《標(biāo)量函數(shù)的梯度》ppt課件

1、1 3 1 3 標(biāo)量函數(shù)的梯度標(biāo)量函數(shù)的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析一一 標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面一個標(biāo)量場可用一個標(biāo)量函數(shù)來一個標(biāo)量場可用一個標(biāo)量函數(shù)來表示。直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量函數(shù)表示。直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量函數(shù) 可表示為可表示為 u, ,uu x y z方程方程 隨著隨著 的取值不同，的取值不同，給出一組曲面給出一組曲面.這樣的曲面稱為標(biāo)量場這樣的曲面稱為標(biāo)量場 的等值面的等值面. , ,u x y zC 為恣意常數(shù)稱為等值面方程為恣意常數(shù)稱為等值面方程. 假設(shè)某一標(biāo)量物理函數(shù)假設(shè)某一標(biāo)量物理函數(shù) 是兩個坐標(biāo)變量的函數(shù)，這樣是兩個坐標(biāo)變量的函數(shù)，這樣的場稱為平面標(biāo)量場的場稱為平面標(biāo)量

2、場. Cu, ,u x y zCC, x yC稱為等值線方程稱為等值線方程. 1 3 1 3 標(biāo)量函數(shù)的梯度標(biāo)量函數(shù)的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例1設(shè)點(diǎn)電荷設(shè)點(diǎn)電荷 位于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，在位于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，在它周圍空間的任一點(diǎn)它周圍空間的任一點(diǎn) 的電位是的電位是2220, ,4qx y zxyz式中式中 和和 是常數(shù)是常數(shù).試求等電位面方程試求等電位面方程. q, ,M x y zq0 解根據(jù)等值面的定義，令解根據(jù)等值面的定義，令 常數(shù)常數(shù)即得到等電位面方程即得到等電位面方程 , ,x y zC22204qCxyz222204qxyzC這是一個球面方程這是一個球面方程. 或或

3、 解根據(jù)等值面的定義，令解根據(jù)等值面的定義，令 常數(shù)常數(shù)即得到等電位面方程即得到等電位面方程 1 3 1 3 標(biāo)量函數(shù)的梯度標(biāo)量函數(shù)的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析二二 方導(dǎo)游數(shù)方導(dǎo)游數(shù)000limlMu Mu Mull 0Mul定義定義 就稱為函數(shù)就稱為函數(shù) 在在點(diǎn)沿點(diǎn)沿 方向的方導(dǎo)游數(shù)方向的方導(dǎo)游數(shù). , ,u x y z0Ml物理意義物理意義 方導(dǎo)游數(shù)是函數(shù)方導(dǎo)游數(shù)是函數(shù) 在給定點(diǎn)沿某一方向?qū)υ诮o定點(diǎn)沿某一方向?qū)﹂g隔的變化率間隔的變化率.在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中， 就是函數(shù)就是函數(shù) 沿沿三個坐標(biāo)軸方向的方導(dǎo)游數(shù)三個坐標(biāo)軸方向的方導(dǎo)游數(shù) . , ,u x y z,uuuxyz00

4、00, ,M x y z 為標(biāo)量場 中的一點(diǎn)，從點(diǎn) 出發(fā)朝任一方向引一條射線 并在該方向上接近點(diǎn) 取一動點(diǎn) ，點(diǎn) 到點(diǎn) 的間隔表示為 . , ,u x y z0M000,M xx yyzz0MMll0Mu1 3 1 3 標(biāo)量函數(shù)的梯度標(biāo)量函數(shù)的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析根據(jù)多元函數(shù)的全增量的關(guān)系，有根據(jù)多元函數(shù)的全增量的關(guān)系，有0000MMMuu Mu Muuuxyzlxyz 00000limcoscoscoslMMMu Mu Mluuuxyz 222lxyz cos,cos,cosxlylzl cos,cos,cos直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中 l式中式中 是是 的方向余弦的方向余弦.

5、coscoscosuuuulxyz0l 0結(jié)論結(jié)論 直角坐標(biāo)系中恣意點(diǎn)直角坐標(biāo)系中恣意點(diǎn)上沿上沿 方向的方導(dǎo)游數(shù)的方向的方導(dǎo)游數(shù)的表達(dá)式表達(dá)式 l1 3 1 3 標(biāo)量函數(shù)的梯度標(biāo)量函數(shù)的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例2求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 沿沿 方向的方導(dǎo)游數(shù)方向的方導(dǎo)游數(shù) .222uxyz1,0,1M22xyzleee 解解222uxxxyz222uyyxyz222uzzxyz1,0,1M12ux0uy12uz22211cos31222cos32cos301121210333222Mul 1 3 1 3 標(biāo)量函數(shù)的梯度標(biāo)量函數(shù)的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析三三 梯度梯度 1

6、.1.梯度的定義梯度的定義coscoscoslxyzeeeexyzuuuGeeexyzcos,lluG eGG el 定義定義 標(biāo)量場標(biāo)量場 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的梯度是一個矢量，記作處的梯度是一個矢量，記作 , ,u x y zMuGMcoscoscosuuuulxyz它的大小等于場在點(diǎn)它的大小等于場在點(diǎn) 一切方導(dǎo)游數(shù)中的最大值，它一切方導(dǎo)游數(shù)中的最大值，它的的方向等于取到這個最大值所沿的那個方向方向等于取到這個最大值所沿的那個方向. grad1 3 1 3 標(biāo)量函數(shù)的梯度標(biāo)量函數(shù)的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析2.2.梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì) 一一個標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個矢量函數(shù)一一個標(biāo)量函數(shù)的梯度

7、是一個矢量函數(shù). 二函數(shù)二函數(shù) 在給定點(diǎn)沿恣意在給定點(diǎn)沿恣意 方向的方導(dǎo)游數(shù)等于方向的方導(dǎo)游數(shù)等于函數(shù)函數(shù) 的梯度在的梯度在 方向上的投影方向上的投影. ulul三在任一點(diǎn)三在任一點(diǎn) ，標(biāo)量場，標(biāo)量場 的梯度垂直于過該的梯度垂直于過該 點(diǎn)的等值面點(diǎn)的等值面. M, ,u x y zMgradgradnueu單位法線矢量單位法線矢量 1 3 1 3 標(biāo)量函數(shù)的梯度標(biāo)量函數(shù)的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析3.3.哈密頓哈密頓HamiltonHamilton算子算子xyzeeexyz ()xyzxyzuuuueeeueeexyzxyz在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中 graduu 1zeeez 11sinreeerrr 1 3 1 3 標(biāo)量函數(shù)的梯度標(biāo)量函數(shù)的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析4.4.梯度運(yùn)算根本公式梯度運(yùn)算根本公式 0CCuC uuvuv uvv uu v 21uv uu vvv f ufuu1 3 1 3 標(biāo)量函數(shù)的梯度標(biāo)量函數(shù)的梯度第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例3 試證明試證明 , 表示空間點(diǎn)表示空間點(diǎn) 和和 點(diǎn)之間的間隔。符號點(diǎn)之間的間隔。符號 表表示對示對 微分，即微分，即 222Rx xy yz z 11RR R, ,x y z,x y z ,x y zxyzeeexyz 解解1