【KS5U解析】三湘名校教育聯(lián)盟2020屆高三第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、三湘名校教育聯(lián)盟·2020屆高三第二次大聯(lián)考理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，若，則的最小值為（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】解出,分別代入選項中 的值進行驗證.【詳解】解：，.當(dāng) 時,，此時不成立.當(dāng) 時,，此時成立，符合題意.故選:b.【點睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.2.設(shè)是虛數(shù)單位，則（ ）a. b. c. 1d. 2【答案】c【解析】【分析】由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：， ，解得：.故選:c.【點

2、睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對于復(fù)數(shù)的運算類問題，易錯點是把 當(dāng)成進行運算.3.已知函數(shù)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得的值，再求得的值.【詳解】依題意，.故選：a【點睛】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.4.已知向量，則向量與的夾角為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求出，進而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，. 則 所以，則向量與的夾角為.故選:c.【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時，通常代入公式 進行計算.5.已知是兩個不同平

3、面，直線，則“”是“”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【分析】根據(jù)面面平行的判定定理與性質(zhì)即可得出答案【詳解】解：由題意，若，則，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，是的充分條件；若，根據(jù)面面平行的判定定理不能推出，故不是充分條件；是的充分不必要條件，故選：a【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題6.我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗為十升).問，米幾何？”下圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的s=15(單位：升)，則

4、輸入的k的值為（ ）a. 45b. 60c. 75d. 100【答案】b【解析】【分析】根據(jù)程序框圖中程序的功能，可以列方程計算【詳解】由題意，故選：b.【點睛】本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關(guān)鍵7.要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（ ）a. 向左平移個單位b. 向左平移個單位c. 向右平移個單位d. 向右平移個單位【答案】a【解析】【分析】運用輔助角公式將兩個函數(shù)公式進行變形得以及,按四個選項分別對變形，整理后與對比，從而可選出正確答案.【詳解】解：.對于a：可得.故選:a.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換，考查了輔助角公式.本題的易錯點有兩個，一個是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)

5、;二是在平移時，忘記乘了自變量前的系數(shù).8.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計劃在高一年級每周星期一至星期五的每天閱讀半個小時中國四大名著：紅樓夢、三國演義、水滸傳及西游記，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不同的閱讀計劃共有（ ）a. 120種b. 240種c. 480種d. 600種【答案】b【解析】【分析】首先將五天進行分組，再對名著進行分配，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】將周一至周五分為組，每組至少天，共有：種分組方法；將四大名著安排到組中，每組種名著，共有：種分配方法；由分步乘法計數(shù)原理可得不同的閱讀計劃共有：種本題正確選項：【點睛】本題考查排列組合

6、中的分組分配問題，涉及到分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，易錯點是忽略分組中涉及到的平均分組問題.9.已知，分別為內(nèi)角，的對邊，的面積為，則（ ）a. b. 4c. 5d. 【答案】d【解析】【分析】由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出，結(jié)合余弦定理即可求出 的值.【詳解】解：，即，即. ，則.，解得.， 故選:d.【點睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過正弦定理結(jié)合已知條件，得到角 的正弦值余弦值.10.定義在上的奇函數(shù)滿足，若，則（ ）a. b. 0c. 1d. 2【答案】c【解析】【分析】首先判斷出是周期為的周期函數(shù)，由此求

7、得所求表達式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù)，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，所以，.所以，又，所以.故選：c【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.11.已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線交于、兩點，為坐標(biāo)原點，若，則的離心率為（ ）a. 2b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】作出圖象，取ab中點e，連接ef2，設(shè)f1ax，根據(jù)雙曲線定義可得x2a，再由勾股定理可得到c27a2，進而得到e的值【詳解】解：取ab中點e，連接ef2，則由已知可得bf1ef2，f1aaeeb，設(shè)f1ax，則由雙曲線定義可得af22a+x，bf1bf23x2ax2a，所以x2

8、a，則ef22a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2（2c）2，所以c27a2，則e故選：d【點睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題對于圓錐曲線中求離心率的問題，關(guān)鍵是列出含有 中兩個量的方程，有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.12.已知，是函數(shù)圖像上不同的兩點，若曲線在點，處的切線重合，則實數(shù)的最小值是（ ）a. b. c. d. 1【答案】b【解析】【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出 在 兩點處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系樹，從而得出，令函數(shù) ，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng) 時

9、，則;當(dāng)時，則.設(shè) 為函數(shù)圖像上的兩點，當(dāng) 或時，不符合題意，故.則在 處切線方程為；在 處的切線方程為.由兩切線重合可知 ，整理得.不妨設(shè)則 ，由 可得則當(dāng)時， 的最大值為.則在 上單調(diào)遞減，則.故選:b.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點是求出 和 的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯點是計算.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知，滿足約束條件，則的最小值為_【答案】2【解析】【分析】作出可行域，平移基準(zhǔn)直線到處，求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準(zhǔn)直線到處時，取得最小

10、值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.14.若橢圓：的一個焦點坐標(biāo)為，則的長軸長為_【答案】【解析】【分析】由焦點坐標(biāo)得從而可求出，繼而得到橢圓的方程，即可求出長軸長.【詳解】解：因為一個焦點坐標(biāo)為，則，即，解得或 由表示的是橢圓，則，所以，則橢圓方程為 所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略，從而未對 的兩個值進行取舍.15.已知函數(shù)，若方程的解為，（），則_；_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】求出在 上的對稱軸，依據(jù)對稱性可得的值;由可得，依據(jù)可求出的值.【詳解】解：

11、令，解得 因為，所以 關(guān)于 對稱.則.由，則由可知，又因為 ，所以，則，即故答案為: ;.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸，考查了誘導(dǎo)公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯點在于沒有正確判斷的取值范圍，導(dǎo)致求出.在求的對稱軸時，常用整體代入法，即令 進行求解.16.在四棱錐中，是邊長為的正三角形，為矩形，.若四棱錐的頂點均在球的球面上，則球的表面積為_【答案】【解析】【分析】做 中點，中點，連接，由已知條件可求出，運用余弦定理可求，從而在平面中建立坐標(biāo)系，則以及的外接圓圓心為和長方形的外接圓圓心為在該平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)可求，通過球心滿足，即可求出的坐標(biāo)，從而可求球的半徑，進而能求出球的

12、表面積.【詳解】解：如圖做 中點，的中點，連接 ，由題意知，則 設(shè)的外接圓圓心為，則在直線上且 設(shè)長方形的外接圓圓心為，則在上且.設(shè)外接球的球心為 在 中，由余弦定理可知，.在平面中，以 為坐標(biāo)原點，以 所在直線為 軸，以過點垂直于 軸的直線為 軸，如圖建立坐標(biāo)系，由題意知，在平面中且 設(shè) ，則，因為，所以 解得.則 所以球的表面積為.故答案為: .【點睛】本題考查了幾何體外接球的問題，考查了球的表面積.關(guān)于幾何體的外接球的做題思路有：一是通過將幾何體補充到長方體中，將幾何體的外接球等同于長方體的外接球，求出體對角線即為直徑，但這種方法適用性較差；二是通過球的球心與各面外接圓圓心的連線與該平面

13、垂直，設(shè)半徑列方程求解；三是通過空間、平面坐標(biāo)系進行求解.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且是與的等差中項.（1）證明：為等差數(shù)列，并求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的最小正整數(shù)的值.【答案】（1）見解析，（2）最小正整數(shù)的值為35.【解析】【分析】（1）由等差中項可知，當(dāng)時，得，整理后可得，從而證明為等差數(shù)列，繼而可求.（2），則可求出，令，即可求出 的取值范圍，進而求出最小值.【詳解】解析：（1）由題意可得，當(dāng)時，當(dāng)時，整理可得，

14、是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，.（2）由（1）可得，解得，最小正整數(shù)的值為35.【點睛】本題考查了等差中項，考查了等差數(shù)列的定義，考查了 與 的關(guān)系，考查了裂項相消求和.當(dāng)已知有 與 的遞推關(guān)系時，常代入 進行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時，一般借助數(shù)列，即后一項與前一項的差為常數(shù).18.如圖，三棱柱中，與均為等腰直角三角形，側(cè)面是菱形.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，通過證明，得，結(jié)合可證線面垂直，繼而可證面面垂直.（2）設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，繼而可求二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）取中點

15、，連接，由已知可得，側(cè)面是菱形，即，平面，平面平面.（2）設(shè)，則，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令得.同理可求得平面的法向量，.【點睛】本題考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者線面角的問題時，常建立空間直角坐標(biāo)系，通過求面的法向量、線的方向向量，繼而求解.特別地，對于線面角問題，法向量與方向向量的余角才是所求的線面角，即兩個向量夾角的余弦值為線面角的正弦值.19.某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100 人的體重數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.（1）估計這100人體重數(shù)據(jù)的平均值和樣本方差；(結(jié)果取整

16、數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)（2）從全校學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生，記為體重在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若，則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.【答案】（1）60；25（2）見解析，2.1（3）可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值和樣本方差；（2）由題意知服從二項分布，分別求出，進而可求出分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）由第一問可知服從正態(tài)分布，繼而可求出的值，從而可判斷.【詳解】解：（1）（2）由已知可得從全校學(xué)生中隨機抽取1人，

17、體重在的概率為0.7. 隨機拍取3人，相當(dāng)于3次獨立重復(fù)實驗，隨機交量服從二項分布，則，所以的分布列為：01230.0270.1890.4410.343數(shù)學(xué)期望（3）由題意知服從正態(tài)分布，則，所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.【點睛】本題考查了由頻率分布直方圖求進行數(shù)據(jù)估計，考查了二項分布，考查了正態(tài)分布.注意，統(tǒng)計類問題，如果題目中沒有特殊說明，則求出數(shù)據(jù)的精度和題目中數(shù)據(jù)的小數(shù)后位數(shù)相同.20.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上動點，過點作拋物線:的兩條切線，切點分別為，為的中點.（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點?若是，求出這個定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）直

18、線過定點.【解析】【分析】（1）設(shè)出兩點的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，設(shè)出點坐標(biāo)并代入切線的方程，同理將點坐標(biāo)代入切線的方程，利用韋達定理求得線段中點的橫坐標(biāo)，由此判斷出軸.（2）求得點的縱坐標(biāo)，由此求得點坐標(biāo)，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡后可得直線過定點.【詳解】（1）設(shè)切點，切線的斜率為，切線：，設(shè)，則有，化簡得，同理可的.，是方程的兩根，軸（2），.，直線：，即，直線過定點.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線過定點問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.21.已知函數(shù)（1）討論的零點個數(shù)；（2）證明：當(dāng)時，.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析

19、】【分析】（1）求出，分別以當(dāng)，時，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點的個數(shù).（2）令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出；同理可求出滿足，從而可得，進而證明.【詳解】解析：（1），當(dāng)時，單調(diào)遞減，此時有1個零點；當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，由得，由得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處取得最小值，若，則，此時沒有零點；若，則，此時有1個零點；若，則，求導(dǎo)易得，此時在，上各有1個零點.綜上可得時，沒有零點，或時，有1個零點，時，有2個零點.（2）令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，.令，則，當(dāng)時，當(dāng)時，即.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點問題，考查了運用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，考查了分類的數(shù)學(xué)思想.本題的難點在于第二問不等式的證明中，合理設(shè)出函數(shù)，通過比較最值證明.22.在直角坐標(biāo)系中，曲線參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）得