機械優(yōu)化設(shè)計試卷期末考試及答案

1、Word資料.第一、填空題1 .組成優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的三要素是設(shè)計變量、 目標(biāo)函數(shù) 、約束條 12,點處的梯度為，海賽矩陣0件 。一22222 .函數(shù) f x1,x2x1 x2 4x1x2 5在*043 .目標(biāo)函數(shù)是一項設(shè)計所追求的指標(biāo)的數(shù)學(xué)反映，因此對它最基本的要求是能用來評價設(shè)計的優(yōu)劣,同時必須是設(shè)計變量的可計算函數(shù)。4 .建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的基本原則是確切反映工程實際問題,的基礎(chǔ)上力求簡潔5 .約束條件的尺度變換常稱 規(guī)格化,這是為改善數(shù)學(xué)模型性態(tài)常用的一種方法。6 .隨機方向法所用的步長一般按加速步長 法來確定,此法是指依次迭代的步長按一定的比例 遞增的方法。7 .最速下降法以負(fù)梯度

2、方向作為搜索方向,因此最速下降法又稱為 槿度法,其收斂速度較慢 。8 .二元函數(shù)在某點處取得極值的充分條件是f X。 0必要條件是該點處的海賽矩陣正定9 .拉格朗日乘子法的基本思想是通過增加變量將等式約束優(yōu)化問題變成 無約束優(yōu)化問題,這種方法又被稱為 A維 法。10改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有反射、擴張，收縮、壓縮11坐標(biāo)輪換法的基本思想是把多交!一 的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為 單變量 的優(yōu)化問題12 .在選擇約束條件時應(yīng)特別注意避免出現(xiàn)相互矛盾的約束，,另外應(yīng)當(dāng)盡量減少不必耍的約束。13 .目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在 n+1,空間中描述出來. 為了在n維空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況

3、，常采用 目標(biāo)函數(shù)等值面 的 方法。14 .數(shù)學(xué)規(guī)劃法的迭代公式是 Xk1 Xkkdk其核心是 建立搜索方向,和計算最佳步長15協(xié)調(diào)曲線法是用來解決設(shè)計目標(biāo)互相矛盾的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題的。16.機械優(yōu)化設(shè)計的一般過程中，建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型是首要和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。二、名詞解釋1 .凸規(guī)劃對于約束優(yōu)化問題min f Xst gj X 0 (j 1,2,3, ,m)若f X、gj X (j 1,2,3, ,m)都為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。2 .可行搜索方向是指當(dāng)設(shè)計點沿該方向作微量移動時，目標(biāo)函數(shù)值下降，且不會越出可行域。3 .設(shè)計空間：n個設(shè)計變量為坐標(biāo)所組成的實空間，它

4、是所有設(shè)計方案的組合4.1. 靠度 產(chǎn)品在規(guī)定的條件，規(guī)定的時間內(nèi)完成規(guī)定功能的概率5 .收斂性是指某種迭代程序產(chǎn)生的序列Xk k 0,1, 收斂于limXk1 Xk6 .非劣解：是指若有m個目標(biāo)fi X i 1,2 ,m ,當(dāng)要求m-1個目標(biāo)函數(shù)值不變壞時，找不到一個 X,使得另一個目標(biāo)函數(shù)值fi X比tX ,則將此X為非劣解。7 .黃金分割法：是指將一線段分成兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值 等于較長段與較短段長度的比值。8 .可行域：滿足所有約束條件的設(shè)計點，它在設(shè)計空間中的活動范圍稱作可行域。9 .維修度 在規(guī)定的條件下使用的產(chǎn)品發(fā)生故障后，在規(guī)定的維修條件下，在規(guī) 定的維修時間

5、t內(nèi)修復(fù)完畢的概率1設(shè)計變量答：在優(yōu)化設(shè)計計程中，一組需要優(yōu)選的、作為變量來處理的獨立設(shè)計參數(shù)(或需要優(yōu)選的參數(shù)，它們的數(shù)值在優(yōu)化設(shè)計過程中是變化的一組獨立的設(shè)計參數(shù))2、2目標(biāo)函數(shù)答：在優(yōu)化設(shè)計中，用來評價設(shè)計方案優(yōu)劣程度、并能夠用設(shè)計變量所表達(dá)成的 函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)(或 用設(shè)計變量來表達(dá)所追求目標(biāo)的函數(shù))3、設(shè)計約束答：在優(yōu)化設(shè)計中，對設(shè)計變量取值的限制條件，稱為約束條件和設(shè)計約束(或?qū)?設(shè)計變量取值限制的附加設(shè)計條件4、最優(yōu)點、最優(yōu)值和最優(yōu)解答：選取適當(dāng)優(yōu)化方法，對優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，可解得一組設(shè)計變量，記作：x* = x1*, x2*, x3*, . . . . , xn*T

6、使該設(shè)計點的目標(biāo)函數(shù)F (x*) 為最小，點x*稱為最優(yōu)點(極小點)。相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值F(x*)稱為最優(yōu)值(極小值)。一個優(yōu)化問題的最優(yōu)解包著最優(yōu)點(極小點)和最優(yōu)值(極小值)。把 最優(yōu)點和最優(yōu)值的總和通稱為最優(yōu)解。或：優(yōu)化設(shè)計就是求解n個設(shè)計變量在滿足約束條件下使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，即 min f(x)=f(x*)xCRns.t. g u ( x) < 0, u = 1,2,. . . ,m；hv (x) =0, v = 1,2,. . . ,p<n 稱x*為最優(yōu)解，f(x*)為最優(yōu)值。最優(yōu)點x* 和最優(yōu)值f(x*)即構(gòu)成了最優(yōu)解三、簡答題1 .什么是內(nèi)點懲罰函數(shù)法？什么是外點懲

7、罰函數(shù)法？他們適用的優(yōu)化問題是什 么？在構(gòu)造懲罰函數(shù)時，內(nèi)點懲罰函數(shù)法和外點懲罰函數(shù)法的懲罰因子的選取有 何不同？1)內(nèi)點懲罰函數(shù)法是將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點在可行域內(nèi)逐 步逼近約束邊界上的最優(yōu)點。內(nèi)點法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。內(nèi)點懲罰函數(shù)法的懲罰因子是由大到小， 且趨近于0的數(shù)列。相鄰兩次迭代的懲在可行域之外，序列迭代點從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點。外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。外點懲罰函數(shù)法的懲罰因子， 它是由小到大，且趨近于 的數(shù)列。懲罰因子按下式遞增rk crk1(k 1,2,), 式中c為懲罰因子的遞增系數(shù)，通常取 c 5102

8、 .共腕梯度法中，共腕方向和梯度之間的關(guān)系是怎樣的？試畫圖說明。1.對于二次函數(shù)，f X XTGX bTX c,從2Xk點出發(fā)，沿G的某一共腕方向dk作一維搜索，到達(dá)Xk 1點，則Xk 1點處的搜索方向d j應(yīng)滿足dj T gk 1 gk 0,即終點Xk1與始點Xk的梯度之差gk 1 gk與dk的共腕方向dj正交。3 .為什么說共腕梯度法實質(zhì)上是對最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)？答：共腕梯度法是共腕方向法中的一種， 在該方法中每一個共腕向量都依賴 于迭代點處的負(fù)梯度構(gòu)造出來的。共腕梯度法的第一個搜索方向取負(fù)梯度方 向，這是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個角度， 也就 是對負(fù)梯度進(jìn)行修

9、正。所以共腕梯度法的實質(zhì)是對最速下降法的一種改進(jìn)。4 .寫出故障樹的基本符號及表示的因果關(guān)系。略5 .算法的收斂準(zhǔn)則由哪些？試簡單說明。略6 .優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型一般有哪幾部分組成？簡單說明。 略7 .簡述隨機方向法的基本思路答：隨機方向法的基本思路是在可行域內(nèi)選擇一個初始點，利用隨機數(shù)的概率特 性，產(chǎn)生若干個隨機方向，并從中選擇一個能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機方向 作為可行搜索方向。從初始點出發(fā)，沿搜索方向以一定的步長進(jìn)行搜索， 得到新 的X值，新點應(yīng)該滿足一定的條件，至此完成第一次迭代。然后將起始點移至X, 重復(fù)以上過程，經(jīng)過若干次迭代計算后，最終取得約束最優(yōu)解。8數(shù)值計算迭代法的基本思想

10、和迭代格式。數(shù)值計算迭代法的基本思想：數(shù)值計算迭代法完全是依賴于計算機的數(shù)值計算特點而產(chǎn)生的,它不是分析方法，而是具有一定邏輯結(jié)構(gòu)并按一定格式反復(fù)運算的一種方法。(5分)其迭代法計算的基本格式是：從一點出發(fā)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)在該點的某些信息，確定本次迭代計算的一個方向S(k劑適當(dāng)白步長a(k),從而到一個新點，即：X(k+1)=x(k)+ a(k)S(k)k=0,1,2,3式中：x(k)前一步取得的設(shè)計方案(迭代點)。在開始計算時，即為迭代的初始點 x(0)；X(k+1)新的修改設(shè)計方案(新的迭代點)；S(k)第k次迭代計算的搜索方向(可以看作本次修改設(shè)計的定向移動方向)；<k)第

11、k次迭代計算的步長因子，是個數(shù)量的。三、計算題1 .試用牛頓法求f X8x； 5x22的最優(yōu)解，設(shè)X010 10TO初始點為X0T10 10 ,則初始點處的函數(shù)值和梯度分別為f X01700f X016x1 4x24x1 10x2200140,沿梯度方向進(jìn)行一維搜索，有X1X00 f X010102000 14010102001400為一維搜索最佳步長，應(yīng)滿足極值必要條件f X1 min f X0 f X0min 8 10 200 0 2 4 10 200 01014005 10 140 0 2min01060000 0 59600 0 ,從而算出一維搜索最佳步長°596001060

12、0000.0562264則第一次迭代設(shè)計點位置和函數(shù)值110X102001401.24528302.1283019f X124.4528302,從而完成第一次迭代。按上面的過程依次進(jìn)行下去,便可求得最優(yōu)解。2、試用黃金分割法求函數(shù)f20一的極小點和極小值，設(shè)搜索區(qū)向a,b 0.2,1 （迭代一次即可）解：顯然此時，搜索區(qū)間 a,b 0.2,1 ,首先插入兩點1和2,1b (b a) 1 0.618 1 0.20.50562 a (ba) 0.2 0.618 1 0.20.6944計算相應(yīng)插入點的函數(shù)值 f 140.0626, f 229.4962 。因為f 1 f 2。所以消去區(qū)間a, 1 ,

13、得到新的搜索區(qū)問即 1,b a,b 0.5056,1。第一次迭代:插入點1 0,6944 ,2 0,5056 0.618(1 0.5056) 0.8111相應(yīng)插入點的函數(shù)值f29.4962, f 225.4690,由于f 1 f 2故消去所以消去區(qū)間a, 1 ,得到新的搜索區(qū)問1，b ,則形成新的搜索區(qū)間1,b a,b0.6944,1。至此完成第一次迭代,繼續(xù)重復(fù)迭代過程,最終可得到極小點。3.用牛頓法求目標(biāo)函數(shù)16X2 25X2 +5的極小點，設(shè)X 0解：由XX0X1f32xi50X264100X22f X02fX122f2fX2XiX1 X22f2X23200502f X0132150因此

14、可得：X1 X02fX0X013215064100f X15,從而經(jīng)過一次迭代即求得極小點0T,4.下表是用黃金分割法求目標(biāo)函數(shù)f20的極小值的計算過程,請完成卜表。迭代序號a12by1比較y200.211迭代序號a12b比較y200.20.50560.6944140.0626>29.496210.50560.69440.8111129.4962>25.46905、求二元函數(shù)fl：曲鼻8F+xF也X共5在工（HO 0二處的數(shù)交叱率最大的方向司數(shù)值？ 第；由干函數(shù)變牝率昂大的方向是梯度方向,這里用單桁向量P表示函教變牝率最吉和教值是梯度的模1叮（幾）。求匕心立”點處的梯度方向和數(shù)植,

15、計算卻不|p=|vrM在二二平面二面出函數(shù)等值線和二（烏。）點處的梯度方向p一如圖/所示.從圖巾可以著出.在工.點函數(shù)變化率最大的方向p印為等值戰(zhàn)的法線萬向，也就是同心圓的半徑方向.6.用共期梯度法求二次函數(shù)n寵KJ-力。2K因的極小點及極小值A(chǔ)T.取初始點xb -1 irMJ明沿冰方向進(jìn)行一堆搜索,得餐二口其中的tXc為最佳步長，可通過f （工1）二叫1 0（媛河（出）=0求得則 為建立第二個其粗方向小，需計算一點處的梯度及系數(shù)風(fēng)值，得從而求得第二個共挽方向 L 一L - 號 1八 114-（k=W：+A；d:+-=3L2J4值一再沿上遂行一維柳素，得-I"/2 廣+工跖6='&%= 1 +4 3 = 1 3 一十一儀11_21_2|_2 2其中的曲為最佳步長，通過“工”=而口伙31褒（%） = 0 S'求得01=1則r計算y點處的梯度gz=Vf (r)說明£點滿足極值必要條件，再根據(jù)F點的海賽矩陣G(x：2 -2-2 4是正定的，可知£滿足極值充分必要條件。故為極小點，即而函數(shù)梯小值為/(/)-S U7.求約束優(yōu)化何題MitiF民K工2/一(31 )*%1. hO0F 廠2的最優(yōu)解丫居 該問題的紇束最優(yōu)解為 = 1.6 0.21./(/) = 0."由圖3la可知，約束最優(yōu)點./飄月標(biāo)函旗等