中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：對(duì)三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題的探究

1、對(duì)三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題的探究題目 一張等腰三角形紙片，底邊長(zhǎng) 15cm,底邊上的高長(zhǎng)22. 5 cm.現(xiàn)沿底邊依次從下 往上裁剪寬度均為 3 cm的矩形紙條，如圖1所示.已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這 張正方形紙條是（）（A）第4張（B）第5張（C）第6張（D）第7張分析根據(jù)相似三角形的相似比求得頂點(diǎn)到這個(gè)正方形的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的寬求得結(jié) 果.解已知剪得的紙條中有一張是正方形，則正方形中平行于底邊的邊是3,所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可設(shè)從頂點(diǎn)到這個(gè)正方形的線段為x,一 3 x則3 ，解得x 4.5,1522.5所以另一段長(zhǎng)為22. 5-4. 5=18.因?yàn)?8+3=6,所以是第6張.點(diǎn)評(píng) 本

2、題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用以原題為基礎(chǔ)，稍作改變，可進(jìn)行逐級(jí)延伸與拓展引申 如圖2,在Rt ABC中， C 90 ,AC 4,BC 3 .四邊形DEFG為 ABC的內(nèi)接正方形，求正方形的邊長(zhǎng)解析 作CN AB ,再根據(jù)GF AB ,可知 CGF s CAB ,由平行得到兩對(duì)同位 角相等，進(jìn)而得到兩三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于 x的方程，即可求出正方 形的邊長(zhǎng).在圖2中作CN AB ,交CF于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N .在Rt ABC中,:AC 4,BC 3, AB 5,CN ；GFAB, CGF s cab, 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,12.5CM GFCN AB1

3、2 x則12y60 x .37變式1如圖4 ,ABC內(nèi)有并排的兩個(gè)相等的正方形，且它們組成的矩形內(nèi)接于ABC ,求正方形的邊長(zhǎng)A DER圖4解析 在圖5中作CN AB ,交GF于點(diǎn)M ,交AB于點(diǎn)N .；GFAB, CGF s CAB,設(shè)每個(gè)正方形邊長(zhǎng)為 x,125 x 2x60xx125 ，49.5CM GFCN AB圖5變式2如圖6 , ABC內(nèi)有并排的三個(gè)相等的正方形，且它們組成的矩形內(nèi)接于ABC ,求正方形的邊長(zhǎng)解析作CNAB ,交GF于點(diǎn)M ,交AB于點(diǎn)N ,易知,CGFs CAB；根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比，同理可求出正方形的邊長(zhǎng)為60:x 61變式3如圖7,按前面的規(guī)律，當(dāng)有 n個(gè)

4、相等的正方形時(shí)，探求正方形的邊長(zhǎng) 解析設(shè)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 x,同理12 x 得:"5一125變式4nx ，則x56012n 25如圖8,直角 ABC中，從左向右依次作正方形NDMC、MKEH、HPFG ,若NDMC、MKEH的邊長(zhǎng)分別為m、n，請(qǐng)你用含m、n代數(shù)式表示HPFG的邊長(zhǎng).解如圖9所示，根據(jù)條件可以得到DKE s EPF ,DK:PE KE:PF.而 DK m n,FG c, PE n c,PF c,2(m n):(n c) n:c, n mc,正方形HPFG的邊長(zhǎng)是.m評(píng)注 一題多變，是基于“原題”之上的多變，在“繼承”原題的部分條件或結(jié)論的同 時(shí)，還應(yīng)將“原題”的分析

5、與求解的歷程適度延續(xù)，在知識(shí)的應(yīng)用、技能的訓(xùn)練或思想的滲 透等方面應(yīng)略高于原題.所以，設(shè)計(jì)好基于“原題”的變式題，將有利于提高分析問(wèn)題和解 決問(wèn)題的能力.拓展 如圖10,在銳角三角形 ABC中，BC=12 , ABC的面積為48, D,E分別是邊AB, AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(D不與A,B重合)，且保持DEBC,以DE為邊，在點(diǎn) A的異 側(cè)作正方形DEFG .(1)當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，求正方形 DEFG的邊長(zhǎng)；(2)設(shè)DE x, ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為 y ,試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系解析（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，如圖10,過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高AM , 交

6、DE于N ,垂足為M .；Sabc 18, BC 12, AM 8.11I DE / BC, ADE s ABC,DE AN.BC AM而 AN AM MN AM DE ,DE 8 DE /口 2,解之得 DE =4. 8.128當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為4. 8.(2)分兩種情況：當(dāng)正方形DEFG在 ABC的內(nèi)部時(shí)，如圖9, ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形 DEFG的面積.2* DE x, y x ,此時(shí)x的范圍是0 x 4.8;當(dāng)正方形DEFG的一部分在 ABC的外部時(shí)，如圖10,設(shè)DG與BC交于點(diǎn)Q,EF與BC交于點(diǎn)P, ABC的高AM交DE

7、于N .D DE x,DE/BC,ADEs ABC,即 DE 處.BC AM而 AN AM MN AM EP,x 8 EP1282解得EP 8 -x. 3、，2所以 y x(8 x), 3r22即 y - x 8x, 33 一由題意，x 4.8,且x ,所以 4.8 x 12.因此ABC與正方形DEFG重疊部分的面積需分兩種情況討論 ：當(dāng)0 x 4.8時(shí)， ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為 4. 82=23. 04 ；, 一 一 ，一，2 2當(dāng) 4.8 x 12時(shí)，因?yàn)?y -X2 8x,3所以當(dāng)x8 6時(shí)，ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為二2（1）次函數(shù)的最大值為 -62 8 6 24. 3所以， ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為 24.點(diǎn)評(píng)本題主要考查了二次函數(shù)，平行線以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，要根據(jù)題意，得到二次函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案變式型的數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計(jì)是一種思維廣度的訓(xùn)練，在這種思維廣度訓(xùn)