數(shù)學高考導數(shù)難題導數(shù)零點問題導數(shù)

1、含參導函數(shù)零點問題的幾種處理方法方法一：直接求出，代入應用對于導函數(shù)為二次函數(shù)問題，可以用二次函數(shù)零點的基本方法來求。(1)因式分解求零點例1討論函數(shù)/(A-) = -0-(0 + -)x2 +2x +1(4 e R)的單調區(qū)間 32解析：即求/'a)的符號問題。由/'*) =。/一(2。+ 1口 + 2 = (,。-1)*一2)可以因式分方法二：猜出特值，證明唯一對于有些復雜的函數(shù)，有些零點可能是很難用方程求解的方法求出的，這時我們可以考慮用特殊值去猜出零點，再 證明該函數(shù)的單調性而驗證其唯一性。例4討論函數(shù)/(x) = (x 一awR,的極值情況 32解析:/'(%

2、) = (x-a)ex +x2 -(a + l)x + a = (x-a)(e' +x-l),只能解出了'(%)的一個零點為a ,其它的零點就是e'+x 1=0的根，不能解。例5 (2011高考浙江理科)設函數(shù)f(x) = (x-l)2 1nxM wR(I)若才=。為丁 = /(x)的極值點，求實數(shù)a(II)求實數(shù)。的取值范圍，使得對任意的xe(O,3e,恒有成立(注：e為自然對數(shù))，方法三：鎖定區(qū)間，設而不求對于例5,也可以直接設函數(shù)來求，當Ovx<l時，對于任意的實數(shù)。，恒有成立當ivx<3e ,由題意，首先有f(3e) = (3e - a > l

3、n(3e) W 4/,解得% - 一 < a « 3e +由 /''(幻=(x -。)(2 lnx + 1-),但這時、/ln(3e)、/ln(3e)x會發(fā)現(xiàn)/'(x) = 0的解除了 x外還有21nx+l ：=0的解，顯然無法用特殊值猜出。x令力(x) = 2Inx +1 -,注意到(1) = 1 a V0, h(a) = 21na >0 , x且 /?(3e) = 2ln(3e) +1 一= 2 2ln(3c) +1二2(In 3g-) A 0。故/(x) = 0在(l,a)及(b 3e)至少還有一個零點，又/?*)在(0, +-)內單調遞增,

4、所以函數(shù)力(x)在(1,3c內有唯一零點，但此時無法求出此零點怎么辦。我們可以采取設而不求的方法，記此零點為則從 而，當 xe(O,x0)時，f x) > 0 ：當 xe(Xo，)時，f x) > a ；當 )時，f x) > 0» 即/(x)在(0,同) 內單調遞增，在(%”)內單調遞減，在(4,+s)內單調遞增。所以要使/*)<4/對X£(l,3e 恒成立，只要f 5 ) = (% - a)2 1n 聞 < 4 J, 成H。f(3e) = (3e-a)2 ln(3) <4(2)/z(x0) = 2Inx() +1 - - = 0 ,知

5、a = 21nx0 +4 (3)將(3)代入(1)得4寸 ln? x0 <4J ,又A 1 ,注意到函 %數(shù)YlYx在！X+8)內單調遞增，故lY與We。再由(3)以及函數(shù)2xlnx + x在(1.+ +8)內單調遞增，可得<a<3e,由(2)解得，3e-1=<a<3e + -=.所以%-金一綜上,a的取值范圍為Jln(3e)Jln(3c)Jln(3e)3e - i < a <3e Q71n(3e)例6已知函數(shù)/0) = 0¥ +工11|1+。1是奇函數(shù)，且圖像在(e,7(e) (e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3(1) 求的值(2) 若k

6、eZ，且&對任意x>l恒成立，求女的最大值。 x-1例7 (2009高考全國II理科)設函數(shù)/(工)=/+用(1+力有兩個極值點內、%，且為<小，(I)求”的取值范圍，并討論了(x)的單調性；(II)證明：/(x2)>方法四：避開求值，等價替換。對于有些函數(shù)的零點問題，可能用方法一、二、三都無法解決，這是我們可以考慮回避求其零點。避開方法：放縮不等式例 8 設函數(shù)"-l-x-a/(I)若 =0,求/(幻的單調區(qū)間(H)若當x2 0Wj(x)之0,求”的取值范圍。與例8類似，下面的2010高考全國I【理科的最后一題，也是這樣的處理方法。設函數(shù) x) = l-e

7、-x.(I)證明：當x>-l時，/(x)> ；-A + 1X(H)設當XNO時，/(x)<,求a的取值范圍.ax + 例1、已知函物/（X）二為常數(shù)）是實敝集r上的奇函數(shù).函數(shù)g（工）=;1/3+為工是區(qū) 間-1, u上的減函數(shù).俅a的面（n若g（x）&/十力+1在北一1,口上恒成立，求t的取值范圍.口）討論關于X的方程生=Jex-m的根的個數(shù)。?。┳兪?、若g（x）=61n、+八問是否存在實數(shù)m,使得y=f （x）=/+8x的圖象與y=g <x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.變式2、已知函數(shù)人丫尸一一 +舐如丫）=6限+

8、加C I）求人X）在區(qū)間口,什1上的最大值用。；（II）是否存在實效削，使得可（二）的圖象與.L冢x）的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出加的 取值范圍：，若不存在，說明理由。例2、已知函數(shù)f（x）=axMx2_3x在x=±l處取得極值.（ I ）求函數(shù)Rx）的解析式;（II）求證:對于區(qū)間1, 1上任意兩個自變量的值Xi，X2,都有皎1）電2）1近4:（III）若過點A <1 m） （m-2）可作白線廣4x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍.變式4.已知函數(shù)，(x) = 6hLT-公2 8工+ 6(為為常數(shù))，且，=3為八)的一個極值點.(I )求 a；(II)求函數(shù)/(

9、K)的單調區(qū)間；(RT)若y = /(x)的圖象與x軸有且只有3個交點，求。的取值范圍.例4.已知函數(shù)/(.) = In %(I )若FgR),求F(x)的極大直： x(II)若G(x) =/(')一去在定義域內單調遞減，求滿足此條件的實數(shù)k的取值范圍.變式5、已知兩個二次函數(shù)：y = /(.V)= ax2 + +1 與 v = g(x) = a2x2 + bx+1(a 0),函數(shù)y=g (x)的圖像與x珀有兩個交點，其交點橫坐標分別為再,七(.可三)(1)試證：y = /(x)在(一 1，1)上是單調函數(shù)(2)當時，設芭，工4是方程5一+歷"+ 1=0的兩實根，且工3匕，試

10、判斷工1，電，目，工的 大小關系變式6.設函數(shù)了0)二級-那一工其中加aR.(1)求函數(shù)/0)的最值；(2)判斷,當陽1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(機.2/)內是否存在零點,例1設函數(shù)/(.t)=(x-rt)2inx ,求實數(shù)的取值 范圍,使得對任意的.*eO3e,恒有/(*)W4/成立.例 2 設函數(shù)/(%) = /-a Ina.(1)討論/(a)的導函數(shù)/%)的零點的個數(shù);(2)證明：當 >0 時，/(x)+a In.例3設函數(shù)/=.*,-1)-仆,若當時, /(x)0,求的取值范圍.例4已知函數(shù)/(x) = ln2G +x)-pj,求函數(shù) /(勸的極值.例5 已/(x)=hlA

11、7;A (溝許數(shù)，e = 2.71828 e'是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y=/W在點(1/(D)處的切 線與1軸平行.(1)求人的值；(2)求/的單調區(qū)間；(3)設烈功=(£+幼/妝),其中/%)是/(X)的導數(shù).證明：對任意工>O,g(i)< 1+e".例6 設函數(shù) f(x)= ln(x + l) + a(x2-x) 9 其中 aeR . 討論函數(shù)/«極值點的個數(shù),并說明理由.例1 (2013.年課標n理21)已知函數(shù)f(H) = - ln(x + m).(I)設1 = 0是八外的極值點，求m并討論 八公的單調性；(0)當m42時，證明：/(I

12、)> 0.=j:nx + 心(a £ R).(i)若函數(shù)/(X)在區(qū)間iy, +8)上為增函 數(shù)，求的取值范圍；(II)若對任意 k0 (1，+8)JG) >屐2 1) + arr - 2恒成立，求正整數(shù)k的值.例3 (2014年新課標U文2D已知函數(shù) /(x) = Xs - 3" +az +2,曲線)=/(x)在點(0, 2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.(I)求 華(U)證明：當及VI時，曲線y = /Gr)與直線 了=近一 2只有一個交點.例4 （2015年鄭州模擬21）已知函數(shù)*n）=Izxr r-az2 + na £ R. L（I）求函數(shù)

13、/（公的單調區(qū)間；（D）是否存在實數(shù)-使得函數(shù)/（X）的極值 大于0,若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說 明理由.】設函數(shù)f （n） = e" - ar 2.,（1）求/（工）的單調區(qū)間；（口）若鼠=1，無為整數(shù)，且當工0時（了 一 +z + 1 。求 k 的最大值.2.已知函數(shù)/（x） = 5工3 + / +3+ 在（一 1 ,0）上有兩個極值點了1，12，且21 工;.（I）求實數(shù)。的取值范圍；（口）證明述5）|1J乙例 5 已知函數(shù)/（*） = e* - y- - ax - 1, 其中。為實數(shù).當4時，若關于榮的不等式/（%）0恒成立，試求Q的取值范圍.例1 (2007年安

14、徽高考題)設常數(shù)。N 0,函數(shù)/(%) = % - ln2x + 2aln x - 1 tx e (0, + 8 ).(1)求證久)在(0, +8)上是增函數(shù);(2)求證；當”> 1時，恒有x > n2x - 2aln x + 1.例2 (2008年湖南高考題)已知函數(shù)/(%)二方(1+/)-三,求函數(shù)/(%)的單調 I + X區(qū)間.例 3 已知函數(shù)/(*) = ax2 +2x(a 0 0),g(久)=Ink是否存在實數(shù)。0,使得方 程號.二廣-一)在區(qū)間(十同內 有且只有兩個不相等的實數(shù)根?若存在，求出 。的取值范圍?若不存在,請說明理由.例4 已知函數(shù)/(%) =x+-(a e

15、 R),或”)=Inx.若關于其的方程- X2e(e為自然對數(shù)的底數(shù))只有一個實數(shù)根，求 。的值.例6 (2010年海南與寧夏高考題)若Y#20,e N 1 + # + a-,求q的取值范圍.例1 (2013年江蘇省高考理科第20題第(II)題)設函數(shù) J'(x) = Inx ax ,g(欠)=ex ox淇中a為實數(shù).(I)若/(、)在(1+8 )上是單調減函數(shù).I L g(先)在(1 , + 8)上有最小值.求a的取值范圍;(1D若g(欠)在(- 1 ,+ 8)上是單調增函 數(shù)，試求/(X)的零點個數(shù)，并證明你的結論.例2 (2013年陜西省高考理科第21題第(II)題)1知函數(shù)/(

16、、)=/E R.(I )若直線y=入+ 1與/(、)的反函數(shù)的圖 象相切.求實數(shù)k的位：(II )設” > 0 .討論曲線y= f<x)與曲線y =mx2 ,(m > 0 )公共點的個數(shù).(Ill)設a <鼠比較/"'/論)與/“廠/(公的大小井說明理由.b 一 a例3 (2013年廣東省高考理科第21題第(11)題)設函數(shù) fXx)=(1 一1) / kx ,A-6 R.(I)當左=1時求函數(shù)/(文)的單調區(qū)問：(H )當比£ ("7，求函數(shù)/(%)在0,婦上1的最大值J/ .例5 (2013年安徽省高考理科第20題)設 23n函

17、數(shù)/'“( a：)=1+七(匯 e r .£ N* ),證明:(1)對每個n N”，存在唯一的加 ET.O1 二.滿足 Jn(Xn )=0：(II)對任意p N' ,|1|(1)中工”構成的數(shù)列；力”)滿足0 V以一工/p < . n例6 (2013年天津市理科第20題第(II)、(III)題)已知函數(shù)/'(.、)=； ln；v.求函數(shù)/(%)的單調區(qū)間;(11)證明:對任意的t> 0 .存在唯一的s，使t =/(、§),(III )設(II)中所確定的s關于£的函數(shù)為$ = g(Q .證明:當e時而< hljn <

18、5.例7 (2013年陜西省高考理科第21題第(III )題改編)已知函數(shù)/(«) = / .v R.對于給定的，/)(“< )，已知存在we (a.b) .使得J'f( f)= 憶儼),求證：?>曰.例3 (2014年遼寧卷)已知函數(shù)/(%)= 8爭求(cos « -x)(7T +2x) - =(sin 4 + 1) ,&(欠)= 3(4一ir)cos x - 4( I + sin x) In ( 3 -證:存在唯一/ e(0,引，使A%) =0;(2)存在唯一勺e (乎,ir),使8(9)=0,且對(1)中的4。+再< 例4 (2014年山東卷)設函數(shù)/G)=與 X-耳十+E勾作為常數(shù)理=2.718 28是 自然對數(shù)的底數(shù)).(1)當4W0時,求函數(shù)f(4)的單調區(qū)間;(2)若函數(shù)f(")在(0,2)內存在兩個極 值點，