帶電粒子在常梯度磁場(chǎng)中橫向運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究

1、帶電粒子在常梯度磁場(chǎng)中橫向運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究摘 要在導(dǎo)出常梯度磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的微分方程的基礎(chǔ)上，求出了微分方程的解。研究了帶電粒子在常梯度磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，確定了粒子作回旋運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件。結(jié)果表明，粒子在作回旋運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，在軸向和徑向均作簡(jiǎn)諧振蕩，可以保持粒子繞回轉(zhuǎn)軌道運(yùn)動(dòng)。粒子的橫向運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀取決于磁場(chǎng)的對(duì)數(shù)梯度,而與粒子的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。粒子的初始狀態(tài)確定其橫向運(yùn)動(dòng)的振幅。【關(guān)鍵詞】常梯度磁場(chǎng)；回旋運(yùn)動(dòng)；橫向運(yùn)動(dòng)；穩(wěn)定性條件Study on the lateral stability of charged particles in a constant gradient magneti

2、c fieldAbstractIn constant gradient magnetic field is derived the basic differential equations for the motion of charged particles in the upper, the solution of the differential equation. The stability of charged particles in constant gradient magnetic field research, determine the particle stabilit

3、y conditions of cyclotron motion. The results show that, particles in the cyclotron motion at the same time, in the axial and radial directions were simple harmonic oscillation, can keep the particles around the rotary motion. Logarithmic gradient magnetic field n in lateral motion trajectory of par

4、ticle shape depending, regardless of the initial state and the particle. The initial state of the amplitude of the transverse motion of particle is determined. Key words constant gradient magnetic field; lateral motion; stability condition 目 錄引 言41 帶電粒子在恒定均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)41.1帶電粒子在恒定電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程41.2帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)

5、動(dòng)52 帶電粒子在常梯度磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程62.1理想常梯度磁場(chǎng)分布的特點(diǎn)62.2帶電粒子在常梯度磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程72.3 軸向運(yùn)動(dòng)方程82.4 徑向運(yùn)動(dòng)方程92.5非相對(duì)論情況下帶電粒子橫向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性103.帶點(diǎn)粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)值分析113.1非相對(duì)論情況下橫向振蕩方程的通解113.2初始條件確定時(shí)橫向振蕩方程的定解123.3粒子運(yùn)動(dòng)軌道的分析134 結(jié)論17參考文獻(xiàn)18引 言 帶電粒子加速器可以給電子、質(zhì)子、輕重離子等帶電粒子加速，使它們的速度達(dá)每秒幾千公里、幾萬(wàn)公里乃至接近光速，使粒子獲得很高的能量。高能粒子是人們研究原子核、基本粒子和認(rèn)識(shí)物質(zhì)深層次結(jié)構(gòu)的重要工具。低能加速器在工業(yè)、農(nóng)業(yè)

6、、醫(yī)療衛(wèi)生等領(lǐng)域內(nèi)有廣泛的應(yīng)用，極大地改變了這些領(lǐng)域的面貌，創(chuàng)造了巨大的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。 粒子回旋加速器等加速裝置常常是將利用磁場(chǎng)將帶電粒子限制在一個(gè)圓形的軌道上運(yùn)動(dòng)，研究帶電粒子在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性是一個(gè)很有意義的課題。本文將研究帶電粒子在常梯度磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，研究粒子橫向運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。1 帶電粒子在恒定均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1.1帶電粒子在恒定電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程帶電粒子在恒定電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，將受到電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力的作用。根據(jù)牛頓第二定律，帶電粒子在恒定電磁中的運(yùn)動(dòng)方程為 （1-1） 或?qū)懗?式中為粒子的質(zhì)量，為粒子的速度矢量，為粒子的荷電量，其中是電子電荷的絕對(duì)值，為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，為磁感

7、應(yīng)強(qiáng)度矢量。在回旋加速器中粒子的軌道大多呈圓形或螺旋線(xiàn)形，所以當(dāng)討論粒子在加速器中的運(yùn)動(dòng)時(shí)常采用圓柱坐標(biāo)系。以代表軸向，以代表徑向，代表輻向。（1-1）式可寫(xiě)成三個(gè)分量的運(yùn)動(dòng)方程式 （1-2） （1-3） （1-4） （1-2）到（1-4）三個(gè)式子分別為帶電粒子在恒定電磁場(chǎng)中的徑向、輻向和軸向的運(yùn)動(dòng)方程。1.2帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)設(shè)粒子在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，（1-2）式、（1-3）式和（1-4）式中、電場(chǎng)為0，可寫(xiě)出均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程： （1-5a） （1-5b） （1-5c）在加速過(guò)程中，粒子質(zhì)量不斷增大，但在粒子的一個(gè)回旋周期內(nèi)變化極小，本文不考慮相對(duì)論效應(yīng)，取是常數(shù)。當(dāng)帶電粒子在磁場(chǎng)

8、中運(yùn)動(dòng)時(shí)將受到洛倫茲力的作用，力的大小等，其中為粒子的速度與磁場(chǎng)的方向間的夾角，力的方向垂直于磁場(chǎng)和粒子運(yùn)動(dòng)的方向。粒子在洛侖茲力的作用下作曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。如果曲率半徑保持不變，則，則由(1-5)式 (1-6)考慮到方向，求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的角頻率 (1-7)其中為粒子的回旋角頻率，這就是拉摩定理。由上可見(jiàn)，粒子的回旋頻率只與磁感強(qiáng)度和粒子的荷質(zhì)比有關(guān)，而與粒子的速度無(wú)關(guān)。(1-6)式也可寫(xiě)成，則粒子的回轉(zhuǎn)軌道半徑 (1-8)上式中負(fù)號(hào)反映了粒子回旋運(yùn)動(dòng)的方向。帶正電荷的粒子（）在磁力線(xiàn)向上的磁場(chǎng)中（）運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子回旋運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍ǎ?；在磁力線(xiàn)向下的磁場(chǎng)中（）運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子回旋運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)槟?/p>

9、時(shí)針?lè)较颍ǎ?；而帶?fù)電荷的粒子其結(jié)果相反。概括地說(shuō)，的帶電粒子，與的符號(hào)相反，的帶電粒子，與的符號(hào)相同。如果只計(jì)算軌道半徑的大小，負(fù)號(hào)可以不考慮。理想的均勻磁場(chǎng)只有軸向分量，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向可以近似的認(rèn)為是沿著半徑的切線(xiàn)方向，即。則(1-8)式可寫(xiě)成 (1-9)2 帶電粒子在常梯度磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程2.1理想常梯度磁場(chǎng)分布的特點(diǎn)在粒子加速過(guò)程中人們往往采用常梯度的磁場(chǎng)，因?yàn)閰?shù)合適的梯度磁場(chǎng)不但能控制粒子的軌道，還能使粒子聚焦。圖2-1表示典型的常梯度磁場(chǎng)磁力線(xiàn)的分布情況。圖2-1 常梯度磁場(chǎng)磁力線(xiàn)的分布理想的常梯度磁場(chǎng)分布有以下特點(diǎn)：（1）磁場(chǎng)對(duì)于軸是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的。其數(shù)學(xué)關(guān)系式可寫(xiě)成。（2）磁

10、場(chǎng)對(duì)于中心面是上下對(duì)稱(chēng)的，此中心平面稱(chēng)為磁對(duì)稱(chēng)平面，在此平面上只有，所以的平面上，在此平面外磁場(chǎng)除分量外還有分量，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示可以寫(xiě)成。（3）磁場(chǎng)軸向分量隨半徑而變化。磁場(chǎng)降落指數(shù)是表示磁場(chǎng)隨半徑變化的重要參數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 (2-1) 式中為常數(shù)。由(2-1)式可得 (2-2)所以，又稱(chēng)為磁場(chǎng)的對(duì)數(shù)梯度。(2-2)式還可以寫(xiě)成 (2-3)2.2帶電粒子在常梯度磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程 利用帶電粒子在恒定電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程（1-2）至（1-4）式，考慮，就可寫(xiě)出帶電粒子在恒定常梯度磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程 徑向運(yùn)動(dòng)方程 (2-4)輻向運(yùn)動(dòng)方程 (2-5)軸向運(yùn)動(dòng)方程 (2-6)2.3軸向運(yùn)動(dòng)方程在回旋加

11、速器中，徑向（）和軸向（）都垂直于粒子前進(jìn)的方向，所以徑向運(yùn)動(dòng)和軸向運(yùn)動(dòng)統(tǒng)稱(chēng)為橫向運(yùn)動(dòng)。研究帶電粒子在常梯度磁場(chǎng)中的橫向運(yùn)動(dòng)時(shí)，可求出一定能量的帶電粒子在理想的恒定梯度場(chǎng)中的橫向運(yùn)動(dòng)方程，并找出粒子運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件。設(shè)在中心面（）上粒子的封閉軌道半徑為，如果帶電粒子所處的軸向和徑向坐標(biāo)分別是和，則帶電粒子對(duì)封閉軌道的軸向偏離值就等于，徑向偏離值用表示。為了進(jìn)一步分析軸向運(yùn)動(dòng)方程，先求出磁場(chǎng)的徑向分量與軸向偏離值之間的關(guān)系。假設(shè)粒子軸向偏離中心面很小，將作泰勒展開(kāi)：上式中，忽略二次以上高次項(xiàng)，則 (2-7) 下標(biāo)表示在封閉軌道上的數(shù)值。根據(jù)麥克斯韋方程，忽略束流本身電荷，沒(méi)有電流，磁場(chǎng)關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)

12、，得 （2-8） 將(2-8)式代入(2-7)式，求得，再代入(2-6)式，即得 (2-9) 因?yàn)榱Ｗ虞S向和徑向偏離封閉軌道的值和都很小，所以粒子速度和之差可以忽略不計(jì)，。注意到粒子回旋角頻率，代入上式后 (2-10)式中為封閉軌道處磁場(chǎng)的軸向分量。將(2-3)式磁場(chǎng)降落指數(shù)的表達(dá)式代入上式即可得軸向振蕩方程 (2-11) 2.4徑向運(yùn)動(dòng)方程 假設(shè)粒子偏離封閉軌道很小，可近似地認(rèn)為 ，則（1-5a）可寫(xiě)成 (2-12) 式中是粒子軌道半徑，粒子徑向偏離“封閉軌道”半徑的值為，所以式中。將徑向運(yùn)動(dòng)方程(2-12)等式右邊的兩項(xiàng)作如下的演變 (2-13)在封閉軌道附近，粒子在處的軸向磁場(chǎng)可寫(xiě)成 (

13、2-14) 是粒子軌道偏離值為處的磁場(chǎng)軸向分量的變化量。(2-14)式可寫(xiě)成將(2-3)式磁場(chǎng)降落指數(shù)的表達(dá)式代入上式即可得到 (2-15) 將(2-13)式和(2-14)式代入粒子徑向運(yùn)動(dòng)方程(2-12)式得 (2-16)已知，并代入上式，則 (2-17) 上式即是徑向振蕩方程。 2.5非相對(duì)論情況下帶電粒子橫向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性粒子在注入和加速過(guò)程中總是要偏離封閉軌道的。當(dāng)粒子偏離封閉軌道時(shí)，如果能產(chǎn)生一個(gè)把粒子拉回來(lái)的磁場(chǎng)力，則粒子的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。反之，則不穩(wěn)定。從橫向振蕩方程（2-11）式和（2-17）式可以清楚地看出粒子橫向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件。在（2-11）式中，、永遠(yuǎn)是正值，要想該方程有振蕩

14、解，必須。因此軸向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件是。滿(mǎn)足此條件時(shí)，軸向力的方向才與粒子偏離封閉軌道的方向相反。同理，由（2-17）式可知，徑向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件應(yīng)為，即。所以，橫向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件是。這種滿(mǎn)足條件的梯度磁場(chǎng)，它的磁力線(xiàn)向外彎曲（見(jiàn)圖2-1），人們形象地稱(chēng)之為桶形場(chǎng)或鼓形場(chǎng)。在這種梯度磁場(chǎng)中，正負(fù)帶點(diǎn)粒子的軸向運(yùn)動(dòng)都是穩(wěn)定性的。相反，如果磁場(chǎng)軸向分量隨半徑加大而增加，即，則磁場(chǎng)的磁力磁線(xiàn)形狀向內(nèi)彎曲，和的方向都與上述的通形場(chǎng)相反，軸向力是散焦力。帶點(diǎn)粒子在這種磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)將是不穩(wěn)定的。下面定性分析和的兩種不同情況帶電粒子橫向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。1）： 當(dāng)粒子軌道半徑時(shí)，在軌道半徑處勞侖茲力小于粒子做圓周運(yùn)動(dòng)

15、所要求的向心力，將增大向靠攏；而當(dāng)粒子軌道半徑時(shí)，在軌道半徑處勞侖茲力大于粒子做圓運(yùn)動(dòng)所要求的向心力，將減小向靠攏。因此，在的情況下，徑向運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。2）： 當(dāng)粒子軌道時(shí)，在軌道半徑處，軌道收縮，粒子會(huì)繼續(xù)遠(yuǎn)離封閉軌道半徑 ；而當(dāng)粒子軌道時(shí)，在軌道半徑處，軌道擴(kuò)張，粒子將繼續(xù)遠(yuǎn)離封閉軌道半徑。所以在的情況下，徑向運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。綜上所述，要想使梯度磁場(chǎng)既能控制粒子的運(yùn)動(dòng)軌道又能對(duì)粒子聚焦，關(guān)鍵問(wèn)題是選擇合適的磁場(chǎng)降落指數(shù)，也就是在設(shè)計(jì)磁鐵時(shí)要精確的計(jì)算磁極面的形狀 。3.帶點(diǎn)粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)值分析3.1非相對(duì)論情況下橫向振蕩方程的通解在非相對(duì)論情況下，質(zhì)量是常數(shù)。(2-11)式和(2-17)

16、式可改寫(xiě)成 以上兩式是簡(jiǎn)諧振蕩方程。因此軸向和徑向振蕩方程的解為： (3-1) (3-2) 和分別是軸向和徑向振動(dòng)的角頻率。軸向自由振蕩頻率徑向自由振蕩頻率為粒子沿封閉軌道的回轉(zhuǎn)頻率。軸向自由振蕩周期 (3-3) 徑向自由振蕩周期 (3-4)是粒子沿封閉軌道的回轉(zhuǎn)周期。通過(guò)(3-3)式和(3-4)式可以看出粒子沿軌道旋轉(zhuǎn)一周，橫向振蕩不到一次。3.2初始條件確定時(shí)橫向振蕩方程的定解 設(shè)時(shí)，粒子的軸向偏離值為，徑向偏離值為。并設(shè)初始時(shí)粒子的速度為與軌道平面的夾角為，而在軌道平面內(nèi)與軌道切線(xiàn)的夾角為。因此，粒子的軸向初速度為徑向初速度為由初始條件 (3-5) (3-6)根據(jù)(3-5)式和(3-6)

17、式，我們可以解出因?yàn)槌跏计x值很小，所以，則 (3-7) (3-8)同理可得 (3-9) (3-10)軸向振蕩和徑向振蕩的振幅比 (3-11)若時(shí)，粒子正好處在回轉(zhuǎn)軌道上，則，那么(3-11)式可以寫(xiě)成 (3-12)軸向振蕩的頻率和徑向振蕩的頻率比 (3-13)可以看出軸向振蕩和徑向振蕩的振幅比與頻率比是互為倒數(shù)的關(guān)系。3.3粒子運(yùn)動(dòng)軌道的分析令，則而1） 粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場(chǎng)參數(shù)n的關(guān)系用Mathematics繪出的粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場(chǎng)參數(shù)n的關(guān)系如圖3-1所示。圖中取，分別取，。由圖可見(jiàn)，由于粒子軸向、徑向的振動(dòng)頻率的比與有關(guān)，所以不同的粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡不同，呈現(xiàn)為李薩如圖形。

18、(a) (b) (c) (d) 圖3-1初速度沿軌道切向時(shí)，粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場(chǎng)參數(shù)n的關(guān)系當(dāng)粒子初始的速度與圓軌道相切時(shí)時(shí)，粒子振蕩的振幅與無(wú)關(guān)。但當(dāng)粒子初始的速度不在圓軌道的切線(xiàn)方向時(shí)，粒子振蕩的振幅與有關(guān)。圖3-2給出了， 時(shí)，粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡。（a） （b） 圖3-2初速度偏離軌道切向時(shí)，粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場(chǎng)參數(shù)n的關(guān)系2） 粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與初速度方向的關(guān)系圖3-3給出了不同初速度方向情況下粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡。圖中取，分別取，。由圖可見(jiàn)，橫向振蕩的振幅與粒子初速度的偏向角有關(guān)，橫向振蕩的振幅隨偏向角的增大而增大，而粒子運(yùn)動(dòng)軌道形狀與偏向角無(wú)關(guān)。圖3-3 粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡

19、與初速度方向的關(guān)系（；）3） 粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與初始位置的關(guān)系圖3-4給出了不同初始位置時(shí)粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡。圖中取，分別取、，即。由圖可見(jiàn)，橫向振蕩的振幅與粒子初始位置也有關(guān)，橫向振蕩的振幅隨初始位置的的增大而增大，而粒子運(yùn)動(dòng)軌道形狀也與初始位置無(wú)關(guān)。圖3-4粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與初始位置的關(guān)系（；）4) 運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡三維圖 圖3-5給出了粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的3維圖，圖中取，分別取。從圖中可看出，粒子在回旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，軸向與徑向都有振蕩，但始終都在回轉(zhuǎn)軌道的附近運(yùn)動(dòng)。 圖3-5 粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的三維圖4 結(jié)論本文研究了帶電粒子在常梯度磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。導(dǎo)出了常梯度磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的微分方程，并求出了微分方程的解。確定了粒子作回旋運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件，并數(shù)值分析了帶電粒子橫向運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。結(jié)果表明，粒子在作回旋運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，在軸向和徑