MATLAB在數(shù)值分析中的應(yīng)用

1、1牛頓插值代碼%1-1 homework of someone （ID）%創(chuàng)建插值原始數(shù)據(jù)x,yx=-1:0.2:1;y=1./(1+9.*x.2);%讀取插值維數(shù)n = length(x);%定義需要的變量c(1:n) = 0.0;syms t;f = y(1);y1 = 0;l = 1;%循環(huán)生成插值多項(xiàng)式for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f); y = y1; %化簡(jiǎn) f = collect

2、(f); f = vpa(f, 6);end%輸出ff%畫(huà)圖sym p;q=1/(1+9*p2);ezplot(q,-1,1)%標(biāo)題hold onezplot(f,-1,1)title('牛頓插值 someone （ID）') 牛頓插值運(yùn)行截圖：三次樣條插值代碼%1-1 homework of someone （ID）%創(chuàng)建插值原始數(shù)據(jù)x0,y0x0=-1:0.2:1;y0=1./(1+9.*x0.2);yy=spline(x0,y0);%讀取插值維數(shù)n=length(x0);%創(chuàng)建符號(hào)變量xsyms xfor i=1:n-1 y=yy.coefs(i,1)*(x-x0(i)3

3、+yy.coefs(i,2)*(x-x0(i)2+yy.coefs(i,3)*(x-x0(i)1+yy.coefs(i,4);%因三次樣條插值與原圖過(guò)于相似，為避免重合，分列在兩張圖里面 subplot(2,1,1) ezplot(y,x0(i),x0(i+1) title('someone （ID） 三次樣條') hold on axis(-1 1 0 1)endy=1/(1+9*x2);subplot(2,1,2)ezplot(y,-1,1);title('someone （ID） 三次樣條')三次樣條插值截圖因三次樣條插值與原圖過(guò)于相似，為避免重合，分列在

4、兩張圖里面2二次勒讓德逼近代碼%2 homework of someone （ID）%定義逼近原始函數(shù)%創(chuàng)建符號(hào)變量xsyms x;%定義目標(biāo)函數(shù),并作等值變換使得自變量的區(qū)間為-1,1azf=sin(0.5*pi+0.5*pi*x);%定義逼近次數(shù)n=2;%定義Legender多項(xiàng)式f1=1 x 1.5*x2-0.5;%通過(guò)循環(huán)依次計(jì)算系數(shù)for i=1:n+1 g(i)=f1(i)*f; temp(i)=int(g(i),-1,1); a(i)=(2*i-1)*temp(i)/2;end%累加得出插值多項(xiàng)式pf=0;for i=1:n+1 pf=pf+a(i)*f1(i);end%化簡(jiǎn)，取

5、六位有效數(shù)字pf=simplify(pf);pf=vpa(pf,6);ezplot(pf,0,1)hold onezplot(f,0,1)title('someone （ID） 逼近')二次勒讓德逼近截圖3-1牛頓插值代碼：%3-1 homework of someone （ID）%創(chuàng)建插值原始數(shù)據(jù)x,yx=-5:5;y=1./(1+x.2);%讀取插值維數(shù)n = length(x);%定義需要的變量c(1:n) = 0.0;syms t;f = y(1);y1 = 0;l = 1;%循環(huán)生成插值多項(xiàng)式for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j

6、)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f); y = y1; %化簡(jiǎn) f = collect(f); f = vpa(f, 6);end%畫(huà)圖syms p;q=1/(1+p2);ezplot(q,-5,5)%標(biāo)題hold onezplot(f,-5,5)title('牛頓插值 someone （ID）')牛頓插值截屏：3-2拉格朗日插值代碼：%3-2 homework of someone （ID）%創(chuàng)建插值原始數(shù)據(jù)p=0:20;x=5*cos(2*p+1)*

7、pi/42);y=1./(x.2+1);%創(chuàng)建符號(hào)變量syms t;n = length(x);f = 0.0;%循環(huán)生成基函數(shù)，分兩段以繞過(guò)xi=xjfor(i = 1:n) l = y(i); for(j = 1:i-1) l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; for(j = i+1:n) l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; f = f + l;%化簡(jiǎn) simplify(f);end; %將插值多項(xiàng)式展開(kāi)f = collect(f); %將插值多項(xiàng)式的系數(shù)化成6位精度的小數(shù)f = vpa(f,6); %輸出ff%畫(huà)圖 ezplot(f,-5

8、,5);%標(biāo)題title('拉格朗日 someone （ID）')hold onsyms s;q=1/(s2+1);ezplot(q,-5,5)拉格朗日插值截圖3-3分段線性插值代碼：%3-3 homework of someone （ID）%創(chuàng)建插值原始數(shù)據(jù)x0,y0x0=-5:5;y0=1./(1+x0.2);%讀取插值維數(shù)n = length(x0);%生成符號(hào)變量xsyms x;%循環(huán)生成每段直線for i=1:n-1;%斜率 k=(y0(i)-y0(i+1)/(x0(i)-x0(i+1);%生成插值函數(shù) y=k*(x-x0(i)+y0(i);%畫(huà)圖 ezplot(y,

9、x0(i),x0(i+1);%設(shè)置坐標(biāo)軸 axis(-5 5 0 2); hold onend%畫(huà)原圖syms p;p=1/(1+x2);ezplot(p,-5 5);title('someone 分段線性 （ID）');分段線性插值截圖3-5三次保形（埃爾米特）插值代碼：%3-4 homework of someone （ID）%創(chuàng)建插值原始數(shù)據(jù)x0,y0x0=-5:5;y0=1./(1+x0.2);yy=pchip(x0,y0);%讀取插值維數(shù)n=length(x0);%創(chuàng)建符號(hào)變量xsyms xfor i=1:n-1 y=yy.coefs(i,1)*(x-x0(i)3+y

10、y.coefs(i,2)*(x-x0(i)2+yy.coefs(i,3)*(x-x0(i)1+yy.coefs(i,4);%因三保形條插值與原圖過(guò)于相似，為避免重合，分列在兩張圖里面 subplot(2,1,1) ezplot(y,x0(i),x0(i+1) title('someone （ID） 三次保形') hold on axis(-5 5 0 1)endy=1/(1+x2);subplot(2,1,2)ezplot(y); axis(-5 5 0 1)title('someone （ID） 三次保形')三次保形（埃爾米特）插值截屏：3-5三次樣條插值代碼

11、：%3-5 homework of someone （ID）%創(chuàng)建插值原始數(shù)據(jù)x0,y0x0=-5:5;y0=1./(1+x0.2);yy=spline(x0,y0);%讀取插值維數(shù)n=length(x0);%創(chuàng)建符號(hào)變量xsyms xfor i=1:n-1 y=yy.coefs(i,1)*(x-x0(i)3+yy.coefs(i,2)*(x-x0(i)2+yy.coefs(i,3)*(x-x0(i)1+yy.coefs(i,4);%因三次樣條插值與原圖過(guò)于相似，為避免重合，分列在兩張圖里面 subplot(2,1,1) ezplot(y,x0(i),x0(i+1) title('so

12、meone （ID） 三次樣條') hold on axis(-5 5 0 1)endy=1/(1+x2);subplot(2,1,2)ezplot(y); axis(-5 5 0 1)title('someone （ID） 三次樣條')三次樣條插值截屏：因三次樣條插值與原圖過(guò)于相似，為避免重合，分列在兩張圖里面4圖像放大原理思路在進(jìn)行圖像放大處理時(shí)，需要把原有的像素點(diǎn)拆開(kāi)，在原有的像素點(diǎn)之間插入新的像素點(diǎn)，并計(jì)算新的像素點(diǎn)的顏色，為保證圖片比例協(xié)調(diào)，一般對(duì)其縱橫兩向同時(shí)放大，此時(shí)如果在圖片中取出一個(gè)3*3像素大小的矩陣，則其四角的元素為已知的。其余元素均為未知。（如圖

13、所示）如何計(jì)算出上述圖示的未知量是圖像放大算法成功的關(guān)鍵，可以采用雙線性插值的方法進(jìn)行計(jì)算，也即在行方向和列方向分別進(jìn)行一次線性插值，具體的流程為：步已知像素點(diǎn)可求像素點(diǎn)11,1,1,31,213,1,3,33,221,1,3,12,121,2,3,22,221,1,3,22,3圖像放大代碼%4 homework of someone （ID）%讀取圖片“4像素.jpg”到矩陣AA=imread('C:UsersEdimionDesktop學(xué)習(xí)文檔4像素4像素.jpg');%讀取圖片的大小a,b,c=size(A);%創(chuàng)建放大后尺寸在矩陣 B=zeros(2*a-1,2*b-1

14、,c);%通過(guò)循環(huán)語(yǔ)句把原來(lái)圖片中的像素點(diǎn)間隔布置到放大后的矩陣中去for i=1:c; for j=1:a; for k=1:b; B(2*j-1,2*k-1,i)=A(j,k,i); end endend%首先對(duì)行進(jìn)行線性插值for i=1:c; for j=1:2*a-1; for k=1:b-1; B(j,2*k,i)=0.5*B(j,2*k+1,i)+0.5*B(j,2*k-1,i); end endend%然后在列方向插值for i=1:c; for k=1:2*b-1; for j=1:a-1; B(2*j,k,i)=0.5*B(2*j-1,k,i)+0.5*B(2*j+1,k,

15、i); end endendimwrite(B,'C:UsersEdimionDesktop學(xué)習(xí)文檔4像素4像素-big.jpg')imshow('C:UsersEdimionDesktop學(xué)習(xí)文檔4像素4像素-big.jpg')%為保證運(yùn)算速度，使用了較小的圖片（4*4像素，放大為7*7像素），原理和效果已經(jīng)很明確。截圖過(guò)小請(qǐng)老師見(jiàn)諒運(yùn)行結(jié)果說(shuō)明原圖像的矩陣：val(:,:,1) = 0 0 255 255 0 0 255 255 255 255 0 0 255 255 0 0val(:,:,2) = 0 0 255 255 0 0 255 255 255 2

16、55 0 0 255 255 0 0val(:,:,3) = 0 0 255 255 0 0 255 255 255 255 0 0 255 255 0 0放大后圖像的矩陣：val(:,:,1) = 0 8 0 255 255 254 255 16 6 0 255 236 251 246 0 0 9 255 255 255 250 255 255 255 246 255 226 248 255 245 255 255 0 13 18 250 255 255 246 0 0 0 255 254 241 252 12 10 0val(:,:,2) = 0 8 0 255 255 254 255 16 6 0 255 236 251 246 0 0 9 255 255 255 250 255 255 255 246 255 226 24