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圓環(huán)形電流的磁場(chǎng)分布福建省石獅市石光中學(xué) 陳龍法摘 要 本文詳細(xì)推算出圓環(huán)形電流的磁場(chǎng)分布（包括磁標(biāo)勢(shì)、磁感應(yīng)強(qiáng)度），證明了圓電流平面上圓內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為r的單調(diào)增函數(shù)，且在圓心處磁感應(yīng)強(qiáng)度有極小值。設(shè)圓環(huán)形電流強(qiáng)度為I，圓半徑為R0，以圓心為原點(diǎn)，過圓心垂直于圓面的軸為極軸，建立球坐標(biāo)系。如圖所示。用半徑為R0的球面把整個(gè)空間分成兩個(gè)區(qū)域，在這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)分別滿足拉普拉斯方程(r)roR0 （r<R0）， （r>R0）由于具有軸對(duì)稱性，磁標(biāo)勢(shì)與方位角無關(guān)，所以滿足邊界條件， 的通解可取為： （r<R0） （r>R0） r=R0的球面上，滿足邊值關(guān)系： 解上列式得： 其中，面電流密度，I是圓環(huán)中的電流強(qiáng)度 。可按連帶勒讓德函數(shù)展開： 又 ， ， 于是式可化為：于是得到系數(shù)滿足的方程： 解式，當(dāng)n=2k時(shí)，有： 這是關(guān)于的齊次方程組，其系數(shù)行列式所以方程組只有零解，即 當(dāng)n=2k+1時(shí)，有： 解得： 由及式，得到球內(nèi)外的磁標(biāo)勢(shì)： （r<R0） （r>R0） 于是球內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： （r<R0） （r>R0） 根據(jù)式，當(dāng)時(shí)，利用， 便得到圓電流平面上圓內(nèi)和圓外的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： （r<R0） (r>R0) 其中 ， 從式知，故圓電流平面上圓內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為r的單調(diào)增函數(shù)。當(dāng)r=0時(shí)，為極小，有，這正是用畢奧薩伐爾

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