培優(yōu)提升立體幾何3

1、第五講 立體幾何【例 1】 (05年武漢明心杯數(shù)學挑戰(zhàn)賽)如圖所示，一個的立方體，在一個方向上開有的孔，在另一個方向上開有的孔，在第三個方向上開有的孔，剩余部分的體積是多少？表面積為多少？【解析】 求體積：開了的孔，挖去，開了的孔，挖去；開了的孔，挖去，剩余部分的體積是：(另解)將整個圖形切片，如果切面平行于紙面，那么五個切片分別如圖：得到總體積為：求表面積：表面積可以看成外部和內(nèi)部兩部分外部的表面積為，內(nèi)部的面積可以分為前后、左右、上下三個方向，面積分別為、，所以總的表面積為(另解)運用類似于三視圖的方法，記錄每一方向上的不同位置上的裸露正方形個數(shù)：前后方向：上下方向：左右方向：總表面積為【

2、總結(jié)】“切片法”：全面打洞(例如本題，五層一樣)，挖塊成線(例如本題，在前一層的基礎(chǔ)上，一條線一條線地挖)，這里體現(xiàn)的思想方法是：化整為零，有序思考！【鞏固】（2008年香港保良局第12屆小學數(shù)學世界邀請賽）如圖，原來的大正方體是由個小正方體所構(gòu)成的其中有些小正方體已經(jīng)被挖除，圖中涂黑色的部分就是貫穿整個大正方體的挖除部分請問剩下的部分共有多少個小正方體？【解析】 對于這一類從立體圖形中間挖掉一部分后再求體積（或小正方體數(shù)目）的題目一般可以采用“切片法”來做，所謂“切片法”，就是把整個立體圖形切成一片一片的（或一層一層的），然后分別計算每一片或每一層的體積或小正方體數(shù)目，最后再把它們相加采用切

3、片法，俯視第一層到第五層的圖形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分 從圖中可以看出，第1、2、3、4、5層剩下的小正方體分別有22個、11個、11個、6個、22個，所以總共還剩下（個）小正方體【鞏固】一個由125個同樣的小正方體組成的大正方體，從這個大正方體中抽出若干個小正方體，把大正方體中相對的兩面打通，右圖就是抽空的狀態(tài)右圖中剩下的小正方體有多少個？【解析】 解法一：(用“容斥原理”來解)由正面圖形抽出的小正方體有個，由側(cè)面圖形抽出的小正方體有個，由底面圖形抽出的小正方體有個，正面圖形和側(cè)面圖形重合抽出的小正方體有個，正面圖形和底面圖形重合抽出的小正方體有個，底面圖形和側(cè)面圖形重合抽出的

4、小正方體有個，三個面的圖形共同重合抽出的小正方體有4個根據(jù)容斥原理，所以共抽出了52個小正方體，所以右圖中剩下的小正方體有73個注意這里的三者共同抽出的小正方體是4個，必須知道是哪4塊，這是最讓人頭疼的事但你可以先構(gòu)造空的兩個方向上共同部分的模型，再由第三個方向來穿過“花墻”這里，化虛為實的思想方法很重要解法二：(用“切片法”來解)可以從上到下切五層，得：從上到下五層，如圖：或者，從右到左五片，如圖：請注意這里的挖空的技巧是：先認一種方向比如：從上到下的每一層，首先都應(yīng)該有第一層的空四塊的情況，即如果挖第二層：第(1)步，把中間這些位置的四塊挖走如圖：第(2)步，把從右向左的兩塊成線地挖走(請

5、注意挖通的效果就是成線挖去)，如圖：第(3)步，把從前向后的一塊(請注意跟第二層有關(guān)的只是一塊！)挖成線！如圖：【例 2】 （2009年迎春杯高年級組復(fù)賽）右圖中的是同樣的小等邊三角形，也是等邊三角形且邊長為的2倍，是同樣的等腰直角三角形，是正方形那么，以為平面展開圖的立體圖形的體積是以為平面展開圖的立體圖形體積的 倍 【解析】 本題中的兩個圖都是立體圖形的平面展開圖，將它們還原成立體圖形，可得到如下兩圖： 其中左圖是以為平面展開圖的立體圖形，是一個四個面都是正三角形的正四面體，右圖以為平面展開圖的立體圖形，是一個不規(guī)則圖形，底面是，四個側(cè)面是，兩個斜面是對于這兩個立體圖形的體積，可以采用套模

6、法來求，也就是對于這種我們不熟悉的立體圖形，用一些我們熟悉的基本立體圖形來套，看看它們與基本立體圖形相比，缺少了哪些部分由于左圖四個面都是正三角形，右圖底面是正方形，側(cè)面是等腰直角三角形，想到都用正方體來套對于左圖來說，相當于由一個正方體切去4個角后得到(如下左圖，切去、)；而對于右圖來說，相當于由一個正方體切去2個角后得到(如下右圖，切去、) 假設(shè)左圖中的立方體的棱長為，右圖中的立方體的棱長為，則以為平面展開圖的立體圖形的體積為：，以為平面展開圖的立體圖形的體積為由于右圖中的立方體的棱長即是題中正方形的邊長，而左圖中的立方體的每一個面的對角線恰好是正三角形的邊長，通過將等腰直角三角形分成4個

7、相同的小等腰直角三角形可以得到右圖中的立方體的棱長是左圖中的立方體的棱長的2倍，即那么以為平面展開圖的立體圖形的體積與以為平面展開圖的立體圖形的體積的比為：，也就是說以為平面展開圖的立體圖形的體積是以為平面展開圖的立體圖形體積的16倍【例 3】 圖和圖是以正方形和等邊三角形為面的立體圖形的展開圖，圖中所有的邊長都相同請問：圖能圍起來的立體圖形的體積是圖能圍起來的立體圖形的體積的幾倍？ 圖 圖【解析】 首先，我們把展開圖折成立體圖形，見下列示意圖： 圖 圖對于這類題目，一般采用“套模法”，即用一個我們熟悉的基本立體圖形來套，這樣做基于兩點考慮，一是如果有類似的模型，可以直接應(yīng)用其計算公式；二是如果可以補上一塊或者放到某個模型里面，那么可以從這個模型入手我們把圖中的立體圖形切成兩半，再轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，正好放進去！我們看到圖與圖的圖形位置的微妙關(guān)系： 圖 圖由圖可見，圖這個立體的體積與圖這個被切去了8個角后的立體圖形的體積相等假設(shè)立方體的1條邊的長度是1，那么一個角的體積是，所以切掉8個角后的體積是再看圖中的正四面體，這個