《標量函數的梯度》ppt課件

1、1 3 1 3 標量函數的梯度標量函數的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析一一 標量場的等值面標量場的等值面一個標量場可用一個標量函數來一個標量場可用一個標量函數來表示。直角坐標系中，標量函數表示。直角坐標系中，標量函數 可表示為可表示為 u, ,uu x y z方程方程 隨著隨著 的取值不同，的取值不同，給出一組曲面給出一組曲面.這樣的曲面稱為標量場這樣的曲面稱為標量場 的等值面的等值面. , ,u x y zC 為恣意常數稱為等值面方程為恣意常數稱為等值面方程. 假設某一標量物理函數假設某一標量物理函數 是兩個坐標變量的函數，這樣是兩個坐標變量的函數，這樣的場稱為平面標量場的場稱為平面標量

2、場. Cu, ,u x y zCC, x yC稱為等值線方程稱為等值線方程. 1 3 1 3 標量函數的梯度標量函數的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例1設點電荷設點電荷 位于直角坐標系的原點，在位于直角坐標系的原點，在它周圍空間的任一點它周圍空間的任一點 的電位是的電位是2220, ,4qx y zxyz式中式中 和和 是常數是常數.試求等電位面方程試求等電位面方程. q, ,M x y zq0 解根據等值面的定義，令解根據等值面的定義，令 常數常數即得到等電位面方程即得到等電位面方程 , ,x y zC22204qCxyz222204qxyzC這是一個球面方程這是一個球面方程. 或或

3、 解根據等值面的定義，令解根據等值面的定義，令 常數常數即得到等電位面方程即得到等電位面方程 1 3 1 3 標量函數的梯度標量函數的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析二二 方導游數方導游數000limlMu Mu Mull 0Mul定義定義 就稱為函數就稱為函數 在在點沿點沿 方向的方導游數方向的方導游數. , ,u x y z0Ml物理意義物理意義 方導游數是函數方導游數是函數 在給定點沿某一方向對在給定點沿某一方向對間隔的變化率間隔的變化率.在直角坐標系中，在直角坐標系中， 就是函數就是函數 沿沿三個坐標軸方向的方導游數三個坐標軸方向的方導游數 . , ,u x y z,uuuxyz00

4、00, ,M x y z 為標量場 中的一點，從點 出發(fā)朝任一方向引一條射線 并在該方向上接近點 取一動點 ，點 到點 的間隔表示為 . , ,u x y z0M000,M xx yyzz0MMll0Mu1 3 1 3 標量函數的梯度標量函數的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析根據多元函數的全增量的關系，有根據多元函數的全增量的關系，有0000MMMuu Mu Muuuxyzlxyz 00000limcoscoscoslMMMu Mu Mluuuxyz 222lxyz cos,cos,cosxlylzl cos,cos,cos直角坐標系中直角坐標系中 l式中式中 是是 的方向余弦的方向余弦.

5、coscoscosuuuulxyz0l 0結論結論 直角坐標系中恣意點直角坐標系中恣意點上沿上沿 方向的方導游數的方向的方導游數的表達式表達式 l1 3 1 3 標量函數的梯度標量函數的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例2求函數求函數 在點在點 沿沿 方向的方導游數方向的方導游數 .222uxyz1,0,1M22xyzleee 解解222uxxxyz222uyyxyz222uzzxyz1,0,1M12ux0uy12uz22211cos31222cos32cos301121210333222Mul 1 3 1 3 標量函數的梯度標量函數的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析三三 梯度梯度 1

6、.1.梯度的定義梯度的定義coscoscoslxyzeeeexyzuuuGeeexyzcos,lluG eGG el 定義定義 標量場標量場 在點在點 處的梯度是一個矢量，記作處的梯度是一個矢量，記作 , ,u x y zMuGMcoscoscosuuuulxyz它的大小等于場在點它的大小等于場在點 一切方導游數中的最大值，它一切方導游數中的最大值，它的的方向等于取到這個最大值所沿的那個方向方向等于取到這個最大值所沿的那個方向. grad1 3 1 3 標量函數的梯度標量函數的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析2.2.梯度的性質梯度的性質 一一個標量函數的梯度是一個矢量函數一一個標量函數的梯度

7、是一個矢量函數. 二函數二函數 在給定點沿恣意在給定點沿恣意 方向的方導游數等于方向的方導游數等于函數函數 的梯度在的梯度在 方向上的投影方向上的投影. ulul三在任一點三在任一點 ，標量場，標量場 的梯度垂直于過該的梯度垂直于過該 點的等值面點的等值面. M, ,u x y zMgradgradnueu單位法線矢量單位法線矢量 1 3 1 3 標量函數的梯度標量函數的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析3.3.哈密頓哈密頓HamiltonHamilton算子算子xyzeeexyz ()xyzxyzuuuueeeueeexyzxyz在直角坐標系中在直角坐標系中 graduu 1zeeez 11sinreeerrr 1 3 1 3 標量函數的梯度標量函數的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析4.4.梯度運算根本公式梯度運算根本公式 0CCuC uuvuv uvv uu v 21uv uu vvv f ufuu1 3 1 3 標量函數的梯度標量函數的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例3 試證明試證明 , 表示空間點表示空間點 和和 點之間的間隔。符號點之間的間隔。符號 表表示對示對 微分，即微分，即 222Rx xy yz z 11RR R, ,x y z,x y z ,x y zxyzeeexyz 解解1