教學目的掌握解非線性方程組的二分法和插值法ppt課件

1、第六章非線性方程組的迭代解法 教學目的教學目的 1. 掌握解非線性方程組的二分法和插值法；掌握解非線性方程組的二分法和插值法； 2. 掌握解非線性方程組的普通迭代法及有關收斂性掌握解非線性方程組的普通迭代法及有關收斂性的證明與牛頓法；的證明與牛頓法； 3. 掌握解非線性方程組的牛頓法掌握解非線性方程組的牛頓法 4. 了解加速收斂的方法。了解加速收斂的方法。教學重點及難點教學重點及難點 重點是解非線性方程組的牛頓法；重點是解非線性方程組的牛頓法；難點是迭代法的收斂性的證明。難點是迭代法的收斂性的證明。 第第6章章 非線性方程和方程組非線性方程和方程組的數值解法的數值解法第六章非線性方程組的迭代解

2、法 第第6章章 非線性方程和方程組非線性方程和方程組的數值解法的數值解法思索兩環(huán)節(jié)機器人手臂定位問題。設兩節(jié)臂思索兩環(huán)節(jié)機器人手臂定位問題。設兩節(jié)臂長分別為長分別為d1和和d2，如圖，如圖6-1所示，第一臂與程度所示，第一臂與程度方向所成的角為，第二臂與第一臂所成的角方向所成的角為，第二臂與第一臂所成的角為。問題是求和，使第二臂的端點為。問題是求和，使第二臂的端點位于適當的位置，比如其坐標為位于適當的位置，比如其坐標為 21, ppxy2d1d 圖圖6-1普通的非線性方程組可寫成F(x)=0,其中F和x都是n維向量，或寫成其中，中至少有一個是 的非線性函數。當n=1時，就是單個的方程f(x)=

3、0。非線性方程和方程組的求解是工程和科學領域中最常見的問題。下面舉一個例子：, n, 2 , 1, 0),(21 ixxxfninfff,21 12,nx xx第六章非線性方程組的迭代解法 則有和點坐標分別為設第一臂和第二臂的端),(),(2211yxyx這樣，我們的問題是要解以下方程組這樣，我們的問題是要解以下方程組121222coscos()sinsin()ddpddp的非線性方程組。和顯然，這是一個關于1111c o s,sin.xdyd212212c o s(),sin ().xxdyyd第六章非線性方程組的迭代解法 與線性方程組不同，除特殊情況外，求解非線性方程不能用直與線性方程組不

4、同，除特殊情況外，求解非線性方程不能用直接法求數值解，而是要用迭代法。迭代法的根本問題是收斂性、收接法求數值解，而是要用迭代法。迭代法的根本問題是收斂性、收斂速度和計算效率。斂速度和計算效率。對于線性方程組，如前所述，假設某迭代法收斂，那么取任何對于線性方程組，如前所述，假設某迭代法收斂，那么取任何初值都收斂。但是，對于非線性方程，不同的初值能夠有不同的收初值都收斂。但是，對于非線性方程，不同的初值能夠有不同的收斂性態(tài)，有的初值使迭代收斂，有的那么不收斂。普通說來，為使斂性態(tài)，有的初值使迭代收斂，有的那么不收斂。普通說來，為使迭代法收斂，初值應取在解的附近。迭代法收斂，初值應取在解的附近。0.

5、0111 axaxaxannnn我們先詳細討論單個方程的情形，其中有一類是形如我們先詳細討論單個方程的情形，其中有一類是形如的代數方程。當的代數方程。當 時，其根是不能用加、減、乘、除和開方時，其根是不能用加、減、乘、除和開方的有限次運算公式表示的，所以代數方程的解法也主要是迭代法。的有限次運算公式表示的，所以代數方程的解法也主要是迭代法。5 n第六章非線性方程組的迭代解法 ,0)(),()()(* xgxgxxxfm0)(, 0)(.)( )(*)(*)1(* xfxfxfxfmm方程的數值解法的收斂性，也與方程根的重數有關。對于普通的函數，假設有,)(baCxf 其中其中m為正整數，我們稱

6、是為正整數，我們稱是f(x)的的m重零點，或稱是方程重零點，或稱是方程f(x)=0的的m重根。顯然，假設是重根。顯然，假設是f(x)的的m重零點，且重零點，且g(x)充分光滑，那么充分光滑，那么有有 x x x當當m為奇數時，為奇數時，f(x)在點處變號，當在點處變號，當m為偶數時，為偶數時，f(x)在點處不變號。在點處不變號。 x x第六章非線性方程組的迭代解法 6.1方程求根的二分法方程求根的二分法(),()()0,()0,fxCa bfafbfxa ba b設若則 方 程在內 至 少 有 一 個 根 ， 稱為 方 程 的 有 根 區(qū) 間 。 通 過 縮 小 有 根 區(qū) 間 ，我 們 可

7、以 形 成 方 程 求 根 的 數 值 解 法 。下 面 我 們 給 出 方 程 求 根 的 二 分 法 。00,()()0,nnnnnaba babxfafx設為 有 限 區(qū) 間 ，的 中 點 是若 有則 令 新 的 有 根 區(qū) 間第六章非線性方程組的迭代解法 1111,()()0 ,nnnnnnnnnnabaxfafxabxb若， 則 令。 這 樣 ， 若 反 復 二 分 下 去 ，即 可 得 出 一 系 列 有 限 區(qū) 間 。，.,.,2211nnbabababa,kkab其 中 每 個 區(qū) 間 都 是 前 一 個 區(qū) 間 的 一 半 。因 此 ，的 長 度0()2kkkbabak .第

8、六章非線性方程組的迭代解法 由此可見，假設二分過程能無限地繼續(xù)下去，這些區(qū)間最終必收斂于一點 該點顯然就是所求的根。,*x*,() / 2kkkkkkabxabxx每 次 二 分 之 后 ， 設 去 有 限 區(qū) 間的 中 點 ，作 為 根 的 近 似 值 ， 則 在 二 分 過程 中 可 以 獲 得 一 個 近 似 根 的 序 列， 該 序 列必 以 根為 極 限 。在 實 際 計 算 時 ， 我 們 不 可 能 完 成 這 個 無 限 過 程 ，其 實 也 沒 有 這 種 必 要 ， 因 為 數 值 分 析 的 結 果允 許 帶 有 一 定 的 誤 差 。 由 于第六章非線性方程組的迭代解法

9、 ,221*kkkkababxx*,kkxx只 要 二 分 足 夠 多 次 （ 即充 分 大 ） ， 則 有這 里位 預 定 的 精 度 。36.1( )1011.5fxxx例求 方 程在 區(qū) 間 ，內 的 一 個實根，要求準確到小數點后的第實根，要求準確到小數點后的第2位。位。1,1 .5 ,()0 ,()0,abfafbab解這 里。 取的,0)(,25.100 xfbax二等分，由于將區(qū)間中點第六章非線性方程組的迭代解法 0010111()()1.25,1.5,61fafxxaxbbab即與同 號 ， 故 在的 右 側 有 方 程 的 一 個實 根 ， 這 時 ， 令而 新 的有 限 區(qū)

10、 間 為。 二 分 過 程 可 如 此 反 復 下 去計 算 結 果 如 表。k)(kkkkxfxba1.32031.32811.3242-1.31251.32811.3203+1.31251.34381.3281-1.31251.3751.3438+1.251.3751.3125-1.251.51.375+11.51.25-6543210表表6-1 第六章非線性方程組的迭代解法 1() / 20.005kba我 們 現 在 預 估 所 要 二 的 次 數 。 令可與實際計算結果相符。次就能達到預定的精度既二分得,005.06,66*xxk 上述二分法的優(yōu)點是算法簡單，而且在有限區(qū)間內，收斂性總能得到保證。值得留意的是，為了求出足夠準確的近似解，往往需求計算很多次函數值，是一種收斂較慢的方法，通常用求根的粗略近似值，把它作為后面要討論的迭代法的初始值。另一方面，二分法只運用于求一元方程的奇數重實根。 第六章非線性方程組的迭代解法 在二分法中，是逐次將有根區(qū)間折半。更普通地是，從有限區(qū)間的左端點出發(fā)，按預定的步長h一步一步地向右跨，每跨一步進展