(jié)教學(xué)教材

1、此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除一. 數(shù)的分類第一種分法 :樹(shù)狀圖韋恩圖整數(shù)整數(shù)自然數(shù)負(fù)整數(shù)正整數(shù)零負(fù)整數(shù)零正整數(shù)正奇數(shù)正偶數(shù)第二種分法整數(shù)整數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)第三種分法：正整數(shù)整數(shù)素?cái)?shù)1合數(shù)素?cái)?shù)合數(shù)1一些關(guān)于數(shù)的結(jié)論:1.0 是最小的自然數(shù),-1 是最大的負(fù)整數(shù),1 是最小的正整數(shù)2.沒(méi)有最大的整數(shù),沒(méi)有最小的負(fù)整數(shù),沒(méi)有最大的正整數(shù)3.正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、整數(shù)的個(gè)數(shù)都是無(wú)限的二整除1.整除定義（概念） ：整數(shù) a 除以整數(shù)b，如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說(shuō)a 能被 b 整除；或者說(shuō)b 能整除 a注意點(diǎn)：一定要看清楚誰(shuí)被誰(shuí)整除或誰(shuí)整除誰(shuí)，這里的a 相當(dāng)于被除數(shù)，b 相當(dāng)于除數(shù)

2、2.整除的條件：1.除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù)2.被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)而且余數(shù)為零注意點(diǎn)：區(qū)分整除與除盡：整除是特殊的除盡（如正方形是特殊的長(zhǎng)方形一樣），即 a 能被b 整除 ,則 a 一定能被 b 除盡，反之則不一定（即 a 能被 b 除盡，則 a 不一定能被 b 整除）。如 4÷ 2=2, 4 既能被 2 除盡，也能被 2 整除； 4÷ 5=0.8, 4 能被 5 除盡，卻只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除不能說(shuō) 4能被 5整除三因數(shù)與倍數(shù)1.因數(shù)與倍數(shù)的定義：整數(shù)a 能被整數(shù)b 整除， a 就叫做 b 的倍數(shù)， b 就叫做 a 的因數(shù)（約數(shù)）。注

3、意點(diǎn)： 1.因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能簡(jiǎn)單的說(shuō)某個(gè)數(shù)是因數(shù)，某個(gè)數(shù)是倍數(shù)。如：6÷ 3=2，不能說(shuō)6 是倍數(shù)， 3 是因數(shù)；要說(shuō)6 是 3 的倍數(shù)， 3 是 6 的因數(shù)。2.因數(shù)與倍數(shù)是建立在整除的基礎(chǔ)上的，所以如4÷ 0.2=20 ，一般是不說(shuō)4 是 0.2的倍數(shù)， 0.2 是 4 的因數(shù)。2.因數(shù)與倍數(shù)的特點(diǎn)：一個(gè)整數(shù)的因數(shù)中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)中最小的倍數(shù)是這個(gè)數(shù)本身，沒(méi)有最大的倍數(shù)。因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，都能一一列舉出來(lái)，倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。3.求一個(gè)數(shù)因數(shù)的方法：利用積與因數(shù)的關(guān)系一對(duì)一對(duì)找，找出哪兩個(gè)數(shù)的乘積等于這個(gè)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)就

4、是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。如16=1× 16=2× 8=4× 4，那么16 的因數(shù)就有 1、2、4、8、16，計(jì)算時(shí)一定不要忘了 1 和這個(gè)數(shù)本身都是它的因數(shù)，注意按照一定的順序以防遺漏。4.求一個(gè)數(shù)倍數(shù)的方法：這個(gè)數(shù)本身分別乘以1、 2、 3、 4、 5 （即正整數(shù)）得到的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。若用n 表示所有的正整數(shù)，則2 的倍數(shù)可表示為2n, 5 的倍數(shù)可表示為5n四能被2、 5、 3 整除的數(shù)的特點(diǎn)1.能被 2 整除的數(shù)（即2 的倍數(shù)）個(gè)位上的數(shù)字是0、 2、4、 6、 8，反之，個(gè)位上的數(shù)字是0、 2、 4、 6、 8 的數(shù)也能被2 整除2.能被 5 整除的數(shù)（即5

5、 的倍數(shù)）個(gè)位上的數(shù)字是0、5，反之，個(gè)位上的數(shù)字是0、5 的數(shù)都能被 5 整除3.能被 3 整除的數(shù)（即3 的倍數(shù)）各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和是3 的倍數(shù)，反之，各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和是3 的倍數(shù)的數(shù)都能被3 整除4.能被 2、 5 同時(shí)整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字都是0，個(gè)位數(shù)字為0 的數(shù)也能被10 整除，能被10整除的數(shù)一定能被2 或 5 其中的一個(gè)或兩個(gè)同時(shí)整除。五奇數(shù)、偶數(shù)1.奇數(shù)與偶數(shù)的定義：能被2 整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2 整除的整數(shù)叫做奇數(shù)。 （按照能否被 2 整除來(lái)劃分奇數(shù)與偶數(shù)）2.奇數(shù)個(gè)位數(shù)上的數(shù)的特點(diǎn)：1、 3、 5、 7、 9偶數(shù)個(gè)位數(shù)上的數(shù)的特點(diǎn)：0、 2、 4、6、 83.在連

6、續(xù)的正整數(shù)中（除1 外），與奇數(shù)相鄰的兩個(gè)數(shù)是偶數(shù)，與偶數(shù)相鄰的兩個(gè)數(shù)是奇數(shù)4.相鄰的奇數(shù)或偶數(shù)數(shù)字相差2，奇數(shù)可用2n-1 或 2n+1 表示，偶數(shù)可用2n 表示。5.奇數(shù)與偶數(shù)加法和乘法的運(yùn)算特點(diǎn)奇數(shù) +奇數(shù) =偶數(shù)偶數(shù) +偶數(shù) =偶數(shù)奇數(shù) +偶數(shù) =奇數(shù)奇數(shù)×奇數(shù) =奇數(shù)偶數(shù)×偶數(shù) =偶數(shù)奇數(shù)×偶數(shù) =偶數(shù)利用此結(jié)論可檢驗(yàn)一些運(yùn)算是否正確，同時(shí)也要注意結(jié)論的逆向運(yùn)用，如偶數(shù)（奇數(shù)） 可拆成哪些奇數(shù)或偶數(shù)的和、積六.素?cái)?shù)、合數(shù)1.素?cái)?shù)與合數(shù)定義：一個(gè)正整數(shù)如果只有 1 和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)） ，如果除了 1 和它本身以外還有別的因數(shù)，這樣的

7、數(shù)叫做合數(shù)。只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除注意點(diǎn)： 1.素?cái)?shù)與合數(shù)的分類方法是根據(jù)它們因數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)分的，素?cái)?shù)只有2 個(gè)因數(shù)（ 1 和本身），合數(shù)至少有三個(gè)因數(shù)；任何一個(gè)數(shù)（除1 外）都有 1 和它本身兩個(gè)因數(shù)。2. 1 既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)。3最小的素?cái)?shù)是2，最小的合數(shù)是42.素?cái)?shù)與奇數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別奇數(shù)不一定都是素?cái)?shù)。（1 既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)，9、 15 等是奇數(shù)但是合數(shù)）所有素?cái)?shù)都是奇數(shù)。×（ 2 是素?cái)?shù)，但2 是偶數(shù)）3.合數(shù)與偶數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別合數(shù)不一定都是偶數(shù)。（9、 15 等都是合數(shù)，但它們是奇數(shù)）偶數(shù)都是合數(shù)。×（ 2 是偶數(shù)但2 是

8、素?cái)?shù)）注意 :判斷題對(duì)的要說(shuō)明原因，錯(cuò)的要舉出反例。七素因數(shù)與分解素因數(shù)1.素因數(shù)與分解素因數(shù)的定義：每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式，其中每個(gè)素?cái)?shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的素因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解素因數(shù)。注意： 1.求一個(gè)數(shù)的素因數(shù)時(shí)，先把這個(gè)數(shù)分解素因數(shù)，有幾個(gè)素因數(shù)就寫(xiě)幾個(gè)。如 24=2× 2× 2× 3，則素因數(shù)是2、 2、 2、3，而不是 2、 32.因數(shù)與素因數(shù)的區(qū)別：因數(shù)可以是素?cái)?shù)或合數(shù)，素因數(shù)一定是素?cái)?shù)。一個(gè)數(shù)的素因數(shù)一定是這個(gè)數(shù)的因數(shù)，因數(shù)的個(gè)數(shù)一定比素因數(shù)的個(gè)數(shù)多。2.分解素因數(shù)的方法樹(shù)枝分解法：過(guò)程中

9、注意不要漏寫(xiě)乘號(hào)，分解要徹底，直到?jīng)]有合數(shù)出現(xiàn)，也不能出現(xiàn)1.要分解的合數(shù)寫(xiě)在等號(hào)左邊，把它的素因數(shù)用相乘的形式寫(xiě)在等號(hào)右邊，再把這幾個(gè)素因數(shù)按從小到大的順序排列。短除法： 1.先用一個(gè)能整除這個(gè)合數(shù)的素?cái)?shù)去除（通常從最小的開(kāi)始，偶數(shù)肯定先用2 除，奇數(shù)一般從3 開(kāi)始一個(gè)個(gè)帶入驗(yàn)算）2.得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)除下去，直到得出的商是素?cái)?shù)為止。3.然后把各個(gè)除數(shù)和最后的商按從小到大的順序?qū)懗蛇B乘的形式。3.由一個(gè)數(shù)分解素因數(shù)求這個(gè)數(shù)的因數(shù)12=2× 2× 3，素因數(shù)是2、 2、3，除 1 外由單個(gè)的素因數(shù)組成因數(shù)有2、 3，由兩個(gè)素因數(shù)組成的因數(shù)有2×

10、; 2=4,2 ×3=6 ，由三個(gè)素因數(shù)組成的因數(shù)有2× 2×3=12 ，所以 12 的因數(shù)有1、 2、 3、 4、 6、 12.4. 由一個(gè)數(shù)分解素因數(shù)求這個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)(1) 所有素因數(shù)都相同時(shí)，因數(shù)的個(gè)數(shù)是它素因數(shù)的個(gè)數(shù) +1，如 8=2×2×2，素因數(shù)是 2、 2、2，則 8 的因數(shù)的個(gè)數(shù)是它素因數(shù)的個(gè)數(shù) +1，即 4 個(gè)(2) 素因數(shù)不完全相同時(shí)， 因數(shù)的個(gè)數(shù)是每個(gè)素因數(shù)個(gè)數(shù) +1 后相乘的積，如 12=2 × 2× 3，素因數(shù) 2 的個(gè)數(shù)是 2，素因數(shù) 3 的個(gè)數(shù)是 1，則 12 的因數(shù)的個(gè)數(shù)是（2+1）

11、5;（ 1+1）=6八 . 公因數(shù)與最大公因數(shù)1. 公因數(shù)與最大公因數(shù)定義 : 幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù) .2. 互素定義：如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù) 1，那么稱這兩個(gè)數(shù)互素。如 8 和 9注意：互素是兩個(gè)數(shù)之間，素?cái)?shù)是指一個(gè)數(shù)，互素的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是1.只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除兩個(gè)互素的數(shù)未必都是素?cái)?shù)。（8和 9互素，但8和 9都是合數(shù)）兩個(gè)不同的素?cái)?shù)一定互素.（若缺少 “不同的”，則錯(cuò)，因?yàn)?3 和 3 都是素?cái)?shù)但不互素）3. 求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的方法：(1) 一般方法：寫(xiě)出兩個(gè)數(shù)所有的因數(shù)，再找出它

12、們共同的最大的因數(shù)(2) 分解素因數(shù)的方法：把這兩個(gè)數(shù)分解素因數(shù)，再找出相同的素因數(shù)，把它們所有的公有的素因數(shù)相乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)。(3) 短除法：先用這兩個(gè)數(shù)公有的素因數(shù)去除（一般從最小的素因數(shù)開(kāi)始），得出的商如果是合數(shù)， 再按照上面的方法繼續(xù)除下去， 直到兩個(gè)數(shù)互素為止， 這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是左側(cè)的除數(shù)的乘積 .( 類比用短除法分解素因數(shù)的方法 )4. 兩個(gè)整數(shù)中，如果某個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。如果這兩個(gè)數(shù)互素，那么它們的最大公因數(shù)就是1.九.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)1.公倍數(shù)與最小公倍數(shù)定義:幾個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù) ,其中最小的一

13、個(gè)叫做它們的最小公倍數(shù) .2.求兩個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的方法:(1) 一般方法 :從小到大分別依次寫(xiě)出幾個(gè)這兩個(gè)數(shù)的倍數(shù),再找出它們共同的最小的倍數(shù)(2) 分解素因數(shù)的方法 : 把這兩個(gè)數(shù)分解素因數(shù)， 再找出相同的素因數(shù)， 再取各自剩余的素因數(shù),將這些數(shù)連乘所得的積 ,就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù) .(3) 短除法 : 先用這兩個(gè)數(shù)公有的素因數(shù)去除（一般從最小的素因數(shù)開(kāi)始） ，得出的商如果是合數(shù)， 再按照上面的方法繼續(xù)除下去， 直到兩個(gè)數(shù)互素為止， 這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)就是左側(cè)的除數(shù)與底部商的乘積 .注意點(diǎn) :1.用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí),過(guò)程都相同 ,只是最后寫(xiě)結(jié)論時(shí)注意需要乘哪些數(shù).2.求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù),先判斷這兩個(gè)數(shù)是否存在因數(shù)(倍數(shù) )關(guān)系或互素關(guān)系 ,存在因數(shù) (倍數(shù) )關(guān)系時(shí) ,最大公因數(shù)就是較小的那個(gè)數(shù) ,最小公倍數(shù)就是較大的那個(gè)數(shù) ;兩數(shù)互素時(shí) ,最大公因數(shù)就是 1,最小公倍數(shù)就是它們的乘積 .3.兩個(gè)整數(shù)的公倍數(shù)一定能被這兩個(gè)數(shù)整除.十.求三個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)(拓展 )(1) 求三個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù) : 同樣也是三種方法 ,只需找出三個(gè)數(shù)共同的因數(shù) ,最大的因數(shù)就是最大公因數(shù)