線性代數(shù)復(fù)習(xí)題學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁(yè)，共64頁(yè)。第1頁(yè)/共64頁(yè)第二頁(yè)，共64頁(yè)。第2頁(yè)/共64頁(yè)第三頁(yè)，共64頁(yè)。計(jì)算(j sun)下列行列式：第3頁(yè)/共64頁(yè)第四頁(yè)，共64頁(yè)。第4頁(yè)/共64頁(yè)第五頁(yè)，共64頁(yè)。只有方陣只有方陣(fn zhn)才討論它的逆矩陣才討論它的逆矩陣;方陣方陣(fn zhn)A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是求逆矩陣的方法求逆矩陣的方法:伴隨矩陣法伴隨矩陣法; 初等行變換法初等行變換法.用兩種方法求A的逆矩陣。第5頁(yè)/共64頁(yè)第六頁(yè)，共64頁(yè)。設(shè)求解(qi ji)矩陣方程：矩陣矩陣(j zhn)乘法不符合交換律乘法不符合交換律,左乘和右乘的結(jié)果不同左乘和右乘的結(jié)果不同證明(zhn

2、gmng)：設(shè)方陣A滿(mǎn)足：?jiǎn)朅是否可逆？逆矩陣A與伴隨矩陣A*之間的關(guān)系第6頁(yè)/共64頁(yè)第七頁(yè)，共64頁(yè)。給定(i dn)向量組A:如果(rgu)存在一組不全為零的實(shí)數(shù)：則稱(chēng)向量組A是線性相關(guān)線性相關(guān)的.否則稱(chēng)它是線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)的.給定向量組A:如果存在一組實(shí)數(shù)則稱(chēng)向量可由線性表示線性表示。第7頁(yè)/共64頁(yè)第八頁(yè)，共64頁(yè)。1.按定義(dngy)判別,作研究是否存在(cnzi)非零解,使上式成立.2.用秩判斷：若則線性相關(guān).則線性無(wú)關(guān).3.利用定理;一個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是該向量為零向量；兩個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是這兩個(gè)向量成比例;n個(gè)n維向量線性相關(guān)的充要條件是：n+1個(gè)n維向量必線

3、性相關(guān);第8頁(yè)/共64頁(yè)第九頁(yè)，共64頁(yè)。向量向量(xingling)組組線性相關(guān)的充要條件是其中線性相關(guān)的充要條件是其中(qzhng)至少至少有一個(gè)向量（不一定每一個(gè)向量）可由其余向量有一個(gè)向量（不一定每一個(gè)向量）可由其余向量線性表示。線性表示。如果向量組中部分向量線性相關(guān)，則該向量組如果向量組中部分向量線性相關(guān)，則該向量組線性相關(guān)。線性相關(guān)。如果向量組線性無(wú)關(guān)，則它的任一部分向量也如果向量組線性無(wú)關(guān)，則它的任一部分向量也線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)!第9頁(yè)/共64頁(yè)第十頁(yè)，共64頁(yè)。例研究例研究(ynji)下列向量組的線性相關(guān)性下列向量組的線性相關(guān)性.201,520,321321 解一解一 00020

4、1520321, 0321332211kkkkkk即即令令 第10頁(yè)/共64頁(yè)第十一頁(yè)，共64頁(yè)。整理整理(zhngl)得到得到)(. 0253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(,0253022101)(321線線性性相相關(guān)關(guān)從從而而必必有有非非零零解解線線性性方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式線線性性方方程程組組 第11頁(yè)/共64頁(yè)第十二頁(yè)，共64頁(yè)。解二解二,201,520,321321 ,253022101),(321 A矩陣矩陣第12頁(yè)/共64頁(yè)第十三頁(yè)，共64頁(yè)。 000220101253022101初等行變換初等行變換A., 32)(321線線性性相相關(guān)關(guān)故故

5、向向量量組組 AR第13頁(yè)/共64頁(yè)第十四頁(yè)，共64頁(yè)。102,321,100,110,11154321線性無(wú)關(guān)(wgun).01111011001 必線性相關(guān)可作為(zuwi)三維向量空間的一組基。在基下的坐標(biāo)(zubio)？第14頁(yè)/共64頁(yè)第十五頁(yè)，共64頁(yè)。設(shè)向量(xingling)組可以(ky)由向量組線性表示,且則向量組必線性相關(guān).若向量組可以由向量組線性表示,且線性無(wú)關(guān)，則第15頁(yè)/共64頁(yè)第十六頁(yè)，共64頁(yè)。第16頁(yè)/共64頁(yè)第十七頁(yè)，共64頁(yè)。設(shè)向量組A與向量組B的秩相同,且A組能由B組線性表示(biosh),證明A組與B組等價(jià).只須證B組可由A組線性表示(biosh)即可.

6、用反證法.矛盾矛盾(modn).證: 設(shè)若B組不能由A組線性表示,則在B中至少存在一個(gè)向量不能由A組線性表示,構(gòu)造向量組但C組可由B組線性表示,第17頁(yè)/共64頁(yè)第十八頁(yè)，共64頁(yè)。.第18頁(yè)/共64頁(yè)第十九頁(yè)，共64頁(yè)。解的結(jié)構(gòu)：若R(A)=rn,則方程組的解向量集合是一個(gè)(y )向量空間, 它的一組基也稱(chēng)為基礎(chǔ)解系，它的維數(shù)是n-r，即基礎(chǔ)解系由n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成。通解(tngji)的形式：是它的基礎(chǔ)解系，且線性無(wú)關(guān)。 齊次線性方程組的任一個(gè)解都是基礎(chǔ)解系的線性組合.為任意實(shí)數(shù)第19頁(yè)/共64頁(yè)第二十頁(yè)，共64頁(yè)。即求AX=0的兩個(gè)(lin )線性無(wú)關(guān)的解向量.10 018118

7、1285811得基礎(chǔ)解系80111 085121或者800811511B第20頁(yè)/共64頁(yè)第二十一頁(yè)，共64頁(yè)。825931222015312220153122201511081120,085121對(duì)應(yīng)(duyng)的方程組:-8x1 +x3-x4=0-5x1+x2 -2x4=0 x2=5x1+2x4x3=8x1+x4第21頁(yè)/共64頁(yè)第二十二頁(yè)，共64頁(yè)。1120,085121281181280111,085121第22頁(yè)/共64頁(yè)第二十三頁(yè)，共64頁(yè)。第23頁(yè)/共64頁(yè)第二十四頁(yè)，共64頁(yè)。解的結(jié)構(gòu)：方程組的任一解可以(ky)表示為一個(gè)特解加上AX=0的一個(gè)解.通解(tngji)的形式：為

8、任意實(shí)數(shù)是AX=0的基礎(chǔ)解系.是AX=b的特解方程組的全部解就是它的一個(gè)特解加上AX=0的全部解.第24頁(yè)/共64頁(yè)第二十五頁(yè)，共64頁(yè)。設(shè)線性方程(fngchng)組AX=b有m個(gè)方程(fngchng),n個(gè)未知元,則( )正確.A. 若AX=0僅有零解,則AX=b有唯一(wi y)解;B. 若AX=0有非零解,則AX=b有無(wú)窮多解;C. 若AX=b 有無(wú)窮多解,則AX=0僅有零解;D. 若AX=b有無(wú)窮多解,則AX=0有非零解.第25頁(yè)/共64頁(yè)第二十六頁(yè)，共64頁(yè)。第26頁(yè)/共64頁(yè)第二十七頁(yè)，共64頁(yè)。求解(qi ji)方程組:第27頁(yè)/共64頁(yè)第二十八頁(yè)，共64頁(yè)。015322111

9、2112112313401221112112112000101可以(ky)驗(yàn)證：全部(qunb)解（通解）是：k是任意(rny)實(shí)數(shù)。第28頁(yè)/共64頁(yè)第二十九頁(yè)，共64頁(yè)。 . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例 當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解a解法一系數(shù)矩陣的行列式為A第29頁(yè)/共64頁(yè)第三十頁(yè)，共64頁(yè)。aaA32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa第30頁(yè)/共64頁(yè)第三十一頁(yè)，共64頁(yè)。., 0,21方程組有非零

10、解方程組有非零解時(shí)時(shí)或者或者當(dāng)當(dāng) Aaa:,1化成最簡(jiǎn)形化成最簡(jiǎn)形把系數(shù)矩陣把系數(shù)矩陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Aa 10000000001001011323111121211111.,01014321為任意常數(shù)為任意常數(shù)kkxxxxx 從而得到(d do)方程組的通解第31頁(yè)/共64頁(yè)第三十二頁(yè)，共64頁(yè)。 00000300101011112323121121211111,2化為化為之變換可把之變換可把由計(jì)算由計(jì)算時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)AAa 0000010010100001第32頁(yè)/共64頁(yè)第三十三頁(yè)，共64頁(yè)。 aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯

11、形A第33頁(yè)/共64頁(yè)第三十四頁(yè)，共64頁(yè)。., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此時(shí)時(shí)方方程程組組有有時(shí)時(shí)或或者者當(dāng)當(dāng) ARaa 2000010010101111aa第34頁(yè)/共64頁(yè)第三十五頁(yè)，共64頁(yè)。.,1010 4321為為任任意意常常數(shù)數(shù)為為從從而而得得到到方方程程組組的的通通解解kkxxxxx 第35頁(yè)/共64頁(yè)第三十六頁(yè)，共64頁(yè)。設(shè)A，B都是n階矩陣(j zhn)，且AB=O，證明：將B看作(kn zu)n個(gè)列向量組成，由AB=O，可知B的每一列(y li)向量都是齊次線性方程組AX=0的解向量。設(shè)R(A)=r,則AX=0的解空間的秩為n

12、-r.B的列向量都屬于AX=0的解空間。 所以利用上一題的結(jié)果，可證：若|A|=0，則|A*|=0第36頁(yè)/共64頁(yè)第三十七頁(yè)，共64頁(yè)。設(shè)A是n階方陣，如果存在(cnzi)實(shí)數(shù)和n維非零向量(xingling)使 則稱(chēng)是方陣A的特征值特征值是方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量特征向量。方陣A的特征值是確定的，而特征向量是不唯一的。第37頁(yè)/共64頁(yè)第三十八頁(yè)，共64頁(yè)。特征值的求法：構(gòu)造(guzo)行列式求特征值就是(jish)求多項(xiàng)式的根。一般用因式分解法。特征向量的求法：即求方程組的非零解.對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征值，可能有多個(gè)(du )線性無(wú)關(guān)的特征向量。對(duì)應(yīng)于不同的特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。矩

13、陣A與特征值的關(guān)系：第38頁(yè)/共64頁(yè)第三十九頁(yè)，共64頁(yè)。設(shè)方陣A滿(mǎn)足A2=A,證明(zhngmng)A的特征值只有0或1.第39頁(yè)/共64頁(yè)第四十頁(yè)，共64頁(yè)。第40頁(yè)/共64頁(yè)第四十一頁(yè)，共64頁(yè)。10000002,10100002yBxA若A與B相似(xin s)，求x,y的值。|A|=-2,|B|=-2y, 所以(suy)y=12+x=2+y-1,所以(suy)x=0.A的特征向量：110,110,001321第41頁(yè)/共64頁(yè)第四十二頁(yè)，共64頁(yè)。第42頁(yè)/共64頁(yè)第四十三頁(yè)，共64頁(yè)。若n階方陣(fn zhn)A有n個(gè)不同的特征值：則A與對(duì)角(du jio)矩陣相似。方陣A的r重

14、特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不超過(guò)r個(gè)。方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A的每個(gè)ri重特征值都有其對(duì)應(yīng)的ri個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。第43頁(yè)/共64頁(yè)第四十四頁(yè)，共64頁(yè)。對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣(j zhn)A，必存在正交矩陣(j zhn)Q，使其中是A的特征值。第44頁(yè)/共64頁(yè)第四十五頁(yè)，共64頁(yè)。求A的特征值，可得與A相似的對(duì)角(du jio)矩陣求A的特征向量，將A的特征向量作為矩陣(j zhn)P的列向量，可得相似變換矩陣(j zhn)P，將矩陣P正交化，單位化，（即將A的特征向量進(jìn)行正交化，單位化），可得正交變換矩陣Q，P，Q不唯一。第45頁(yè)/共64頁(yè)第四十六頁(yè)，共64頁(yè)。設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)(duchn)

15、矩陣，X為n維變向量，則稱(chēng)為(chn wi)二次型。若對(duì)均有稱(chēng)為(chn wi)正定二次型,相應(yīng)的矩陣A稱(chēng)為正定矩陣.若對(duì)均有稱(chēng)為負(fù)定二次型,相應(yīng)的矩陣A稱(chēng)為負(fù)定矩陣.二次型矩陣A必與對(duì)角矩陣相似.第46頁(yè)/共64頁(yè)第四十七頁(yè)，共64頁(yè)。設(shè)A為二次型矩陣(j zhn),則存在可逆矩陣(j zhn)P,使特別(tbi)存在正交矩陣Q,使為平方和形式(xngsh).是A的特征值。若A的特征值全大于0,則A是正定矩陣.若A的特征值全小于0,則A是負(fù)定矩陣.第47頁(yè)/共64頁(yè)第四十八頁(yè)，共64頁(yè)。第48頁(yè)/共64頁(yè)第四十九頁(yè)，共64頁(yè)。第49頁(yè)/共64頁(yè)第五十頁(yè)，共64頁(yè)。設(shè)是否(sh fu)可由線性

16、表示(biosh)？若可以，則表示(biosh)式是否唯一？是否有解，有解是否唯一？第50頁(yè)/共64頁(yè)第五十一頁(yè)，共64頁(yè)。653352291, :xxx可解得第51頁(yè)/共64頁(yè)第五十二頁(yè)，共64頁(yè)。方程組AX=0的基礎(chǔ)(jch)解系？A的特征值和特征向量？第52頁(yè)/共64頁(yè)第五十三頁(yè)，共64頁(yè)。A的全部(qunb)特征值：A的全部(qunb)特征向量：第53頁(yè)/共64頁(yè)第五十四頁(yè)，共64頁(yè)。.),(0,)2(?)1(.00221100不可對(duì)角化不可對(duì)角化證明證明且至少有一且至少有一如果如果可對(duì)角化可對(duì)角化在什么條件下在什么條件下階下三角陣階下三角陣是是設(shè)設(shè)AjiaaaaAnAjinn 例8例

17、8A解解(1)可對(duì)角化的充分條件是有個(gè)互異的可對(duì)角化的充分條件是有個(gè)互異的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值A(chǔ)AAn第54頁(yè)/共64頁(yè)第五十五頁(yè)，共64頁(yè)。,02211 aaaAnnAEfA )(, 0)()(2211 aaann 即即).()(2211aaann ).1(niaAiii 的所有特征值的所有特征值得得.,), 2 , 1,( 可對(duì)角化可對(duì)角化時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Aaanjijijjiiji , 0)( fA令令第55頁(yè)/共64頁(yè)第五十六頁(yè)，共64頁(yè)。.)2(用用反反證證法法.)1(),(,211的特征值的特征值是是使使則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣可對(duì)角化可對(duì)角

18、化若若AnidiagAPPPAin 所以所以可知可知由由,)1(11aaiii .111111111EaaaaAPP 第56頁(yè)/共64頁(yè)第五十七頁(yè)，共64頁(yè)。,11111111EaPPaPEaPA .,)(00000對(duì)角化對(duì)角化不可不可故故矛盾矛盾這與至少有一個(gè)這與至少有一個(gè)Ajiaji 第57頁(yè)/共64頁(yè)第五十八頁(yè)，共64頁(yè)。.,0202120221為對(duì)角陣為對(duì)角陣使使求正交變換求正交變換設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣ATTTA 例9例9解解第一步求第一步求A的特征值由的特征值由 20212022 AE第58頁(yè)/共64頁(yè)第五十九頁(yè)，共64頁(yè)。, 0)2)(1)(4( . 2, 1, 4321 得得., 0)(的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxAEi 得得由由對(duì)對(duì), 0)4(, 41 xAE .1221 解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 , 042, 0232, 0223232121xxxxxxx第59頁(yè)/共64頁(yè)第六十頁(yè)，共64頁(yè)。得得由由對(duì)對(duì), 0)(, 12 xAE , 02, 022, 02323121xxxxxx.2122 解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系得得由由對(duì)對(duì), 0)2(, 23 xAE 第60頁(yè)/共64頁(yè)第六十一頁(yè)，共64頁(yè)。 , 022, 0232, 02432