數(shù)值分析 第一章 插值方法

1、2021-12-151教學(xué)要求：教學(xué)要求： 掌握插值掌握插值概念概念、插值、插值方法方法；掌握差商和導(dǎo)數(shù)的；掌握差商和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系關(guān)系; 初步掌握插值算法的初步掌握插值算法的程序程序設(shè)計(jì)；最小二乘解設(shè)計(jì)；最小二乘解的概念與求法。的概念與求法。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 插值方法、最小二乘解的概念與求法。插值方法、最小二乘解的概念與求法。教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容： 插值問題的提法、拉格朗日插值公式、插值余插值問題的提法、拉格朗日插值公式、插值余項(xiàng)、牛頓插值公式、分段插值法、曲線擬合的最項(xiàng)、牛頓插值公式、分段插值法、曲線擬合的最小二乘法。小二乘法。第一章第一章 插值方法插值方法2021-12-152

2、1.1 1.1 問題的提出問題的提出 1.2 1.2 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式1.3 1.3 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)1.41.4* * 埃特金插值方法埃特金插值方法1.5 1.5 牛頓插值公式牛頓插值公式1.6 1.6 埃爾米特插值埃爾米特插值1.7 1.7 分段插值法分段插值法1.81.8* * 樣條函數(shù)樣條函數(shù)1.9 1.9 曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法2021-12-153 實(shí)際問題中遇到的函數(shù)實(shí)際問題中遇到的函數(shù), 其表達(dá)式可能很復(fù)其表達(dá)式可能很復(fù)雜，有些甚至都給不出解析表達(dá)形式，僅僅提供雜，有些甚至都給不出解析表達(dá)形式，僅僅提供一些離散數(shù)據(jù)一些離散數(shù)據(jù), 譬如某些點(diǎn)的函

3、數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值譬如某些點(diǎn)的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值, (xi , yi , yi , i=0,1,2,), 直接研究該函數(shù)非常困難直接研究該函數(shù)非常困難. 因此因此, 一個(gè)很自然的想法就是：能否構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)一個(gè)很自然的想法就是：能否構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)作為原函數(shù)的近似單的函數(shù)作為原函數(shù)的近似 插值問題插值問題.插值：插值：在一定條件下，在某一范圍內(nèi)，用一簡(jiǎn)單在一定條件下，在某一范圍內(nèi)，用一簡(jiǎn)單函數(shù)函數(shù) p(x) 近似代替另一個(gè)較為復(fù)雜或無法用解析近似代替另一個(gè)較為復(fù)雜或無法用解析式表達(dá)的函數(shù)式表達(dá)的函數(shù) f (x)，以便于計(jì)算和研究其性質(zhì)，以便于計(jì)算和研究其性質(zhì).2021-12-1542021-12-155插

4、值條件插值條件： ；插值函數(shù)：插值函數(shù)：p(x)稱為稱為 f (x)的插值函數(shù)的插值函數(shù)；插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)： , ；插值區(qū)間：插值區(qū)間：a, b；插值法：插值法： 按插值條件按插值條件 , 求函數(shù)求函數(shù) f (x)的插值函的插值函數(shù)數(shù) p(x) 的方法稱為插值法的方法稱為插值法。-2021-12-156 因代數(shù)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，數(shù)值計(jì)算和理論分因代數(shù)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，數(shù)值計(jì)算和理論分析方便，故常用析方便，故常用代數(shù)多項(xiàng)式代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)。作為插值函數(shù)。 例如：例如：插值多項(xiàng)式：插值多項(xiàng)式：設(shè)設(shè) f 是區(qū)間是區(qū)間a, b上的一個(gè)實(shí)函數(shù)，上的一個(gè)實(shí)函數(shù)，且有且有n+1個(gè)相異點(diǎn)個(gè)相異點(diǎn)x0, x1

5、,xna,b, f 在在xi處的值處的值yi =f (xi) ( (i=0,1,2,.,n),),若存在一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)若存在一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)p(x)，使，使得得 p(xi)=yi (i=0,1,2,.,n) 則稱則稱p(x)為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的插值函數(shù)插值函數(shù)；f (x)稱為稱為被插值被插值函數(shù)函數(shù); ;若若pHn, 即即p(x)=a0+a1x+anxn, ai (i=0,1,2,.,n)為實(shí)數(shù)，稱為實(shí)數(shù)，稱 p(x) 為為插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式. . .!3!2132 xxxex2021-12-1571.1 問題的提出問題的提出1. 泰勒插值泰勒插值（ f (x)在在x 0的的U(x 0,)內(nèi)有

6、內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)）階導(dǎo)數(shù)）泰勒多項(xiàng)式：泰勒多項(xiàng)式： 200000! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxpnnnnxxxf!)(.00)( )(0 xpn顯然，顯然， )(0 xpn),(0 xf),(0 xf )(0 xf )(0 xpn2021-12-158結(jié)論結(jié)論：pn(x)與與f (x)在在x0點(diǎn)具有相同的點(diǎn)具有相同的k階階導(dǎo)數(shù)值：導(dǎo)數(shù)值： )(0)(xpkn),(0)(xfk因此，因此， pn(x)在在 x0 的鄰近能很好地逼近的鄰近能很好地逼近 f (x)。定理定理1 假設(shè)假設(shè)f (x)在含有點(diǎn)在含有點(diǎn)x0的區(qū)間的區(qū)間a,b內(nèi)有直內(nèi)有直 到到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)

7、于pn(x) ，有，有10)1()()!1()()()( nnnxxnfxpxfx x.,0之之間間介介于于xxx x kn,.,2,1,0泰勒余項(xiàng)定理泰勒余項(xiàng)定理2021-12-159泰勒插值泰勒插值 已知一組數(shù)據(jù)已知一組數(shù)據(jù) ，求，求n次次多項(xiàng)式多項(xiàng)式 pn(x), 使得使得pn(x)滿足滿足)(0)1(00,.,nyyynkyxpkkn,.2,1 ,0,)()(00)( ( (* *) ) 對(duì)某一函數(shù)對(duì)某一函數(shù) f (x)，已知一組數(shù)據(jù)，已知一組數(shù)據(jù) 求求pn(x),使得使得pn(x)滿足滿足 由上面知，由上面知，f (x)的泰勒多項(xiàng)式滿足的泰勒多項(xiàng)式滿足( (* *) )式條件，所以式

8、條件，所以 f (x) 的的泰勒插值多項(xiàng)式泰勒插值多項(xiàng)式就是就是 pn(x)。 ,)()(00)(kkyxf ), 2 , 1 , 0(nk )()(0)(0)(xfxpkkn )., 2 , 1 , 0(nk 2021-12-1510例例1 求求 在在x0 0=100=100的一次、二次泰勒多項(xiàng)式，的一次、二次泰勒多項(xiàng)式，利用他們計(jì)算利用他們計(jì)算 的近似值，并估計(jì)誤差的近似值，并估計(jì)誤差xxf )(115 .723805.10115 解：解：已知已知x0 0=100,=100, )( , )(xfxxf則 )( , 2010 xf , 21x )(xf , 41xx )(0 xf )( ,

9、100 xf40001 所以所以 )()()(0001xxxfxfxp)100(20101 x75.10)100115(20110)115()115(1151 pf有有3 3位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。如果不知道如果不知道.723805.10115 如何估計(jì)誤差？如何估計(jì)誤差？2021-12-1511誤差誤差 20)(! 2)(xxfx x x xx x8225 2 41) 100115(! 2x xx x 028125. 0 x xx x8225 1001008225 115 , 100 x x 05. 0 10 0.53-2 105 . 01 2)(m 3 l同理同理20012000002)(

10、! 2)()()(! 2)()( )()(xxxfxpxxxfxxxfxfxp 212)110115(!2)100()115()115( fpp 721875.10028125. 075.10 .723805.10115 有有4 4位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。2021-12-1512結(jié)論：結(jié)論：利用利用f (x)的泰勒多項(xiàng)式研究的泰勒多項(xiàng)式研究 f (x)，需知，需知f (x)在在某點(diǎn)某點(diǎn)x0 0的各階導(dǎo)數(shù)，這不易做到。的各階導(dǎo)數(shù)，這不易做到。2. 拉格朗日插值拉格朗日插值拉格朗日插值：拉格朗日插值：求求n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 pn(x), 滿足條件滿足條件 ,0,1,. , )(niyxpiin 其

11、中，其中，xi 為為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)， 幾何語言描述：幾何語言描述：通過曲線通過曲線 y = f (x)上給定的上給定的n+1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)(xi , yi ) (i=0, 1, , n), 求作一條求作一條n次代次代數(shù)曲線數(shù)曲線 y=pn(x) 作為作為 y = f (x) 的近似。的近似。次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式。的的稱稱為為nxfxpn)( )(2021-12-15130 xyPn(x)f (x)注注: n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式 pn(x) ，精確講應(yīng)該是次數(shù)，精確講應(yīng)該是次數(shù)n的插值多項(xiàng)式，如下圖的插值多項(xiàng)式，如下圖2021-12-1514插值多項(xiàng)式的存在性、唯一性插值多項(xiàng)式的存在性、唯一

12、性利用待定系數(shù)法求解并證明利用待定系數(shù)法求解并證明已知已知)(p n.,0,1,2,.i ,)(n xyxfii求求 證證pn(x)存在并唯一存在并唯一 證：證：nnxaxaxaax .)(p2210n20102000201121112012.nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy 證證ai存在并唯一存在并唯一 分別將分別將 代入上式得：代入上式得：),0,1,.( nixi 求關(guān)于未知量求關(guān)于未知量 a0,a1,an 的的n+1階線性方程組，階線性方程組，如何判斷此方程有解？如何判斷此方程有解？2021-12-1515判斷方程組的系數(shù)行列式判斷

13、方程組的系數(shù)行列式0 0？nnnnnnxxxxxxxxx.1.1.1212110200 上式是上式是范德蒙行列式范德蒙行列式，由已知，由已知xixj , 若若i j, 所以所以，根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，該行列式，根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，該行列式00，從而證明方程，從而證明方程組解存在并唯一。組解存在并唯一。 注：注：上述顯然是求解上述顯然是求解pn(x)的一種方法，但此方的一種方法，但此方法工作量大，不便應(yīng)用。法工作量大，不便應(yīng)用。2021-12-15161.2 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式1. 線性插值線性插值求通過兩點(diǎn)求通過兩點(diǎn)(x0, y0)、 (x1, y1)函數(shù)的插值多項(xiàng)式函數(shù)的插值多項(xiàng)式.

14、因因n=1,插值多項(xiàng)式的次數(shù)插值多項(xiàng)式的次數(shù)1（一條直線）（一條直線）.yx0p1(x)f (x)x0 x1過兩點(diǎn)過兩點(diǎn)(x0, y0)、 (x1, y1)的線性方程：的線性方程：101000yyxxyyxx )(001010 xxxxyyyy 2021-12-1517(1) )()(0010101xxxxyyyxp 即即稱為稱為線性插值多項(xiàng)式線性插值多項(xiàng)式.當(dāng)當(dāng) y1=y0時(shí)，時(shí)， p1(x)=y0 0次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式.例例2 (P16) 已知已知.115y , 11121 , 10100 求求解解11 , 121 , 10 , 100 , )(1100 yxyxxxf )100(21110

15、)(1 xxp71428.10)100115(21110 )115(115) 1151pf (點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式)2021-12-1518將將(1)變形變形: : 【便于研究多節(jié)點(diǎn)的便于研究多節(jié)點(diǎn)的pn(x)】(2) )(101001011yxxxxyxxxxxp 則則令令 , )( , )( 01011010 xxxxxlxxxxxl (3) )( )()(11001yxlyxlxp )( )(10 xlxl、稱為拉格朗日稱為拉格朗日插值基函數(shù)插值基函數(shù). . 顯然是一次的顯然是一次的 1)(0)( , 0)(1)(11100100 xlxlxlxl ,0 ,1)( jijixlji(對(duì)稱式對(duì)稱式

16、)2021-12-15192. 拋物插值拋物插值 線性插值僅僅利用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息，精度低，為線性插值僅僅利用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息，精度低，為了提高精度，下面考察三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的情形了提高精度，下面考察三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的情形. 已知已知(x0, y0)、 (x1, y1) 和和(x2, y2), n=2. 所求插值多項(xiàng)所求插值多項(xiàng)式次數(shù)式次數(shù) 2. 由線性插值知：由線性插值知： )( )()(11001yxlyxlxp 滿滿足足、且且 )( )(10 xlxl啟示：?jiǎn)⑹荆?)( )( )()(2211002yxlyxlyxlxp ？能否求得能否求得? )( )( )(210 xlxlxl、且滿足且滿足2 1

17、, 0, , 0 , 1)( jijijixlji關(guān)鍵是能否構(gòu)造出關(guān)鍵是能否構(gòu)造出)( ixl】的的次次數(shù)數(shù)【2 )( i xl ,0 ,1)( jijixlji2021-12-1520逆推逆推：假設(shè)：假設(shè) l0 0(x0 0)=1, l0 0(x1 1)=0, l0 0(x2 2)=0，可得可得x1 , x 2 是是l0 0(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，的兩個(gè)零點(diǎn)，即即l0 0(x)含有含有x-x1 1與與x-x2 2兩個(gè)因式兩個(gè)因式,則則l0 0(x)=c(x-x1 1)(x-x2 2)，c未知，下面求未知，下面求c。由由l0 0(x0 0)=1,得得)(12010 xxxxc )()()(20102

18、10 xxxxxxxxxl 同理同理;)()()(2101201xxxxxxxxxl )()()(1202102xxxxxxxxxl 以以l0 0(x) , l1 1(x) , l2 2(x)作為基函數(shù)的二次插值多項(xiàng)式是：作為基函數(shù)的二次插值多項(xiàng)式是： 02010212)()()(yxxxxxxxxxp 1210120)()(yxxxxxxxx2120210)()(yxxxxxxxx (4) 拋物插值公式拋物插值公式2021-12-1521例例3(P18). 利用利用100, 121, 144的開方值求的開方值求.115.12,144;11,121;10,100331100 yxyxyx式式，

19、得得代代入入令令)5(,115 x解解 利用拋物插值：利用拋物插值：.7228.10115的的近近似似值值為為 .723805.10115 有有4 4位位有效數(shù)字。有效數(shù)字。2021-12-15223. 一般情形一般情形 求過求過n+1個(gè)互異點(diǎn)的插值多項(xiàng)式。個(gè)互異點(diǎn)的插值多項(xiàng)式。 從插值基函數(shù)入手，從插值基函數(shù)入手，是是n次多項(xiàng)式，且滿足條件次多項(xiàng)式，且滿足條件n)0,1,.,(k , )( xlk）（* n , . 1, 0,j , k jk , 0jk , 1)( jkxln（*）式表明：式表明： 有有 個(gè)零點(diǎn)，個(gè)零點(diǎn)，)(xlk ., , ,., , n1k-1k10 xxxxx )-)

20、.(-)(-).(-)(-( )( n1k-1k10kxxxxxxxxxxcxl 由由lk k(xk k)=1,代入代入(5)式，得：式，得： cj=0jkn）（jkxx 1 1c j=0jkn )(jxx ）（5代入代入(5)式，式，j=0jkn）（jxx j=0jkn）（jkxx 從而得從而得 )( xlk j=0jknjkjxxxx 2021-12-1523nnnyxlyxlyxlxp)(.)()()( 1100 nkkkyxl0)(）（）（6 0knky j=0jknjkjxxxx pn(x)是次數(shù)是次數(shù)n的多項(xiàng)式，且的多項(xiàng)式，且.)(iinyxp 附：附：已知已知(xi , yi),

21、 i=0,1,n及及x，編程求，編程求y.main() int j,k,n; float x, y=0, t, ax15, ay15; printf(“n ,x=”); scanf(“%d %f ” , &n, &x ); 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式2021-12-1524 for(k=0;kn; k+) printf(“ ax%d ay%d:” , k, k); scanf(“ %f %f ” , &axk , &ayk); for(k=0;k=n; k+) t=1; for(j=0;j=k 時(shí)時(shí),Pn(x) f (x); 否則否則, Pn(x) f (

22、x).33)(xxp xxxxp22)(233 2021-12-1537例題講解例題講解Lagrange 插值插值 例例2 證明：由下列插值條件所確定的證明：由下列插值條件所確定的Lagrange 插值多項(xiàng)式是一個(gè)插值多項(xiàng)式是一個(gè)2次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式.Pn(x) =x2-1對(duì)對(duì)f (x)進(jìn)行進(jìn)行n次插值的次插值的Lagrange插值函數(shù)插值函數(shù)Pn(x) ，則有則有Pn(x) 并非一定是并非一定是n次多項(xiàng)式，而是次數(shù)次多項(xiàng)式，而是次數(shù)n.x00.511.522.5f (x)-10.7501.2525.25你從中感悟到什么結(jié)論？你從中感悟到什么結(jié)論？2021-12-1538例題講解例題講解Lagr

23、ange 插值插值 例例3 設(shè)設(shè) 是以是以 為節(jié)點(diǎn)的為節(jié)點(diǎn)的Lagrange 插值基函數(shù)，證明：插值基函數(shù)，證明： （1） （2） （3） （4）0( )1nkklx01,nx xx01( ), ( ), ( )nl x l xlx0( )(0,1, )njjk kkx l xxjn0()( )0(0,1, )njkkkxx l xjn0 10,1,2,( 1),10(0)nnnjjnkkx xxj nklx 2021-12-1539例題講解例題講解Lagrange 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng) 例例4 設(shè)設(shè) 充分光滑，充分光滑， ， 證明：證明：( )( )f af b( )f x2()max |( )

24、|max |( )|8a x ba x bbaf xfx 2021-12-15401.5 1.5 牛頓插值牛頓插值 （Newtons Interpolation ） Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)全部基函數(shù) li (x) 都需要重新計(jì)算都需要重新計(jì)算.能否重新在能否重新在Pn中尋找新的中尋找新的基函數(shù)基函數(shù) ？希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只附加一項(xiàng)只附加一項(xiàng)上去即可。上去即可。 -不具不具“承襲性承襲性”2021-12-15411. 利用利用承襲性承襲性構(gòu)造插值公式構(gòu)造插值公式101001011)(yxxxxyx

25、xxxxp 線性插值：線性插值：),( ),(1100yxyx、)()(10100101xfxxxxxfxxxx )()()()(001010 xxxxxfxfxf 記：記：)()(00 xfxp 則：則：)()()(0101xxcxpxp 01011)()(xxxfxfc 啟發(fā)啟發(fā)：過三點(diǎn)的插值多項(xiàng)式：過三點(diǎn)的插值多項(xiàng)式p2(x)是否可以由是否可以由p1(x)得到得到?即即p1(x)可以由可以由p0(x)得到得到.【看作是零次插值多項(xiàng)式看作是零次插值多項(xiàng)式】2021-12-1542 是函數(shù)是函數(shù)f (x)節(jié)點(diǎn)，所以有節(jié)點(diǎn)，所以有210 xxx、整理后：整理后： ), ()(002xfxp )

26、, ()( 112xfxp )(-( )()(10212xxxxcxpxp 令令(0)關(guān)鍵是能否求出關(guān)鍵是能否求出c2？只能利用只能利用) ()( 222xfxp 顯然，這兩式與顯然，這兩式與求求c2無關(guān)，所以無關(guān)，所以, ,求求 c2。由由(0)式式)()()( 120222122xxxxcxpxp ) (2xf)()()()(0201010 xxxxxfxfxf )( 12022xxxxc 01010202)()()()(xxxfxfxxxfxf 12 xx 2 c2021-12-1543 )()()()()( 0010102xxxxxfxfxfxp01010202)()()()(xxxf

27、xfxxxfxf 12 xx )(10 xxxx 2. 差商及其性質(zhì)差商及其性質(zhì)1) 關(guān)于關(guān)于x0，x1的的一階差商一階差商定義：定義： )()() , (010110 xxxfxfxxf (23)2021-12-15442) 關(guān)于關(guān)于x0，x1 ， x2的的二階差商二階差商定義：定義： ) ,() ,(),(021021210 xxxxfxxfxxxf 3) 關(guān)于關(guān)于x0, x1 ，, xn的的n階差商階差商定義：定義： ),. ,(),. ,() ., , ,(011021n10 xxxxxfxxxfxxxfnnn 差商可用離散的節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值表示差商可用離散的節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值表示:對(duì)變形：對(duì)變

28、形： )( )() , (10001110 xxxfxxxf xxf 011100)()( xxxfxxxf -具有具有“承襲性承襲性”2021-12-1545對(duì)對(duì)變形：變形： ),(),() , , (021021210 xxxxfxxfx xxf 對(duì)對(duì)變形：變形： ) ., , , (0n10 nkxxxfj=0jkn)(jkxx )(kxf結(jié)論：結(jié)論：差商與節(jié)點(diǎn)的排列順序無關(guān)差商與節(jié)點(diǎn)的排列順序無關(guān) 差商的對(duì)稱性差商的對(duì)稱性即即) , () , (0110 xxfxxf )()( 12022xxxxxf )()( )()(2101120100 xxxxxfxxxxxf )()()()()

29、()()(10101121202 xxxfxfxxxfxfxx.), ,(),(),(201120210 xxxfxxxfxxxf2021-12-15463. 差商形式的插值公式差商形式的插值公式根據(jù)差商定義：根據(jù)差商定義：)-)( ,()()(000 xxxxfxfxf )()() , (000 xxxfxfxxf ),(10 xxxf1010) ,() ,(xxxxfxxf ),(01xxxf)(, ,(),(),(110100 x-xxxxfxxfxxf 同理可推出：同理可推出：)( ,(),(),(221021010 x-x,x,xxxfxxxfxxxf 2021-12-1547)(

30、,(),.,(),.,(n1010110 x-x,x,.,xxxfxxxfxxxxfnnn 除第一式外，除第一式外，反復(fù)將后一式代入前一式反復(fù)將后一式代入前一式得：得： )( )( ,()( ,()()(102100100 x-xx-x, xxxfx-xxxfxfxf .).( )( ,(-1n10n10 x-xx-xx-x,., xxxf令令 )( )( ,()( ,()()(102100100 x-xx-x, xxxfx-xxxfxfxpn . ).( )( ,( -1n10n10 x-xx-xx-x,., xxxf ).( )( ,(n1010 x-xx-xx-x, x,., xxxfn

31、 ).( )( ,()(n1010 x-xx-xx-x, x,., xxxfxRn 2021-12-1548下面說明下面說明 pn(x) 是是 f (x)的的n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式:xi (i=0,1,n), 有有R (xi)=0又又 f (x)= pn(x) +R(x) f (xi)= pn(xi ) (i=0,1,n)插值條件插值條件 pn(x)是是f (x)的的n次插值多項(xiàng)式，次插值多項(xiàng)式，R(x)為插值余項(xiàng)為插值余項(xiàng).式稱為式稱為牛頓插值公式牛頓插值公式. 由插值問題的唯一性知：牛頓插值公式是拉格由插值問題的唯一性知：牛頓插值公式是拉格朗日公式的一種變形朗日公式的一種變形.2021

32、-12-1549定理定理4 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)x0, x1, xn 所界定的范圍所界定的范圍I：內(nèi)，存在一點(diǎn)內(nèi)，存在一點(diǎn)x x，使得，使得 imax ,minxxini 0ni 0!)() ,()(n10nf,., xxxfnx x 證明證明：由：由插值余項(xiàng)定理插值余項(xiàng)定理(P19)，即，即區(qū)間區(qū)間a, b上上有有n+1個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)x0, x1, xn , f (x)在在a, b內(nèi)有連續(xù)的內(nèi)有連續(xù)的n+1階導(dǎo)數(shù)，階導(dǎo)數(shù)，且且 f (xi)=yi (i=0,1,2,n),則對(duì)于插值多項(xiàng)式則對(duì)于插值多項(xiàng)式 pn(x)，有，有 )()( xpxfn )(n0kk x-x)!1()() 1( nfxnx x

33、兩式比較得：兩式比較得： ).( )( ,()(n1010 x-xx-xx-x, x,., xxxfxRn 2021-12-1550 ) ,(10, x,., xxxfn)!1()()1( nfxnx x ) ,(n10,., xxxf !)()(nfnx x )()(0 xfxpn),.,2 , 1,(niIi x x根據(jù)式根據(jù)式, 牛頓插值多項(xiàng)式：牛頓插值多項(xiàng)式： )( )( ,()( ,()()(102100100 x-xx-x, xxxfx-xxxfxfxpn . ).( )( ,( -1n10n10 x-xx-xx-x,., xxxf特別：特別：固定固定x0，當(dāng)，當(dāng)xi x0(i=1

34、,2,n)，可得到，可得到泰勒公式泰勒公式.可變形為：可變形為： )(01xxfx x)(! 2)(102xxxxf x x . )( ).(!)(-1n0)(x-xxxnfnn x x2021-12-1551補(bǔ)充：差商表補(bǔ)充：差商表xif(xi)一階一階二階二階三階三階四階四階x0f(x0)x1f(x1)f(x0,x1)x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)x4f(x4)f(x3,x4)f(x2,x3,x4)f(x1,x2,x3,x4)f(x0,x1,x2,x3,x4)2021-12-1552四階四

35、階三階三階二階二階一階一階1.26520.90.888110.80.696750.650.578150.550.410750.4f (xi)xi例：例：函數(shù)函數(shù)f (x)的數(shù)據(jù)表的數(shù)據(jù)表xi0.40.550.650.80.9f (xi)0.41075 0.57815 0.69675 0.888111.26521.1161.1861.275731.38410.280.358930.433480.197330.031340.213 )55. 0)(4 . 0(28. 0)4 . 0(116. 141075. 0)(4xxxxp )65. 0)(55. 0)(4 . 0(19733. 0 xxx)8

36、 . 0)(65. 0)(55. 0)(4 . 0(03134. 0 xxxxR(x)=?2021-12-1553. )62. 0()62. 0(4 pf若若 x=0.62, f (x)=? R(x)=? )-).(-( )-)( , , , , ,()(41043210 xxxxxxxxxxxxfxR . 2021-12-15544 4、差分形式的插值公式、差分形式的插值公式 在實(shí)際應(yīng)用在實(shí)際應(yīng)用Newton插值多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常遇到插值插值多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常遇到插值節(jié)點(diǎn)是等距的，即節(jié)點(diǎn)是等距的，即n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)：個(gè)插值節(jié)點(diǎn)： 這里間距這里間距 h 為定數(shù)，稱為為定數(shù)，稱為步長(zhǎng)步長(zhǎng). .于是在差商

37、中，于是在差商中，分母部分將變得簡(jiǎn)單，計(jì)算量主要集中在分子（兩分母部分將變得簡(jiǎn)單，計(jì)算量主要集中在分子（兩節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的差節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的差）.定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在等距節(jié)點(diǎn)在等距節(jié)點(diǎn)上的值為：上的值為： 則稱：則稱：為為 f(x) 在在處處一階差分一階差分 稱：稱：為為 f(x)在在處處二階差分二階差分2021-12-1555 依據(jù)所給數(shù)據(jù)依據(jù)所給數(shù)據(jù) 可以逐步求出它的各階差分，可以逐步求出它的各階差分，而生成如下形式的而生成如下形式的差分表差分表：yyyyxyyyxyyxyxyxii03122330212201100 三三階階差差分分二二階階差差分分一一階階差差分分 稱：稱：為

38、為 f (x)在在處處n 階差分階差分.2021-12-1556例：例：給定給定 的函數(shù)表如下的函數(shù)表如下：xxfcos)(00.10.20.30.40.50.610.9950.980070.955340.921060.877580.825342021-12-1557在節(jié)點(diǎn)等距的情況下，差商可用差分來表示在節(jié)點(diǎn)等距的情況下，差商可用差分來表示.有有2021-12-1558 這樣，對(duì)于等距節(jié)點(diǎn)的情況，將牛頓插值公式這樣，對(duì)于等距節(jié)點(diǎn)的情況，將牛頓插值公式中的差商換成相應(yīng)的差分中的差商換成相應(yīng)的差分。令：令：則：則：于是，牛頓插值公式中的一般項(xiàng)于是，牛頓插值公式中的一般項(xiàng)則則稱此公式為函數(shù)插值的稱

39、此公式為函數(shù)插值的有限差分公式有限差分公式2021-12-1559例：例： 已知函數(shù)已知函數(shù) y=sin x 的如下函數(shù)值表，利用插值法計(jì)算的如下函數(shù)值表，利用插值法計(jì)算Sin(0.42351) 的近似值。的近似值。 x0.40.50.6Sin x0.389420.479430.56464解：解：因?yàn)楣?jié)點(diǎn)是等距分布的，可以使用牛頓插值公式因?yàn)楣?jié)點(diǎn)是等距分布的，可以使用牛頓插值公式2351. 01 . 04 . 042351. 0, 1 . 0, 4 . 000hxxthx取取建立如下差分表建立如下差分表xSin(x)一階差分一階差分二階差分二階差分0.40.389420.50.479430.0

40、90010.60.564640.08521 -0.004802021-12-1560利用插值公式利用插值公式) 1(! 2)(! 1)()()(020002ttxfxfxfthxp有：有：41101. 0) 12351. 0(2351. 0200480. 02351. 009001. 038942. 0)42351. 0()42351. 0sin(2 p2021-12-15611.6 埃爾米特插值埃爾米特插值 前面討論的插值問題只要求多項(xiàng)式前面討論的插值問題只要求多項(xiàng)式 pn (x) 滿足滿足 pn(xi)= f (xi), i=0,1,n, ,得到的插值多項(xiàng)式不能全面得到的插值多項(xiàng)式不能全面

41、反映被插函數(shù)反映被插函數(shù) f (x)的性態(tài)的性態(tài). .如果插值條件再增加對(duì)如果插值條件再增加對(duì)節(jié)點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的限制的限制, ,則構(gòu)造的多項(xiàng)式一定能更好地則構(gòu)造的多項(xiàng)式一定能更好地逼近函數(shù)逼近函數(shù) f (x).1. 求求p2(x),滿足滿足 即即p2(x)與與 f (x)有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)(x0, y0), (x1, y1), 且在且在 (x0, y0) 點(diǎn)兩者相切。點(diǎn)兩者相切。解一解一：基于：基于承襲性承襲性: :.)(002yxp 且且,)(,)(112002yxpyxp -切觸插值、切觸插值、Hermite插值插值2021-12-1562)()()(1012xxxxcxpxp 令令

42、(*) )()(10001010 xxxxcxxxxyyy )2()(1001012xxxcxxyyxp )()(10010102xxcxxyyxp )(1 0010101yxxyyxxc 代入（代入（* *）式得）式得 )()(1)()(1000101010010102xxxxyxxyyxxxxxxyyyxp 0y 因?yàn)闂l件因?yàn)闂l件 無助于求解無助于求解c，因此，因此要利用要利用 。002)(yxp 112002)(,)(yxpyxp 對(duì)上式兩端關(guān)于對(duì)上式兩端關(guān)于x求導(dǎo)得求導(dǎo)得2021-12-1563解二解二：基函數(shù)基函數(shù)方法方法首先，首先，假設(shè)假設(shè)x0=0, x1=1, 求求p2(x).0

43、011002)()()()(yxyxyxxp 其中其中 是二次基函數(shù)是二次基函數(shù). .下面求解它們下面求解它們. . )( ),( ),(010 xxx )(002yxp )( 112yxp 002)(yxp 0) 0 ( 0) 0 ( 1) 0 ( )(01000 x 0) 1 ( 1) 1 ( 0) 1 ( )(01010 x 1) 0 ( 0) 0 ( 0) 0 ( )(01000 x1 1是是 的零點(diǎn)的零點(diǎn), , )(0 x 令令 )(1()(0baxxx 解得解得, ,同理解得同理解得201)(xx 、21)(xx )1 ()( 0 xxx 012022)1()1()(yxxyxyx

44、xp 、 1)0(0 0) 0( 0 , ,由由2021-12-1564 對(duì)對(duì)任意兩點(diǎn)任意兩點(diǎn)x0, x1，記記h=x1-x0，.0hxxt 顯然，顯然，所以有所以有,1)(20tt ,)(21tt ).1 ()( 0ttt 因此因此,)(1)(2000hxxhxx ,)()(2001hxxhxx ).1)()( 0000hxxhxxhxx .)()()()(0001010002yhxxhyhxxyhxxxp - 0)(0 xt,0t 1)(1 xt.1t )()(! 3)( )()(1202xxxxfxpxf x x(與與x0, x1, x有關(guān)有關(guān))插值余項(xiàng)：插值余項(xiàng)：2021-12-156

45、52. 求求p3(x)，滿足，滿足p3(x0)=y0，p 3(x0)=y 0，p3(x1)= y1， p 3(x1)=y 1 .方法同上求解方法同上求解 p3(x)：1010001010003)()()()()(yhxxhyhxxhyhxxyhxxxp- 2120)4(3)()(! 4)()()(xxxxfxpxf-x x ),12() 1)(20 xxx( ,)1)(20 xxx( ) 1()(21 xxx ),32()( 21 xxx (與與x0, x1, x有關(guān)有關(guān))插值余項(xiàng)：插值余項(xiàng)：( (練習(xí)練習(xí), ,自證自證) )2021-12-15661.7 分段插值法分段插值法1. 高次插值的

46、龍格現(xiàn)象高次插值的龍格現(xiàn)象對(duì)于插值多項(xiàng)式，其次數(shù)隨著節(jié)點(diǎn)的增加而升對(duì)于插值多項(xiàng)式，其次數(shù)隨著節(jié)點(diǎn)的增加而升高高( (特殊情況除外特殊情況除外) )，而高次插值的逼近效果往往并，而高次插值的逼近效果往往并不理想，即：不理想，即：并非次數(shù)越高越好并非次數(shù)越高越好。例例5.5- , 11 )(2 xxxf 將區(qū)間將區(qū)間n等分，有等分，有n+1個(gè)等分點(diǎn)，以個(gè)等分點(diǎn)，以n+1個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)，求作為插值節(jié)點(diǎn)，求pn(x)。 當(dāng)當(dāng)n=5、10時(shí)，教材時(shí)，教材P30給出給出p5(x), p10(x)的圖形。的圖形。2021-12-1567-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52xy

47、=1/(1+x2)y=p4(x)y=p10(x)2021-12-1568 雖然高次插值函數(shù)會(huì)在更多的點(diǎn)上與雖然高次插值函數(shù)會(huì)在更多的點(diǎn)上與f (x)取值取值相同，但整體上看，逼近效果不一定理想相同，但整體上看，逼近效果不一定理想. 上例中上例中n , pn(x）在兩端發(fā)生激烈的震蕩）在兩端發(fā)生激烈的震蕩龍格現(xiàn)象龍格現(xiàn)象.2. 分段插值的概念分段插值的概念 事實(shí)表明：克服龍格現(xiàn)象的有效方法之一是：事實(shí)表明：克服龍格現(xiàn)象的有效方法之一是：采用分段低次插值采用分段低次插值，即在較小的范圍內(nèi)，運(yùn)用低次，即在較小的范圍內(nèi)，運(yùn)用低次插值插值. .對(duì)上述函數(shù)對(duì)上述函數(shù)f (x)在每個(gè)子段上用線性插值在每個(gè)子

48、段上用線性插值, ,就就能保證一定要求的逼近效果。能保證一定要求的逼近效果。2021-12-1569分段插值分段插值步驟：步驟：1). 將區(qū)間將區(qū)間a, b作一分劃作一分劃 : a= x0 x1 0fxx(x0, y0)0 或或fyy(x0, y0)0 或或fyy(x0, y0)0，則，則f在在(x0, y0)點(diǎn)取得極小值點(diǎn)取得極小值 因此，上述求因此，上述求Q的最小值問題轉(zhuǎn)化為求的最小值問題轉(zhuǎn)化為求a, b=?時(shí)使時(shí)使Q值最?。恐底钚?？ 由極值條件：由極值條件：0 0Q Q , , 0 0Q Q ba得：得：aa Q QQ Q Niiibxay1 1)1)(2，且，且=0 Niaiibxay

49、1 12 2 ) ) ( ( Niaiibxay1 12 2 ) )( ( 2021-12-1579 NiiNiNiixbay1 11 10 0- -1 NiiNiiyxbNa11同理：同理： NibiibbxaybQQ12)( Niiiixbxay1)(2=0 NiiNiiNiiixb-xayx12110 NiiiNiiNiiyxxbxa1121 NiiNiiyxbNa11 NiiiNiiNiiyxxbxa1121(1) (1) 可解得可解得a, b. .2021-12-1580下面證明解得下面證明解得(a, b)是是Q(x, y)的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn):),(2 iiabxayQ記記 為為

50、Ni1NQaa2)1(2 iiabxxQ2)(2)(2iiibxbxayQ )(2i iibxayx)(2 iibbxxQ022 ix 22422iibbaaxNxNQQ22)(4 iabxQ0)(4222 iiabbbaaxxN-QQQ( (歸納法證明歸納法證明) ),02 abbbaa-QQQ又又02 NQaa 由由(1)求解的求解的a, b是是Q(x, y)的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn).2021-12-1581P38 例例8.2. 多項(xiàng)式擬合多項(xiàng)式擬合給定一組數(shù)據(jù)點(diǎn)給定一組數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi, yi)，i=1,2,n ，求，求m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式mm10 xa.xaaym0j)( nm xajj jij

51、ix- aym0j使總誤差使總誤差Q = = 最小。最小。N1i ) (2jijix ay m0jei上述問題轉(zhuǎn)化為：求上述問題轉(zhuǎn)化為：求aj ( j =0,1,m), 使使Q最小最小.令令 100,.,m , , kaQk mimiiiixaxaxaaye. 令令2021-12-1582Ni )(2 x ayajijik mj Ni - xx aykijiji)( ( mj 0 Nim0,1,.,k , ).( kimimiiixxaxaxaayk=0k=0時(shí)時(shí)Ni y xa. xa xaNaiimi2i10m2NiNiNik=1k=1時(shí)時(shí)Ni y x xa. xa xa xaiiimi2i1i01m32NiNi NiNi im2mim2mi21mi1miy x xa. xa xaxai k=mk=m時(shí)時(shí)NiNiNiNiNi(3)是是(2)的展開式，關(guān)于的展開式，關(guān)于aj的線性方程組的線性方程組正則方程組。正則方程組。Ni0 a j kijiixxy)()2( )10(,.,m ,k m