第七單元數(shù)學廣角

1、第七單元數(shù)學廣角植樹問題,本冊的數(shù)學廣角的內容是植樹問題。解決植樹問題的思想方法是實際生活中應用比較廣泛的數(shù)學思想方法。在“數(shù)學廣角植樹問題”的教學中，教師要引導學生通過觀察、猜測、試驗、推理等活動，初步體會解決植樹問題的思想方法(模型思想)，培養(yǎng)學生從實際問題中探索解決問題有效方法的能力。在教學植樹問題時，教師要引導學生根據(jù)實際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學模型的過程，幫助學生積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，提高學生解決實際問題的能力。)第1課時兩端都栽的植樹問題)(這是邊文，請據(jù)需要手工刪加)教材第106頁的內容。1建立并理解在線段上植樹(兩

2、端都栽)的情況中“棵數(shù)間隔數(shù)1”的數(shù)學模型。2利用線段圖理解“點數(shù)間隔數(shù)1”、“總長間隔數(shù)×間距”等間隔數(shù)、點數(shù)、總長、間距之間的關系，解決生活中的實際問題。重點：建立并理解“點數(shù)間隔數(shù)1”的數(shù)學模型。難點：培養(yǎng)用畫線段圖的方法解決問題的能力，并能熟練地掌握這種方法。課件。師：哪位同學知道植樹節(jié)是在哪一天？(3月12日。)在這一天的植樹活動中，有同學遇到了這樣一個問題。(課件出示教材第106頁例1。)師：你能利用所學的知識解決這個問題嗎？生1：20棵，每隔5 m栽一棵，共栽100÷520(棵)。生2：我認為是21棵，因為題目中寫著“兩端要栽”，所以要再加1棵。師：對于這個問

3、題，同學們有不同的答案，那么哪一個結果是正確的呢？這節(jié)課我們一起來探討這個問題。1師：可以用怎樣的方法進行檢驗呢？(畫線段圖。)那我們可以在草稿本上試一試。你遇到了什么困難？生：100 m太長了，不太好畫。(追問：那我們該怎么辦？)生：可以先用簡單的數(shù)試一試。2師：先看看20 m的距離，在兩端都栽的情況下可以栽幾棵樹，在草稿本上畫一畫。課件出示：師：說說你是怎么想的？生：20÷54，20 m被平均分成4段，因為兩端要栽，所以要栽5棵樹。)(這是邊文，請據(jù)需要手工刪加)師：再畫一畫，25 m可以栽幾棵樹？(學生操作。)誰來說說你的想法？生：25÷55，就是把25 m平均分成了

4、5段，因為兩端都要栽，所以要栽6棵樹。3師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？生：棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。(追問：可以用怎樣的式子表示？)棵數(shù)間隔數(shù)1。師：誰能說說為什么要“1”？(因為兩端都要栽，所以栽樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1。)你能用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決例1的問題嗎？(指名回答，分析講解。)生：間隔數(shù)1棵數(shù)，所以100÷520(棵)，20121(棵)。歸納小結：在解決較復雜或數(shù)據(jù)較大的問題時，可以先從簡單的數(shù)據(jù)出發(fā)得出規(guī)律，然后將規(guī)律運用于復雜問題進行解決。1教材第107頁“做一做”第1題。師：讀完這個題目，你覺得有哪些地方需要特別引起注意？生1：單位不統(tǒng)一，要先進行轉化再計算。生2：街道的兩旁都要安裝路燈。

5、師：你能通過畫圖的方法表示出“兩旁”嗎？在計算時該怎樣體現(xiàn)？(先算出一邊的路燈的數(shù)量，再乘以2。)學生練習，指名回答。師：2000÷50算的是什么？“間隔數(shù)1”說明了什么？(兩端都要安裝。)2教材第109頁“練習二十四”第1題。師：仔細讀題，認真思考，說說你對這個題目的理解。引導得出：要求一共栽多少棵銀杏樹，實際就是求梧桐樹的間隔數(shù)。由“棵數(shù)間隔數(shù)1”可得“間隔數(shù)棵數(shù)1”。師：可以用怎樣的方法驗證結果是否正確？(可以先用比較簡單的例子，通過畫線段圖的方法進行驗證。)與這題有關的簡單的例子，我們只要張開一只手。五個手指相當于題目中的什么？(梧桐樹)每兩個手指之間栽一棵(銀杏樹)，可以栽

6、幾棵？你還有其他的方法嗎？師：通過這一節(jié)的學習，你有什么收獲？跟大家交流一下。根據(jù)學生回答，強調：1解決兩端都要栽的植樹問題的數(shù)學模型：棵數(shù)間隔數(shù)1。2當遇到較為復雜的數(shù)學問題時，可以先從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后應用找到的規(guī)律來解決原來的問題。直接出示例題的情境，通過學生的嘗試解答，使學生經(jīng)歷分析思考的整個過程，感受“猜測驗證”的學習方法。在實際操作中發(fā)現(xiàn)問題有助于激發(fā)學生的思考，從而深刻地體會“從簡單事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用此規(guī)律解決較復雜問題”的數(shù)學思想。 “畫示意圖抽象出線段圖不畫圖”的教學過程，體現(xiàn)了從具體到抽象、從特殊到一般的設計理念，也正是在這一進程中，通過積極有效的教學活動，使學

7、生建立起“一條線段兩端都栽”這類植樹問題的數(shù)學模型。第2課時兩端都不栽的植樹問題教材第107頁的內容。1建立并理解在線段上植樹(兩端都不栽)的情況中“棵數(shù)間隔數(shù)1”的數(shù)學模型。2通過畫線段圖初步培養(yǎng)學生探索解決問題的有效方法的能力，嘗試用植樹問題的模型解決實際生活中的簡單問題，培養(yǎng)學生的應用意識。)(這是邊文，請據(jù)需要手工刪加)重點：建立并理解“棵數(shù)間隔數(shù)1”的數(shù)學模型。難點：培養(yǎng)學生探索解決問題的有效方法的能力。課件。師：上節(jié)課，我們學習了植樹問題中兩端都栽的情況，誰能說一說是用怎樣的數(shù)學模型解決這類問題的？(棵數(shù)間隔數(shù)1。)你能快速地完成下面這道題嗎？準備題：綠化隊要在相距60 m的小路一

8、邊植樹(兩端都栽)，相鄰兩棵樹之間的距離是3 m。一共要栽多少棵樹？指名回答：60÷3121(棵)師：再來看看這一題(課件出示教材第107頁例2)。認真思考，這兩個題目有什么不同？例2又該如何解答呢？這節(jié)課我們來研究另一種植樹問題。1師：準備題和例2有什么不同？同桌之間可以互相交流。(指名匯報。)生1：準備題是一邊，例2是小路兩旁。(追問：在圖上該如何表示？)就是有兩條線段。(怎么計算？)只要先算出一邊的樹木數(shù)量，再“×2”就可以了。生2：準備題是兩端都栽，例2是兩端不栽。(追問：你能通過示意圖說說為什么嗎？)因為小路的兩端都是場館。2師：例2該如何解決呢？你想到了什么方法

9、？(可以先從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。)請你在草稿本上試一試。指名回答，過程預設：(1)先畫一個簡單的線段圖看看，以20 m長的線段為例，在兩端都栽的情況下“棵數(shù)間隔數(shù)1”，需要栽5棵樹。(2)同樣長的線段，在兩端都不栽的情況下只需要栽3棵樹，也就是說栽的棵數(shù)比間隔數(shù)少1。(教師追問：可以用怎樣的數(shù)學模型表示？)棵數(shù)間隔數(shù)1。3師：你能用不同的方法試一試，對這一數(shù)學模型進行驗證嗎？(學生操作，交流發(fā)現(xiàn)。)運用這一模型，例2可以怎樣解答？生：60÷3119(棵)，19×238(棵)。教師追問：為什么要“×2”？(因為小路兩旁都要栽樹。)4教師小結：我們一起來回顧一下這個

10、題目的解決過程。通過與例1中“兩端都栽”的植樹問題相比較，采用同樣的方法得出了“兩端都不栽”的植樹問題的數(shù)學模型，即棵數(shù)間隔數(shù)1。1教材第109頁第6題。生：32÷417(盆) 師：如果改為兩端都放，該怎么算？生：32÷419(盆)師：這兩種不同的擺法相差幾盆？(2盆)為什么？(兩端都放時，盆數(shù)間隔數(shù)1；兩端都不放時，盆數(shù)間隔數(shù)1。)2一根木頭長10 m，要把它平均分成5段。每鋸下一段需要8分鐘，鋸完這根木頭一共要花多少分鐘？師：這個問題和我們學習的植樹問題有關聯(lián)嗎？屬于植樹問題中的哪一種情況？可以先用畫圖的方法試一試。學生練習，分析講評。10÷514(次)8&#

11、215;432(分鐘) 答：鋸完這根木頭一共要花32分鐘。師：植樹問題在生活中的應用非常廣泛，在解決這類問題時，應該先判斷出屬于哪一種情況，再根據(jù)題意列式解答。例2是在例1的基礎上教學的，對已學知識的復習是為了找準知識遷移的“原點”，通過比較分析，使學生更為深刻地理解題意，通過教師的引導，促使學生自主探索，引導“用畫圖的方法表示出來”， 經(jīng)歷了問題解決的整個過程，對數(shù)學思想的滲透也在知識的遷移和轉化過程中得到了體現(xiàn)，對于培養(yǎng)學生良好的審題習慣具有非常重要的作用。教學時還重點突出了對“先從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再將規(guī)律應用于問題的解決”這一數(shù)學方法的遷移。第3課時封閉曲線上的植樹問題教材第108

12、頁的內容。1運用轉化的方法，使學生理解在一條首尾封閉的曲線上植樹所需棵數(shù)與間隔數(shù)“一一對應”的數(shù)學模型。2進一步培養(yǎng)學生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力以及抽取數(shù)學模型的能力。重點：理解在一條首尾相接的封閉曲線上植樹的基本數(shù)學模型。難點：培養(yǎng)學生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力。課件。)(這是邊文，請據(jù)需要手工刪加)師：在前面兩節(jié)課中，我們共同探討了在一條線段上植樹的問題，還運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決了許多生活中的實際問題。那么，誰來幫助大家一起回顧這些知識？生：在一條線段上植樹可以分成三種情況：兩端都栽時，棵數(shù)比間隔數(shù)多1；兩端都不栽時，棵數(shù)比間隔數(shù)少1；

13、一端栽一端不栽時，棵數(shù)和間隔數(shù)相等。師：在解決復雜問題時，我們是怎么做的？生：可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再應用找到的規(guī)律來解決原來的問題。)(這是邊文，請據(jù)需要手工刪加)師：同學們對已學知識掌握得很好！今天這節(jié)課，我們要一起來研究植樹問題中的另一種情況。1課件出示教材第108頁例3。師：這道題與前面學習的植樹問題相比，有什么相同點和不同點？生：不同之處在于前面學習的是在線段上植樹的問題，這道題是在一個圓形周圍植樹。(教師追問：線段是怎樣的？圓形又是怎樣的？)線段是直的，圓形是一條曲線。(教師追問：圓形是一條什么樣的曲線？) 逐步引導得出：圖形是一條首

14、尾相接的封閉曲線。生：相同之處都是已知長度和間隔距離。2師：你能聯(lián)系已經(jīng)學過的知識，自主解決“一共要栽多少棵樹”這個問題嗎？學生獨立思考，討論匯報。師：大家想到了用什么方法來解決問題？(畫圖。)120 m的長度太長了，怎么辦？(先用簡單的數(shù)據(jù)試一試。)生：以周長為40 m的圓為例，通過畫圖得知，能栽4棵樹。師：如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？生：相當于在線段上植樹的問題中“一端栽一端不栽”的情況。師：利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能解決例3的問題嗎？生：120÷1012(棵)。3師：誰能完整地概括一下剛才的發(fā)現(xiàn)？總結：在一條首尾相接的封閉曲線上植樹，所需棵數(shù)與間隔數(shù)“一一對應”，相當于在線段上植樹問題中的“一端栽一端不栽”的情況。1教材第108頁“做一做”。師：你能利用題目中的數(shù)據(jù)編出一道在線段上植樹(一端栽一端不栽)的問題嗎？學生練習，交流匯報。2一條項鏈長60 cm，每隔5 cm有一顆水晶。這條項鏈上共有多少顆水晶？師：這題與我們學習的植樹問題的知識有關聯(lián)嗎？屬于哪一種情況？(在一條首尾相接的封閉曲線上植樹。)你能說說在這道題中誰與誰“一一對應”嗎？(水晶的顆數(shù)與間隔數(shù)。)60÷512(顆) 答：這條項鏈上共有12顆水晶。通過這一