極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限17無(wú)窮小的比較ppt課件

1、 第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限n內(nèi)容提要內(nèi)容提要n 1. 兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則；兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則；n 2. 兩個(gè)重要極限。兩個(gè)重要極限。 n教學(xué)要求教學(xué)要求n 1.了解兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則了解兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則）；和單調(diào)有界準(zhǔn)則）；n 2. 熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限 。(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(lim一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則注：上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到注：上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限函數(shù)的極限注注:上述兩個(gè)準(zhǔn)則稱為夾逼準(zhǔn)則上述兩個(gè)

2、準(zhǔn)則稱為夾逼準(zhǔn)則.并且他們的極限是容易求出且相等。并且他們的極限是容易求出且相等。利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出數(shù)列利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出數(shù)列nynz和和例例1 求求222111lim().12nnnnn 解解222211,11nnnnnnnn21limlim11nnnnnn , 1 221limlim111nnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得222111lim()1.12nnnnn 又又x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則121,nnxxxx 單調(diào)增加單調(diào)增加121,nnxxxx 單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:AM 滿足條件滿足條件如果數(shù)

3、列如果數(shù)列 xn二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限 ( x 取弧度單位取弧度單位 )如下圖如下圖 , 作單位圓作單位圓則圓心角則圓心角AOB=x ， 顯然有顯然有AODAOBSSSDDAOB扇形扇形 即即xxxtansin 分別除以分別除以 xsin 1.對(duì)于對(duì)于情形情形,20 x有有xxxcos1sin1 D1sinlim)1(0 xxx證證:oyxBAx BCxsin ADxtanxxsin21xtan21x21C AB再取倒數(shù)再取倒數(shù) , 得得1sincosxxx (1)由于用由于用x-替代替代x時(shí)時(shí)xcos和和xxsin都不變號(hào)都不變號(hào)不等不等 式式 (1)仍成立仍成立 ,恒恒 有不等式

4、有不等式 1sincosxxx 成立。成立。3由于由于1coslim0=xx , 且且11lim0=x , 由夾逼準(zhǔn)則由夾逼準(zhǔn)則可知可知 , 1sinlim0=xxx . 證畢證畢從而當(dāng)從而當(dāng)時(shí)時(shí) , 2, 00,2 x2.對(duì)于對(duì)于的情形的情形 ,02 x 所以當(dāng)所以當(dāng)時(shí)時(shí) ,02 x （偶函數(shù)），（偶函數(shù)），0sinlim1xxx ()0sin ( )lim1( )xxx 0 注意：注意：sinlimxxx0limsinxxx解解0limsinxxx01limsinxxx 01sinlimxxx 1 0lim1sinxxx ()0( )lim1sin ( )xxx 例例 1 求求 30sin

5、33lim3xxx 3 ( )0sin ( )lim1( )xxx 0sin1limcosxxxx 1 0sin3limxxx例例2 求求0sin3limxxx0tanlimxxx例例3 求求解解解解0tanlimxxx0sinlimsinxaxaaxbxbbx ab 0sinlimsinxaxaxbxbx00sinlimsinlimaxbxaxaaxbxbbx ab ( )0sin ( )lim1( )xxx 0sinlim( ,0)sinxaxa bbx 例例4 求求解解0sinlimsinxaxbx解解當(dāng)當(dāng) n時(shí)時(shí) , 因而因而例例5limsinnnn , 有有0n limsinnnn

6、sinlimnnn 1 ( )0sin ( )lim1( )xxx 0sinlimnnn 例例6 021coslim12xxx 2022sin2lim12xxx 220sin2lim2xxx 20sin2lim2xxx 21 1 ( )0sin ( )lim1( )xxx 解解021coslim12xxx 20sin2lim2xxx 21sin(1)1. lim1xxx 21sin(1)lim1xxx 221sin(1)lim(1)1xxxx 練習(xí)練習(xí)解解2 0arcsinlimxxx解解 令令 0arcsin2. limxxx0limsinttt 1 arcsin xt sinxt .00t

7、x那那么么14.limsinxxx解解0limcotxxx0coslimsinxxxx 0limcossinxxxx 1 03.limcotxxx解解1limsinxxx101sinlim1xxx 1 證明略證明略 (用兩個(gè)準(zhǔn)則證明用兩個(gè)準(zhǔn)則證明)。1(2)lim 1xxex ( )( )1lim1( )xxex 例例1 3lim 1xxx 331lim13xxx解解3lim 1xxx 3e 331lim 13xxx解法一解法一 令令tx =- 則當(dāng)則當(dāng) x 時(shí)時(shí) 有有 t 所以所以例例 2 求求431lim 1xxx 4() 31lim 1ttt431lim 1xxx 31lim 1tt41

8、.lim1ttt 341e 4e 4()311lim(1)(1)tttt 41lim 1xxx31lim 1xx41lim1xxx 31lim 1xx431lim 1xxx 解法二解法二4e ( )( )1lim1( )xxex 4311lim(1)(1)xxxx 解解 令令tx=1 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí) 有有 t 所以所以例例 3 10lim 1xxx 1lim 1ttt 10lim 1xxx e 10lim 1xxxe 1lim 1xxex( )( )1lim1( )xxex 1( )( )0lim 1( )xxxe 1)1(3)互倒互倒)1()2( 注意：注意： 1lim 1,xxxe01li

9、m 1xxex5cot01.lim(1tan );xxx 解解5cot0lim(1tan )xxx 15tantan0lim (1tan )xxx5e 3.lim() ;1xxxx 解解1lim()xxxx lim()1xxxx 11lim(1) xxx 1e 1( )( )0lim 1( )xxxe 22.lim(1) ;xxx 解解2lim(1)xxx 222lim(1)xxx exxx )()()(11lim 2e 練習(xí)練習(xí)小結(jié)小結(jié)二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限重要極限一重要極限一 : 0sinlim1xxx 重要極限二重要極限二 ：()0sin ( )lim1( )xxx 10lim

10、 1xxxe 1lim 1xxex( )( )1lim1( )xxex 1( )( )0lim 1( )xxxe (1)1 (3)互倒互倒)1()2( 0( )0夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .一、兩個(gè)準(zhǔn)則一、兩個(gè)準(zhǔn)則作作 業(yè)業(yè) P56習(xí)題習(xí)題1-6 1(1)(3)(5) 2 (1)(2)(3)第七節(jié)第七節(jié) 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較n內(nèi)容提要內(nèi)容提要n無(wú)窮小量的比較。無(wú)窮小量的比較。n教學(xué)要求教學(xué)要求n熟練掌握無(wú)窮小的比較、等價(jià)無(wú)窮小熟練掌握無(wú)窮小的比較、等價(jià)無(wú)窮小量的量的n性質(zhì)以及一些常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小。性質(zhì)以及一些常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小。由無(wú)窮小的性質(zhì)可知由無(wú)窮小的性質(zhì)可知 , 兩

11、個(gè)無(wú)窮小的和、差、積兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍為無(wú)窮小仍為無(wú)窮小 , 但兩個(gè)無(wú)窮小的商會(huì)出現(xiàn)不同的情況但兩個(gè)無(wú)窮小的商會(huì)出現(xiàn)不同的情況 。如如:當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí) ,函數(shù)函數(shù) x2 , xsin 都是無(wú)窮小。都是無(wú)窮小。但是但是0= =21=,2x20(1)lim2xxx0lim2xx 202(2)limxxx(3)2sinxx0limxxxxsinlim210 由此可見(jiàn)由此可見(jiàn) , 無(wú)窮小雖然都是以無(wú)窮小雖然都是以0 為為極限的變量極限的變量, 但它們趨向但它們趨向0的速度不一樣的速度不一樣 , 趨向趨向0的的“快快”、 “慢水平慢水平 , 我們引我們引入無(wú)窮小的入無(wú)窮小的“階的概念。階的概念。為

12、了為了 反映無(wú)窮小反映無(wú)窮小lim0,kC 定義定義.lim0, 假假設(shè)設(shè)則稱則稱 是比是比 高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小,( )o lim, 假假設(shè)設(shè)假假設(shè)設(shè)假假設(shè)設(shè)lim1, 假假設(shè)設(shè) lim0,C 或或設(shè)設(shè)a,b 是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作記作則稱則稱 是比是比 低階的無(wú)窮低階的無(wú)窮小小;則稱則稱 是是 的同階無(wú)窮的同階無(wú)窮小小;則稱則稱 是關(guān)于是關(guān)于 的的k 階無(wú)窮小階無(wú)窮小;則稱則稱是是 的等價(jià)無(wú)窮小的等價(jià)無(wú)窮小,記作記作 例如例如 03lim30 xxx )0(x)3(3 xox1sinlim0 xxx )0(xsinxx1 x與與12 x同階無(wú)

13、窮小同階無(wú)窮小) 1(x02lim0 xx)2(ox )0(x11lim21 xxx11lim1 xx21 可以證明可以證明 :當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí) , 有下列等價(jià)無(wú)窮?。河邢铝械葍r(jià)無(wú)窮?。簒xsinxxtanxex1 xx)1ln( 22xcos1x 利用等價(jià)無(wú)窮小可以簡(jiǎn)化某些極限利用等價(jià)無(wú)窮小可以簡(jiǎn)化某些極限的運(yùn)算的運(yùn)算 , , 有下面定理：有下面定理：xarctanxarcsinxx定理定理1.( )o定理定理2 設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí) , )()(xx ,)()(xx 且且)()(lim0 xxxx 存在存在 ( ( 或或 ) , ) , )()(lim0 xxxx 那么那么)()(lim0

14、 xxxx 證明證明 因因)()(lim0 xxxx )()(lim0 xxxx ( 證畢證畢 )()(xx )()(xx )()(xx lim0 xx )()(lim0 xxxx )()(lim0 xxxx )()(lim0 xxxx 23lim0 xxx例例1 求求2tan3sinlim0 xxx23 2 2 .tg xxsin3 3 ,xx,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x0 0lim30 xxlim30 xxxx這種解法是錯(cuò)誤的！這種解法是錯(cuò)誤的！tan.xxsin,xx30tansinlimxxxx 解解正確的解法如下正確的解法如下.sinlimxxx limxxx sinlimxxx sin()lim

15、xxx 1 正確的解法如下正確的解法如下.30sintanlim 2xxxx 求求 例例,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x. sin 不是無(wú)窮小不是無(wú)窮小 是無(wú)窮小，而是無(wú)窮小，而 時(shí)，時(shí)， x xx cos21lim0 xxcos2lim320. . xxxxxcos)cos1(sinlim30 xxxxxsintanlim30 xxxx301sinlim(sin )cosxxxxx12 解解注意：注意：用無(wú)窮小的等價(jià)替換簡(jiǎn)化極限運(yùn)算時(shí)，可用用無(wú)窮小的等價(jià)替換簡(jiǎn)化極限運(yùn)算時(shí)，可用無(wú)窮小量替換分子或分母，也可替換分子或無(wú)窮小量替換分子或分母，也可替換分子或分母的因式，而對(duì)分子或分母中分母的因式，而對(duì)分子或分母中“+”，而對(duì)分，而對(duì)分子或分母中子或分母中“+”，部分不能分別作替換。，部分不能分別作替換。30sintanlimxxxx 求求21cos,2xx ,0時(shí)時(shí)當(dāng)